图论天花板：Dijkstra最短路径算法详解

一、上期回顾 Day30

掌握图论基础、邻接表、拓扑排序 ，解决任务依赖、有向图判环、课程排序问题。今天学习图论天花板级高频考点 ：Dijkstra 单源最短路径算法。

二、Dijkstra 算法核心概念

1. 解决什么问题

给定带权有向 / 无向图 ，求一个起点 到其他所有点 的最短路径。

权值：距离、时间、花费
适用：边权非负（没有负数权值）

2. 核心思想（贪心）

每次选离起点最近 且未访问的点
用这个点松弛（更新）它邻居的距离
标记已访问，不再重复处理
直到所有点处理完毕

三、必备数据结构

邻接表 ：存图（比邻接矩阵高效）

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vector<pair<int, int>> edge[N];
// edge[u] = {v, w}  从u到v，边权w

距离数组 dist \[\] ：dist[i] 起点到 i 点的最短距离
访问数组 vis \[\]：标记已确定最短路径的点
优先队列（堆）：堆优化，O (E log V)，效率爆炸

四、堆优化 Dijkstra 万能模板（必背）

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;

const int N = 10005;
vector<pair<int, int>> edge[N];  // 邻接表：to, weight
int dist[N];                     // 最短距离
bool vis[N];                     // 访问标记
int n, m;                        // 点数，边数

// Dijkstra 堆优化版
void dijkstra(int start)
{
    // 初始化距离为无穷大
    fill(dist, dist + N, INT_MAX);
    fill(vis, vis + N, false);
    dist[start] = 0;

    // 优先队列：小根堆（距离最小优先）
    // pair<int, int>：{距离，节点编号}
    priority_queue<pair<int, int>,
                   vector<pair<int, int>>,
                   greater<pair<int, int>>> pq;

    pq.push({0, start});

    while (!pq.empty())
    {
        auto [d, u] = pq.top();
        pq.pop();

        if (vis[u]) continue;   // 已处理跳过
        vis[u] = true;

        // 遍历所有邻居
        for (auto [v, w] : edge[u])
        {
            if (!vis[v] && dist[v] > d + w)
            {
                dist[v] = d + w;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        edge[u].emplace_back(v, w);
        // 无向图再加一行 edge[v].emplace_back(u, w);
    }

    dijkstra(1);  // 从1号点出发

    // 输出到所有点的最短距离
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << dist[i] << " ";

    return 0;
}

五、关键步骤拆解

初始化：起点距离 = 0，其余无穷大
小根堆 ：每次拿最近点

松弛操作 ：

复制代码

if (dist[v] > dist[u] + w)
    dist[v] = dist[u] + w;

标记访问：每个点只处理一次，保证效率

六、适用场景

地图导航最短路径
网络传输最小延迟
工程最小花费
带权图单源最短路（无负权）

七、易错点提醒

必须用小根堆（greater），不能用默认大根堆
边权不能为负数，否则失效
无向图 = 双向加边
距离数组初始化为极大值

八、今日核心总结

Dijkstra = 贪心 + 堆优化 + 松弛操作
解决带权图单源最短路径
邻接表存图，小根堆提速
时间复杂度 O(E log V)，刷题首选
边权不能为负

九、课后练习

手写堆优化 Dijkstra 模板
构造简单带权图，求起点到各点最短路
尝试无向图写法