前缀和：和可被K整除的子数组（normal）

我们发现若某一段连续数组元素和想要被K整除，那么在其前缀和值fdp $i$ 的基础上必须在fdp先前下标 $1,i-1$ 中找到目标fdp $n$ 出现的次数（1 <= n <= i-1），就是寻找首余数fdp $i$ %K和其副余数（12%7的副余数-2，-3%7的副余数4），而因此每一段数组和的哈希表元素的纳入方式是hash $dp\[i$ %k]++。

结构

实现

前缀和

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vector<int> fdp(nums.size()+1,0);
for(int i = 1;i <= nums.size();i++)
{
     fdp[i] = fdp[i-1]+nums[i-1];
     //printf("%d ",fdp[i]); 验证日志
}

哈希值纳入

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hash[fdp[i]%k]++;

余数

首余数与副余数

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//首余数
fdp[i]%k;
//副余数
int t = fdp[i]%k > 0? fdp[i]%k-k : fdp[i]%k+k;

非正式版本

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void test1(vector<int>& nums, int k)
{
    vector<int> fdp(nums.size() + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= nums.size(); i++)
    {
        fdp[i] = fdp[i - 1] + nums[i - 1];
        //printf("fdp[i]:%d ", fdp[i]);
    }
    int count = 0;

    //哈希映射查找
    unordered_map<int, int> hash;

    for (int i = 1; i <= nums.size(); i++)
    {
        hash[fdp[i] % k]++;
        //首余数处理
        count += hash[fdp[i] % k];
        //副余数处理
        int t = fdp[i] % k > 0 ? fdp[i] % k - k : fdp[i] % k + k;
        count += hash[t];
    }
    cout << count;
}

调试验证：

走读发现：

首余数处理的部分，每次都会将刚刚纳入的值hash $dp\[i$ ]加上作为首余数，但我们找的是 $0,i-1$ 间的目标首余数，因此对hash值"-1"忽略本次进循环时的++造成的误差。

bash 复制代码

count += hash[fdp[i]%k]-1;

问：既然首余数出现这种问题，那么副余数会不会呢？

如果会的话：

①fdp $i$ % k == fdp $i$ % k - k --->k == 0

②fdp $i$ % k == fdp $i$ % k + k --->k==0

以上两者均不会出现因为：

①题目" 2 <= k <= 10^4"

②任何数%0 无意义报错！

bug

当为k的整数倍的nums $i-1$ 第一次出现，count主余数应该使得count+=1；但因为"-1"导致加的是"0"。 // 丢失值使得数据比预期小

深度分析此bug

问：若后续继续出现nums $i-1$ 的整数倍会怎么样？

可以预见的是由于第一次落下"1"hash $0$ 没有加上，以后再次出现就会"永远比预期差一步"。 // 1 2 3 4 ->每次出现分别会差一次的值。

解决办法：

在哈希初始化时就对hash $0$ ++;

差值形成具体体现如下：

|---|-----------|-------|---|---|-----------|-------|
| i | hash $0$ | count | | i | hash $0$ | count |
| 2 | 1 | 0 | | 2 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 3 | 3 | | 4 | 4 | 6 |

最后版本

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void test1(vector<int>& nums, int k)
{
    vector<int> fdp(nums.size() + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= nums.size(); i++)
    {
        fdp[i] = fdp[i - 1] + nums[i - 1];
        //printf("fdp[i]:%d ", fdp[i]);
    }
    int count = 0;
    //哈希映射查找
    unordered_map<int, int> hash;
    hash[0]++;
    for (int i = 1; i <= nums.size(); i++)
    {
        hash[fdp[i] % k]++;
        //首余数处理
        count += hash[fdp[i] % k] - 1;
        //副余数处理
        int t = fdp[i] % k > 0 ? fdp[i] % k - k : fdp[i] % k + k;
        count += hash[t];
    }
    cout << count;
}

写给我自己的话：算法是当下（Linux IO中途刚到）学习的重点，价值在于严谨思维逻辑的锻炼、也是当下阶段提高思维方法有效武器。该算法题目纯手搓+额外问题的自行研究弱化学习内容面的扩大的作用，这种拓展研究能力调试能力更是真正价值的体现，坚持与调整算法题目的解答不仅作用于解题，更作用于我简介的"打破固有陋习"调整"学习方法"。（2026-0523）