2025 CSP-S提高级（第一轮）C++真题
考试时间：60分钟 总分：100 及格分：60
一、单选题 (共15题，每题2分)
1、有5个红色球和5个蓝色球，除颜色外完全相同，将10个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？
A：25
B：30
C：6
D：120
【正确答案】
C
【试题解析】
先将所有红色球排成一排，会形成6个空隙，每个空隙最多放一个蓝色球，从6个空隙中选5个放蓝球，方案数为C(6,5)=6。
2、在KMP算法中，对于模式串P='abacaba'，其next数组（next[i]定义为模式串P[0...i]最长公共前后缀的长度，且数组下标从0开始）的值是什么？
A：{0,0,1,0,1,2,3}
B：{0,1,2,3,4,5,6}
C：{0,0,1,1,2,2,3}
D：{0,0,0,0,1,2,3}
【正确答案】
A
【试题解析】
next[i]定义为P[0..i]最长公共前后缀（不能是P[0..i]本身，需同时是前缀与后缀）的长度。
i=0时，P[0..i]为"a"，长度0；
i=1时，P[0..i]为"ab"，长度0；
i=2时，P[0..i]为"aba"，长度1；
i=3时，P[0..i]为"abac"，长度0；
i=4时，P[0..i]为"abaca"，长度1；
i=5时，P[0..i]为"abacab"，长度2；
i=6时，P[0..i]为"abacaba"，长度3。
3、对一个大小为16（下标0-15）的数组构建满线段树，查询区间[3,11]时，最少需要访问多少个树结点（包括路径上的父结点和完全包含在查询区间内的结点）？
A：7
B：8
C：9
D：10
【正确答案】
B
【试题解析】
满线段树结构为：
0,15\]分为\[0,7\]和\[8,15\]；
\[0,7\]分为\[0,3\]和\[4,7\]；
\[8,15\]分为\[8,11\]和\[12,15\]；
\[0,3\]分为\[0,1\]和\[2,3\]。
查询\[3,11\]时，需访问\[0,15\]、\[0,7\]、\[8,15\]、\[0,3\]、\[4,7\]、\[8,11\]、\[2,3\]、\[3,3\]，共8个节点。
4、将字符串"cat""car""cart""case""dog""do"插入一个空的Trie树（前缀树）中，构建完成的Trie树（包括根节点）共有多少个结点？
A：8
B：9
C：10
D：11
【正确答案】
****D****
【试题解析】
按Trie树构建规则，依次插入各字符串，统计节点总数。
5、对于一个包含n个结点和m条边的有向无环图（DAG），其拓扑排序的结果有多少种可能？
A：只有1种
B：最多n种
C：等于n-m种
D：以上都不对
【正确答案】
****D****
【试题解析】
拓扑排序是找到n个节点的排列顺序，使图中每一条a指向b的边，在排列中a都出现在b前面。举例n=3、m=0时，任何1-3的排列都符合要求，数量为3!=6种，A、B、C选项均不符合。
6、在一个大小为13的哈希表中，使用闭散列法的线性探查来解决冲突，哈希函数为H(key)=key mod 13，依次插入关键字18、26、35、9、68、74，插入74后，它最终被放置在哪个索引位置？
A：5
B：7
C：9
D：11
【正确答案】
****D****
【试题解析】
哈希冲突指key1≠key2但H(key1)=H(key2)，计算各关键字哈希值及插入位置：
18 mod 13=5，插入下标5；
26 mod 13=0，插入下标0；
35 mod 13=9，插入下标9；
9 mod 13=9（冲突），插入下标10；
68 mod 13=3，插入下标3；
74 mod 13=9（冲突，9、10均被占），插入下标11。
7、一个包含8个顶点的完全图（顶点编号1到8），任意两点之间的边权重等于两顶点编号的差的绝对值，该图的最小生成树总权重是多少？
A：7
B：8
C：9
D：10
【正确答案】
****A****
【试题解析】
最小生成树是选边构成树且权值和最小。用Kruskal算法，将边权从小到大排序，边权最小的边为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)、(7,8)，权值均为1，总和7。
8、如果一棵二叉搜索树的后序遍历序列是2,5,4,8,12,10,6，那么该树的前序遍历是什么？
A：6,4,2,5,10,8,12
B：6,4,5,2,10,12,8
C：2,4,5,6,8,10,12
D：12,8,10,5,2,4,6
【正确答案】
****A****
【试题解析】
二叉搜索树性质为"树根左子树点权≤树根点权，右子树点权≥树根点权，且左右子树也为二叉搜索树"。
后序遍历最后一个数为根节点6；
左子树节点为2、5、4，根为4（左子树2，右子树5）；
右子树节点为8、12、10，根为10（左子树8，右子树12）；
前序遍历为6,4,2,5,10,8,12。
9、一个0-1背包问题，背包容量为20，现有5个物品，重量和价值分别为7,5,4,3,6和15,12,9,7,13，装入背包的物品能获得的最大总价值是多少？
A：43
B：41
C：45
D：44
【正确答案】
****D****
【试题解析】
0-1背包中物品要么选要么不选，分类讨论：
装5个物品：总重量25\>20，不合法；
