动态规划入门：从斐波那契到爬楼梯

一、动态规划核心思想

动态规划本质：拆分大问题为重叠子问题，保存子问题结果，避免重复计算

适用场景：问题可拆解、子问题重复、存在最优子结构
核心优势：把暴力递归指数级复杂度，优化为多项式复杂度
两大关键点：状态定义 、状态转移方程

二、DP 解题标准四步（必按顺序分析）

状态定义 ：定义 dp 数组含义，dp[i] 代表什么
初始状态：确定 dp 数组初始值、边界条件
状态转移：推导递推公式，建立前后状态关系
结果输出：确定最终答案对应 dp 数组位置

三、入门例题 1：斐波那契数列

题目描述

F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，求第 n 项数值。

1. 暴力递归（缺点：大量重复计算）

复制代码

int fib(int n)
{
    if(n == 0) return 0;
    if(n == 1) return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

2. 基础 DP 数组写法

复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int fibDP(int n)
{
    if(n <= 1) return n;
    // 1. 状态定义：dp[i] 表示第i个斐波那契数
    vector<int> dp(n+1);
    // 2. 初始状态
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    // 3. 状态转移方程
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    // 4. 输出结果
    return dp[n];
}

3. 空间优化版（滚动变量，O (1) 空间）

仅依赖前两个值，无需完整数组，刷题常用：

复制代码

int fibOpt(int n)
{
    if(n <= 1) return n;
    int a = 0, b = 1, c;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

四、入门例题 2：爬楼梯（LeetCode 70）

题目描述

每次只能爬 1 阶或 2 阶楼梯，求爬到第 n 阶共有多少种不同方法。

解题推导

状态定义 ：dp[i] = 爬到第 i 阶楼梯的方法数
初始状态 ：
- dp $1$ = 1（1 阶只有 1 种）
- dp $2$ = 2（2 阶：1+1 / 2）
状态转移 ：到第 i 阶，只能从 i-1 或 i-2 过来 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

完整代码

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int climbStairs(int n)
{
    if(n <= 2) return n;
    vector<int> dp(n+1);
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    }
    return dp[n];
}

空间优化版

复制代码

int climbStairsOpt(int n)
{
    if(n <= 2) return n;
    int pre1 = 1, pre2 = 2, cur;
    for(int i = 3; i <= n; i++)
    {
        cur = pre1 + pre2;
        pre1 = pre2;
        pre2 = cur;
    }
    return pre2;
}

五、DP 与递归、贪心简单区分

递归：自顶向下求解，重复计算多，效率低
动态规划：自底向上递推，缓存子问题结果，效率高
贪心：每一步选局部最优，不一定能得到全局最优；DP 一定求全局最优

六、动态规划常见分类

一维 DP：斐波那契、爬楼梯、打家劫舍（今日内容）
二维 DP：最长公共子序列、背包问题、路径问题
区间 DP、状态压缩 DP、树形 DP（进阶难点）

七、新手高频易错点

状态定义模糊，无法推导转移方程（DP 最大难点）
初始边界值设置错误，结果整体偏差
循环起止下标写错，漏算 / 重复计算
盲目套用模板，不分析题目状态关系

八、今日总结

DP 核心：存子问题答案，避免重复计算
解题四步走：定义状态 → 初始化 → 状态转移 → 输出结果
斐波那契、爬楼梯是一维 DP 入门标杆，转移方程形式一致
可通过滚动变量优化空间，面试加分技巧