【力扣hot100：53. 最大子数组和】

这道题的目的是找连续子数组的最大和，可以使用前缀和的方式，难点在于统计完前缀和之后，怎么基于前缀和去找最大的子数组和。

使用前缀和 + 暴力枚举？

java 复制代码

class Solution {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
    //找出最大和的连续子数组
    int n = nums.length;
    int [] s = new int[n+1];

    for(int i = 0; i < n; i++) {
      s[i+1] = s[i] + nums[i];
    }
    int ans = Integer.MIN_VALUE;
    for(int i = 1; i < n + 1; i++) {
      //暴力枚举
      int left = 0;

      while(left < i) {
        ans = Math.max(ans, s[i] - s[left]);
        left++;
      }

    }
    return ans;
  }
}

方法是正确的，但是会超时

时间复杂度：

双重循环，复杂度为 O(n²) 。当 nums 长度达到 10⁵ 时，运算次数约为 10¹⁰ 量级，远超系统限制（通常约 10⁸ 次/秒），所以会超时。

思考 + 解决

这个题可以联想到 560. 和为 K 的子数组，但是560题是要找前缀和出现的个数，所以我们使用哈希表枚举，找 j左边有多少个 s[i]=1

但是本题是找极值，关注的是子数组的最大值，由子数组和 sum[j..i] 可表示为 prefix[i+1] - prefix[j]。要使其最大，固定右端点 i 时，只需减去 0..i 范围内的最小前缀和即可 ，所以我们可以用一个变量维护前面的最小前缀和

每次枚举，用当前的前缀和减去前缀和的最小值，就得到了以当前元素结尾的子数组和的最大值
然后更新答案即可

注意：这个思路跟121. 买卖股票的最佳时机这个题很像。维护前缀和的最小值就相当于股票最低价格 。当前的前缀和就是卖出价格 ，减去前缀和的最小值是买入价格。

具体代码如下：

java 复制代码

class Solution {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 1. 构建前缀和数组
    int[] prefix = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i];
    }

    // 2. 单次遍历，维护最小前缀和
    int ans = Integer.MIN_VALUE;
    int minPre = 0;  // prefix[0] = 0，int minPre = prefix[0]
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      ans = Math.max(ans, prefix[i] - minPre);
      minPre = Math.min(minPre, prefix[i]);
    }
    return ans;
  }
}

换一个简洁的写法，统计前缀和的同时维护最小前缀和且更新答案：

java 复制代码

int n = nums.length;
int ans = Integer.MIN_VALUE;
int minPre = 0;
int preSum = 0
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    preSum += nums[i];
    ans = Math.max(ans, preSum - minPre);
    //更新最小前缀和
    minPre = Math.min(minPre, preSum);
  }
return ans;

动态规划

定义状态数组f[i]：以 nums[i] 结尾的最大子数组和

状态转移方程：

nums[i]有两种情况
- nums $*i*$ 单独组成一个子数组，那么 f $*i*$ =nums $*i*$
- nums $*i*$ 和前面的子数组拼起来，也就是在以 nums $*i* -1$ 结尾的最大子数组和之后添加 nums $*i*$ ，那么 f $*i*$ =f $*i* -1$ +nums $*i*$ 。
- 两种情况取最大值即可：
- Math.max(f[i - 1], 0) + nums[i]

java 复制代码

class Solution {
  public int maxSubArray(int[] nums) {
    int[] f = new int[nums.length];
    f[0] = nums[0];
    int ans = f[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
      f[i] = Math.max(f[i - 1], 0) + nums[i];
      ans = Math.max(ans, f[i]);
    }
    return ans;
  }
}

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