装4个物品：移走一个物品使总价值最大，选重量3、4、6、7的物品，价值和7+9+13+15=44；
装3个物品：价值最大的3个物品价值和40\<44。
10、在一棵以结点1为根的树中，结点12和结点18的最近公共祖先（LCA）是结点4，下列哪个结点的LCA组合是不可能出现的？
A：LCA(12,4)=4
B：LCA(18,4)=4
C：LCA(12,18,4)=4
D：LCA(12,1)=4
【正确答案】
****D****
【试题解析】
因树以1为根，1是所有节点的祖先，LCA(12,1)应为1，而非4。
11、递归关系式T(n)=2T(n/2)+O(n²)描述了某个分治算法的时间复杂度，该算法的时间复杂度是多少？
A：O(n)
B：O(nlogn)
C：O(n2)
D：O(n2logn)
【正确答案】
****C****
【试题解析】
用主定理或递归树法。递归树中：
第1层总时间复杂度n2；
第2层2\*(n/2)2=n2/2；
第3层4\*(n/4)2=n2/4；
......总和为n2\*(1+1/2+1/4+...)≤2n2，时间复杂度为O(n2)。
12、在一个初始为空的最小堆（min-heap）中，依次插入元素20,12,15,8,10,5，然后连续执行两次"删除最小值"（delete-min）操作，此时堆顶元素是什么？
A：10
B：12
C：15
D：20
【正确答案】
****A****
【试题解析】
最小堆堆顶是最小值：
插入后堆为\[5,8,12,20,10,15\]；
第一次删最小值5，堆调整为\[8,10,12,20,15\]；
第二次删最小值8，堆调整为\[10,15,12,20\]，堆顶为10。
13、1到1000之间，不能被2、3、5中任意一个数整除的整数有多少个？
A：266
B：267
C：333
D：734
【正确答案】
****A****
【试题解析】
设全集U（1-1000），集合X（2的倍数）、Y（3的倍数）、Z（5的倍数）：
\|U\|=1000，\|X\|=500，\|Y\|=333，\|Z\|=200；
\|X∩Y\|=166，\|X∩Z\|=100，\|Y∩Z\|=66，\|X∩Y∩Z\|=33；
用容斥原理：1000-500-333-200+166+100+66-33=266。
14、斐波那契数列定义为F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，使用朴素递归方法计算F(n)的时间复杂度是指数级的，而使用动态规划（或迭代）方法的时间复杂度是线性的，造成这种差异的根本原因是？
A：递归函数调用栈开销过大
B：操作系统对递归深度有限制
C：朴素递归中存在大量的重叠子问题未被重复利用
D：动态规划使用了更少的数据存储空间
【正确答案】
****C****
【试题解析】
朴素递归会重复计算大量重叠子问题（如计算F(5)需算F(4)和F(3)，算F(4)又需算F(3)和F(2)），动态规划通过存储子问题结果避免重复计算。
15、有5个独立的、不可抢占的任务A1,A2,A3,A4,A5需在一台机器上执行（从时间0开始），每个任务有处理时长和截止时刻（原文部分数据表述可能存在排版问题），为使总惩罚最小，应选择哪个任务作为第一个执行任务？
A：处理时间最短的任务A5
B：截止时间最早的任务A3
C：处理时间最长的任务A4
D：任意一个任务都可以
【正确答案】
****B****
【试题解析】
举例"25 9 10 15"方案中，A3作为开头可使总惩罚为0，其他任务开头可能无法实现。
#### ******二、组合题（阅读程序） (共18题，每题2分)******
1、阅读程序（一）
1-6题 组合题
include \
B：d[u][used]
C：d[t][used]
D：INF
3、③处应填？
A：d[v][1]
B：d[v][used]
C：d[u][used]
D：d[v][0]
4、④处应填？
A：d[v][0]
B：d[v][1]
C：d[u][0]
D：d[u][1]
5、⑤处应填？
A：d[t][1]
B：d[t][0]
C：min(d[t][0], d[t][1])
D：d[t][0] + d[t][1]
2、完善程序（二）
6-10题 组合题
生产线测试
题目背景
工厂打算通过客户反馈来间接测试生产线，从而找到存在缺陷的生产线。工厂有n条生产线（编号0～n-1），已知其中恰有一条生产线存在缺陷。每一轮测试为，从若干生产线的产品取样混合成一个批次发给客户。若该批次中包含缺陷生产线的产品，客户将要求退货（结果记为1），否则正常收货（记为0）。受售后压力限制，在所有发货批次中，最多只能有k次退货（即结果为1的次数≤k）。工厂的目标是，设计最少的间接测试轮数w（发货总批次），保证根据客户收货或退货的反馈结果，唯一确定存在缺陷的生产线。
以下程序实现了工厂的目标，包含两部分：
i) 确定w的最小值，并设计最优测试方案；
ii) 根据测试结果推断存在缺陷的生产线。
该程序确定w最小值的方法为：由于不同的生产线故障时，测试应当返回不同的结果，因此w轮测试的可能结果数不应少于生产线数量。
`test_subset()` 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示为每批次的检测结果（即最低位是第1批次、最高位是第w批次）；其实现在此处未给出。
