跳表（skiplist）

1.什么是跳表-skiplist

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。

skiplist是由William Pugh发明的，最早出现于他在1990年发表的论文。skiplist，顾名思义，首先它就是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。

William Pugh开始的优化思路：

假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。
依次类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。
skiplist正是受这种多层链表的想法启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点以后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格2:1的对应关系，如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕变成O(N)。
skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。

2.skiplist的效率如何保证

上面我们说到，skiplist插入一个节点是随机出一个层数，如何保证搜索时的效率呢？

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxlevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率为p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：

p = 1/4

maxlevel = 32

根据前面randomLevel的伪代码，我们很容易看出，产生越高节点层数，概率越低。定量的分析如下：

节点层数至少为1。而大于1的结点层数，满足一个概率分布。
节点层数恰好等于1的概率为1-p。
节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p*(1-p)
节点层数大于等于3的概率为，而节点层数恰好等于3的概率为*(1-p)
节点层数大于等于4的概率为，而节点层数恰好等于4的概率为*(1-p)
......

因此，一个节点的平均层数，计算如下：

很容易计算出：

当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；
当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；

时间复杂度：平均O(log N)，与平衡树相当。

3.跳表的实现

3.1 跳表的节点

本质是多层有序单链表的组合，最底层（第0层）是完整的有序链表，上层是下层的索引层、

每个节点包含：

存储的值val
多层指针数组nextV，用vector<Node*>实现，nextV表示该节点在第 i 层的下一个节点。

头结点head是哨兵节点，其层数等于当前跳表的最大层数。

cpp 复制代码

//跳表的节点
struct SkiplistNode
{
	int _val;
	vector<SkiplistNode*> _nextV;

	SkiplistNode(int val, int level)//用当前节点的值和层数进行初始化
		:_val(val)
		,_nextV(level, nullptr)
	{}
};

cpp 复制代码

class Skiplist 
{
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() 
    {
        srand(time(0));//随机数种子
        _head = new Node(-1, 1);//头节点值默认-1，层数默认为1。
    }
private:
    Node* _head;
    double _p = 0.5;//随机数生成的概率
    size_t _maxlevel = 32;//最大的层数
};

3.2 跳表的查找

要用当前节点下一个节点的值来比较（因为是从头结点开始的）。

cpp 复制代码

    bool search(int target) 
    {
        Node* cur = _head;
        int level = cur->_nextV.size() - 1;//使用下标
        while (level >= 0)//当找到的层数为-1时，说明没有找到，终止
        {
            //这个节点的下一个节点存在并且小于要找的值，就往这个节点跳
            if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)
            {
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            //这个节点的下一个节点不存在或者下个节点的值大于要找的值，level--，向下寻找
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
            {
                level--;
            }
            else//找到了
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

3.3 跳表的插入

核心逻辑：找到每一层的前驱节点，再逐层执行单链表插入

插入操作分为三步：

查找插入位置：按照查找逻辑，找到每一层中带插入节点的前驱节点（即每一层中最后一个小于目标值的节点）。
生成随机层数：调用随机函数生成新节点的层数。
链接节点：从第0层到最高层，依次将新节点插入到对应层的前驱节点和后继节点之间。

3.3.1 找到插入的位置

找到要插入的数每一层对应的上一个节点

cpp 复制代码

    //找到当前数每一层对应的上一个节点
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        Node* cur = _head;
        int level = cur->_nextV.size() - 1;
        vector<Node*> prev(level + 1, _head);//初始化prev，开对应层数的空间，每一层的下一个节点指向_head
        while (level >= 0)//遍历节点的每一层，找到每一层对应的前驱
        {
            //小于要找的值时 一直向后查找
            if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
            {
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            else if(cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)//大于等于这个值的时候就将这节点给了前驱
            {
                //更新level层前一个
                prev[level] = cur;
                //向下走
                level--;
            }
        }

        return prev;
    }

3.3.2 生成随机数

C语言版，随机数落在 $0, RAND_MAX \* _p$ 之间来替代概率。

cpp 复制代码

    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;//初始层数置为1
        //rand()-> [0, RAND_MAX]之间
        while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxlevel)
        {
            ++level;
        }
        return level;
    }

C++版：包含#include<random>，#include<chrono>两个头文件

cpp 复制代码

    int RandomLevel()
    {
        static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());
        static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0,
            1.0);
        size_t level = 1;
        while (distribution(generator) <= _p && level < _maxlevel)
        {
            ++level;
        }
        return level;
    }

3.3.3 插入

cpp 复制代码

   void add(int num) 
    {
        //找到要插入这个值的前驱
        vector<Node*> prev = FindPrevNode(num);
        int n = RandomLevel();
        Node* newnode = new Node(num, n);
        
        if (n > _head->_nextV.size())
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);//如果层数超出了头结点的层数，更新头结点的层数
            prev.resize(n, _head);//_head修改，prev也得修改
        }

        //链接前后节点
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            newnode->_nextV[i] = prev[i]->_nextV[i];
            prev[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }

3.4 跳表的删除

与插入逻辑相似，核心也是找到每一层的前驱节点

cpp 复制代码

    bool erase(int num) 
    {
        //prev[i] 代表待删除节点在第 i 层的直接前驱节点；
        vector<Node*> prev = FindPrevNode(num);
        //第一层的下一个不存在，或者不是num，说明这个值不在表中
        if (prev[0]->_nextV[0] == nullptr || prev[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }
        else
        {
            //跳表最底层包含了所有节点，只要找到第 0 层的目标节点，就拿到了完整的节点
            //前驱节点在第 0 层的下一个节点 → 就是我们要删除的节点；
            Node* del = prev[0]->_nextV[0];

            //del节点每一层的前后指针链接起来
            for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
            {
                prev[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
            }
            delete del;

            //如果删除最高节点，把头结点的层数也降一下
            int i = _head->_nextV.size() - 1;
            while (i >= 0)
            {
                if (_head->_nextV[i] == nullptr)
                {
                    --i;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
            _head->_nextV.resize(i + 1);

            return true;
        }
    }

4.跳表与其他数据结构对比

|------|---------|------------|--------------------|------|-----|-------------------|
| 数据结构 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 空间复杂度 | 实现难度 | 有序性 | 核心特点 |
| 跳表 | O(logn) | O(n)（极端随机） | O(n)（平均2个指针/节点） | 低 | 是 | 实现简单，无扩容抖动，支持范围查询 |
| 红黑树 | O(logn) | O(logn) | O(n)（3个指针+颜色/节点） | 高 | 是 | 性能最稳定，无随机因素 |
| AVL树 | O(logn) | O(logn) | O(n)（3个指针+平衡因子/节点） | 极高 | 是 | 高度平衡，旋转操作频繁 |
| 哈希表 | O(1) | O(n)（极端冲突） | O(n)（表空间+冲突链） | 中 | 否 | 非极端场景最快，有扩容抖动 |

5.跳表的优势

优势：

实现及其简单，远低于红黑树和AVL树，调试和维护成本低
空间消耗更低（平均指针数少于平衡树）
无哈希表扩容带来的性能抖动
天然有序，支持范围查询，迭代器实现简单（直接遍历第0层）

不足：

存在随机因素，小数据量下可能出现局部性能波动
单向链表结构，只能单向遍历
删除最高层节点后需要额外处理头结点层数

1206. 设计跳表 - 力扣（LeetCode）