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1.摘要
针对带容量约束车辆路径问题难以保留优质路径片段的缺陷，本文提出双学习进化算法（BiLEA），其融合统计学习与进化学习，借助知识引导交叉和基于最优子结构的局部搜索策略，有效提取并保留最优子结构。
2.BiLEA算法
BiLEA以全局最优解更新状态为导向，动态交替统计学习(SL)与进化学习(EL)
阶段：连续 τ \tau τ代停滞时切入EL阶段，利用KGC与变异策略增强全局探索；解更新时切回SL阶段，基于精英概率模型采样加速收敛。
编解码方案
BiLEA算法交替使用矩阵与序列两种编码。矩阵编码作为核心二维表示，贯穿进化、局部搜索及评估全过程，其每一行对应单辆车的完整路径；序列编码则是仅供SL阶段概率模型采样的临时一维线性抽象，两者间的转换依赖车辆容量约束：矩阵按行拼接展平为序列，旨在提取优质个体的节点相对顺序供模型学习；序列则依容量测值截断并还原为矩阵。
种群初始化
初始种群将随机客户序列逐行分配，优先生成 m − 1 m-1 m−1条( m m m 为车辆总数) 满足容量约束 Q Q Q的可行路径。若剩余节点超载，则全部插入随机既有路径构成不可行个体，并对其目标函数施加惩罚项Penalty。
统计学习阶段
为增强算法在优质解区域的开发能力，BiLEA在统计学习(SL)阶段引入了概率模型学习机制 。选取当前种群中适应度最高的前 λ \lambda λ个精英个体组成集合 ψ \psi ψ，构建位置概率矩阵 P ∈ P\in P∈ R n × n \mathbb{R}^{n\times n} Rn×n,结合拉普拉斯平滑系数 ϵ \epsilon ϵ与统计频次 f i , j f_i,j fi,j，计算客户 i i i在给定 ψ \psi ψ时位于序列第 j j j位条件概率：
P i , j = f i , j + ϵ ∑ k = 1 n ( f k , j + ϵ ) P_{i,j}=\frac{f_{i,j}+\epsilon}{\sum_{k=1}^n(f_{k,j}+\epsilon)} Pi,j=∑k=1n(fk,j+ϵ)fi,j+ϵ
依据调率矩阵执行无放回的逐位采样以生成新个体序列，并将其还原为满足容量约束的矩阵编码。
进化学习阶段
进化学习但)阶段采用知识引导交叉(KGC)与变异策略增强全局探索。KGC依据被坏率计算需剔除节点数量：
b r o k e n n u m = N × B R broken_num=N\times BR brokennum=N×BR
算法将父代1中被移除的节点按父代2的位置特征重新插入，从而有效继承优质子结构，以概率 P m P_m Pm执行子路径内的节点交换变异。基于最优子结构局部搜索(OSLS)综合运用两点交换、 单点丢弃、路径反转操作进行深度精细寻优，并辅以不可行解修复机制严格保障车辆容量约束，全面提升解的质量。
3.结果展示
4.参考文献
Zeng W, Zhao H, Li J Y, et al. Bi-Learning Evolutionary Optimization with Substructure Preservation for the Capacitated Vehicle Routing Problem[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2026.
5.代码获取
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6.算法辅导·应用定制·读者交流
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