`test_subset()` 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示为每批次的检测结果（即最低位是第1批次、最高位是第w批次）；其实现在此处未给出。
试补全程序。
include <algorithm>
include <cstddef>
include <iostream>
include <vector>
using namespace std;
long long comb(int w, int i) { // 计算组合数C(w,i)
if (i < 0 || i > w) {
return 0;
}
long long res = 1;
for (int t = 1; t <= i; ++t) {
res = res * (w t + 1) / t;
}
return res;
}
long long count_patterns(int w, int k) { // 计算长度为w、1的个数≤k的码字总数
long long total = 0;
for (int t = 0; t <= min(w, k); ++t) {
total += comb(w, t);
}
return total;
}
int test_subset(const vector<vector<int>> &plan); // 抽象测试接口
int solve(int n, int k) {
// 第1步：求最小w
int w = 1;
while ( ① ) { // ①处待完善
++w;
}
cout << w << endl;
// 第2步：生成n个长度为w、含1的数量不超过k的二进制串，保存在code里面
vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
int idx = 0;
for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
vector<int> bits(w, 0);
fill(bits.begin(), bits.begin() + ones, 1);
do {
for (int b = 0; b < w; ++b) {
code[idx][b] = bits[b];
}
++idx;
if (idx >= n) {
break;
}
} while ( ② ); // ②处待完善
}
// 第3步：生成测试方案plan
vector<vector<int>> plan(w);
for (int i = 0; i < w; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if ( ③ ) { // ③处待完善
plan[i].push_back(j); // 将第j条生产线产品混合到第i轮测试
}
}
}
// 第4步：调用测试接口
int signature = test_subset(plan);
// 第5步：结果解码，将signature转为二进制串sig_bits
vector<int> sig_bits(w, 0);
for (int i = 0; i < w; ++i) {
if ( ④ ) { // ④处待完善
sig_bits[i] = 1;
}
}
// 第6步：匹配sig_bits与code，找到缺陷生产线
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if ( ⑤ ) { // ⑤处待完善
return j;
}
}
return -1;
}
int main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
int ans = solve(n, k);
cout << ans << endl;
return 0;
}
1、①处应填？
A：(1 << w) < n
B：count_patterns(w, k) < n
C：count_patterns(k, w) < n
D：comb(w, k) < n
2、②处应填？
A：next_permutation(bits.begin(), bits.end())
B：prev_permutation(bits.begin(), bits.end())
C：next_permutation(bits.begin(), bits.begin() + ones)
D：prev_permutation(bits.begin(), bits.begin() + ones)
3、③处应填？
A：(j>>i) & 1
B：(i >> j) & 1
C：code[i][j] = 1
D：code[j][i] == 1
4、④处应填？
A：(signature>>i) & 1
B：(signature >> i) ^ 1
C：signature | (1 << i)
D：(signature >> 1) | 1
5、⑤处应填？
A：is_permutation(code[j].begin(), code[j].end(), sig_bits.begin())
B：code[j] == sig_bits
C：plan[j] == sig_bits
D：code[j][i] == sig_bits[i]