1.向量
一个点：P=(x,y,z) , 写成列向量： ，表示 ：沿x轴走x，沿y轴走y，沿z轴走z。
2.向量本质是
一个方向+一个长度。例如 表示：朝x方向1单位
3.点乘（内积)
公式： a·b 计算方法： 含义：判断两个方向有多接近 特殊情况：a·b=0 表示两个向量垂直；同方向 -> 结果大于0 ；反方向-> 结果小于0
4.叉乘（外积）
公式： 含义：得到一个同时垂直于a和b的方向 右手定则：四指从a转向b，大拇指是结果方向 特殊情况：如果
说明这两个向量平行
5.二位旋转矩阵
含义：把一个点逆时针旋转
公式含义：第一行新的x坐标 第二行新的y坐标
6.三维旋转矩阵
绕哪个轴，哪个轴不变
绕x轴
绕y轴
绕z轴
7.右手定则
判断正旋转方向，方法：大拇指朝轴正方向，四指弯曲是正旋转方向。
例如：绕z轴，大拇指向上（z），四指x->y
8.旋转不满足交换律
旋转顺序不同，结果不同
9.坐标系变换
含义：
点P在B坐标系里的坐标
表示把B坐标系转换到A坐标系的旋转矩阵
点P在A坐标系里的坐标
10.为什么旋转矩阵的列是坐标轴
旋转矩阵：
含义：第一列表示B坐标系x轴在A里的方向，第二列表示B坐标系y轴在A里的方向，第三列表示B坐标系z轴在A里的方向。
11.齐次坐标
普通点 变成
，加1的原因是这样才能把"平移"写成矩阵乘法
12.齐次变换矩阵
展开：
含义：左上角R------旋转（方向），右边t------平移（位置），T同时表示朝向和位置
齐次变换矩阵核心公式 ：用变换矩阵T，把点
变换成点
也可写成
，即
第一列n（normal）表示物体的第一根方向轴,类似物体自己的 x 轴。
第二列o（orientation）表示物体的第二根方向轴,类似物体自己的 y 轴。
第三列a（approach）表示物体的第三根方向轴，类似物体自己的 z 轴，机械臂中常表示"前进方向"。
第四列p 表示物体原点的位置
13.Compound（复合变换）和Inversion（逆变换）
**Compound（复合变换）**意思是连续做多次坐标变换
注意，矩阵乘法顺序要从右往左看
**Inversion（逆变换）**意思是把变换反过来
14.任意轴旋转
假设这个任意轴通过原点
如果绕任意方向k旋转，那么我先造一个新坐标系，让k变成新坐标系里的z轴
(1).建立一个新坐标系： ，这里让a=k，即新坐标系C的z轴=k
图中红色xyz代表原坐标系，绿色ijk代表新坐标系。因为k就是新坐标系的z轴，所以绕k转转化为绕z转，可代入第六条的公式
意思是 绕k旋转 等价于 在C坐标系里绕z旋转
(2).先进入新坐标系C 表示C坐标系在原世界里的样子
的作用是把原世界里的东西翻译到C坐标系里去看
(3).绕z轴转
(4).再转换回原坐标系 C
==>最终完整公式
这个公式是说：
原来有一个物体/坐标系T，想让它绕任意轴k转：。
但是我们不会直接绕k转，所以先把T换到C坐标系里：。
然后在C里绕z轴转：
然后再乘C换回来：
代入，就得到：
所以：
公式总结：
15.旋转轴的方向向量
表示的是旋转轴的方向向量，在机器人学里，方向向量默认都会单位化（归一化）
单位向量
所以 ，即
16.已知一个旋转矩阵R，反推出它等价于"绕某根轴k旋转了多少角度θ"
也就是 ，这叫等效轴角表示法（Equivalent angle-axis of rotation）。
对角线元素之和
即 ：
因为： ，
所以：
等效轴角的意思
一个三维旋转，不管它看起来多复杂，都可以等价理解成：绕空间中某一根轴 k，旋转了一个角度 θ。
Trace能求角度
Trace 就是矩阵主对角线元素之和，最后会简化成 。
所以只要知道矩阵R的对角线元素，就能反推出 ，即
17.已知旋转矩阵 R，求出等效旋转角θ的 sinθ
由可得到：
，这里
是等效旋转轴的单位向量
把三个式子平方后相加：
得到：
用tanθ求角度更稳妥，有，求出theta
choose positive sign
sinθ选择正号
规定 0≤θ≤180 ，在这个范围内 sinθ≥0
Note.不推荐直接这样求轴：
，原因是如果，也就是，分母会变成0，计算会出问题。
18.已知旋转矩阵 R 和角度 θ，求旋转轴
(1)先用对角线求 (k_x,k_y,k_z) 的绝对值
由 得
(2)找 里最大的那个
例如，说明
最大
谁的对角线元素最大，谁对应的 k 分量通常最大。所以先确定 ，再用其他式子求
。
（3）如果 最大，怎么求
由
可知
如果已经先求出了，就用含
的式子求另外两个：