一、前言：从一道算法题认识并查集
今天我们来看一道经典的图论入门题：1971. 寻找图中是否存在路径。
题目要求：给定一个无向双向图，判断从起点 source 到终点 destination 是否存在有效路径。数据范围极大，顶点和边数最高可达 2 × 10 5 2\times10^5 2×105。
对于这类判断两点是否连通、集合分组的问题，有两种主流解法：
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搜索算法：DFS/ BFS，构建邻接表遍历图；
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并查集：极简代码，专门处理连通性问题，效率更高。
本文结合这道题，从零讲解并查集，附带通俗易懂原理+Python代码，新手也能轻松看懂。
二、什么是并查集？
2.1 核心定义
并查集全称 Disjoint Set Union（DSU，不相交集合） ，是一种专门用于管理元素分组的数据结构。
它专注解决两个核心问题：
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合并(Union)：将两个元素划分到同一个集合；
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查找(Find)：查询某个元素的根节点，判断两个元素是否属于同一集合。
2.2 通俗比喻
把每个集合看作一个家族，每个元素是家族成员：
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初始化：每个人自成一家，自己是自己的族长；
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合并：两个家族联姻，合并为一个家族，共用同一个族长；
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查找：找到某人的族长，判断两个人是否同族（连通）。
2.3 适用场景
并查集不擅长复杂图遍历，只专注连通性判断，常见场景：
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无向图判断两点是否连通；
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统计图中连通分量的个数；
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社交网络好友圈层划分；
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最小生成树（Kruskal 算法）。
三、并查集三大基础操作
并查集底层依托数组实现，用 fa[] 数组存储每个元素的父节点，fa[x] 表示元素 x 的父节点。
3.1 初始化 Init
初始状态下，每个元素独立成集合，父节点指向自身。
python
fa = list(range(n)) # n个顶点，0~n-1各自为父3.2 查找 Find（核心：路径压缩）
查找元素的根节点 ，并做路径压缩优化 ：递归过程中，把沿途所有节点直接挂载到根节点下，减少后续查询耗时，让查询复杂度近乎 O ( 1 ) O(1) O(1)。
python
def find(x):
if fa[x] == x: # 找到根节点：父节点等于自身
return x
fa[x] = find(fa[x]) # 路径压缩：递归回溯，直接绑定根节点
return fa[x]3.3 合并 Union
合并两个元素所在的集合：先分别找到两个元素的根节点，若根节点不同，则将一个根节点挂载到另一个根节点下，完成合并。
python
def union(u, v):
if find(u) != find(v): # 不属于同一个集合，才合并
fa[find(u)] = find(v)四、LeetCode 1971 并查集题解拆解
4.1 完整AC代码
python
class Solution:
def validPath(self, n: int, edges: List[List[int]], source: int, destination: int) -> bool:
fa = list(range(n))
# 查找函数+路径压缩
def find(x):
if fa[x] == x:
return x
fa[x] = find(fa[x])
return fa[x]
# 合并函数
def union(u, v):
if find(u) != find(v):
fa[find(u)] = find(v)
# 遍历所有边，合并连通的顶点
for u, v in edges:
union(u, v)
# 起点和终点根节点相同 = 连通
return True if find(source) == find(destination) else False4.2 代码逐行解析
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数组初始化 ：
fa = list(range(n))，所有顶点初始独立； -
find函数：递归实现路径压缩，扁平化结构，提升查询速度；
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union函数：判断两个顶点是否同族，不同族则合并；
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遍历边：无向图双向边，遍历所有边完成顶点合并；
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结果判断：对比起点和终点的根节点，一致则连通，返回True。
五、DFS解法对比 & 优劣分析
5.1 DFS原题代码
python
class Solution:
def validPath(self, n: int, edges: List[List[int]], source: int, destination: int) -> bool:
# 构建邻接表
e = [[] for _ in range(n)]
for u, v in edges:
e[u].append(v)
e[v].append(u)
s = set() # 记录已访问节点
def dfs(source, destination):
if source == destination:
return True
s.add(source)
for v in e[source]:
if v not in s:
if dfs(v, destination):
return True
return False
return dfs(source, destination)5.2 两种解法对比
| 对比维度 | 并查集 | DFS深度优先搜索 |
|---|---|---|
| 代码复杂度 | 极简，无需构建邻接表 | 需手动建邻接表、去重访问 |
| 时间复杂度 | 近乎 O(1)（路径压缩优化） | O(n+m) 遍历节点和边 |
| 大数据适配性 | 优秀，适配 2e5 级数据 | Python递归深度有限，大数据栈溢出 |
| 适用场景 | 仅判断连通性 | 需要遍历路径、搜索节点 |
重点坑点：Python默认递归深度约1000，本题数据量极大，DFS递归写法会直接栈溢出超时，而并查集无递归深度限制，稳定性更强。
六、通用并查集模板
这里给大家整理一份通用Python模板，包含路径压缩+按秩合并双重优化，适配绝大多数算法题：
ps：但其实不使用按秩合并（启发式合并）也行，对复杂度影响不大，一般情况下路径压缩就够了。
python
class UnionFind:
def __init__(self, size):
self.parent = list(range(size)) # 父节点数组
self.rank = [1] * size # 秩：树的高度，用于按秩合并
# 查找+路径压缩
def find(self, x):
if self.parent[x] != x:
self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
return self.parent[x]
# 合并+按秩合并（防止树过高）
def union(self, x, y):
x_root = self.find(x)
y_root = self.find(y)
if x_root == y_root:
return False # 已连通，无需合并
# 矮树合并到高树下方
if self.rank[x_root] < self.rank[y_root]:
self.parent[x_root] = y_root
else:
self.parent[y_root] = x_root
if self.rank[x_root] == self.rank[y_root]:
self.rank[x_root] += 1
return True七、总结
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核心本质 ：并查集是处理连通性、集合分组的轻量化数据结构；
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两大优化：路径压缩（扁平化树）、按秩合并（限制树高度），均摊复杂度近乎常数；
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刷题取舍：只判断连通性优先用并查集，需要遍历路径、搜索节点再用DFS/BFS；
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本题结论：1971题目最优解为并查集，代码简洁、不易超时、空间开销小。
后续遇到无向图连通、朋友圈、岛屿数量等题目，直接套用并查集模板即可快速AC。