行列式
行列式的定义
我们前面已经学过线性变换，现在让我们在一个x-y的二维平面上，令基底i⃗=(10)\vec i=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}i =(10)j⃗=(01)\vec j=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}j =(01)
他们两个构成的是一个面积为1的正方形；现在进行线性变换，j⃗=(12)\vec j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}j =(12) i⃗\vec ii 不变，现在我们获得的是一个长1高2面积为2的平行四边形。这个线性变换导致面积发生了变化，而这个面积变化的缩放比例kkk就是变化的行列式。
不过行列式本质上是一个函数，他将矩阵映射成一个标量/数字，这个数字展示出线性变化带来的面积变化
1.对于2×22×22×2矩阵
det(abcd)\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}(acbd)=ad−bcad-bcad−bc
2.对于n×nn×nn×n矩阵AAA
detA=a11detA11−a12detA12+...+(−1)1+na1ndetA1ndetA=a_{11} det A_{11} − a_{12} det A_{12}+...+(-1)^{1+n}a_{1n}detA_{1n}detA=a11detA11−a12detA12+...+(−1)1+na1ndetA1n
这里求矩阵的行列式是选取了第一行，那么我们是否可以选取第一列或者第二行作为aija_{ij}aij中新的iii或者jjj呢
余子式
给定一个 n×nn×nn×n 的矩阵 AAA，矩阵 AijA_{ij}Aij 是通过删去矩阵 AAA 的第iii 行和第jjj 列后，得到的一个 (n−1)×(n−1)(n−1)×(n−1)(n−1)×(n−1) 的矩阵。
定义有，n×nn × nn×n的矩阵AAA，他的余子式Cij=(−1)i+jdetAijC_{ij}=(-1)^{i+j}detA_{ij}Cij=(−1)i+jdetAij
为什么余子式要带上（−1）i+j（-1）^{i+j}（−1）i+j部分？上面矩阵也是如此，那么这一部分是什么
因为行列式代表的是"有向面积"或"有向体积"，进行变号而不是一味的数字累加，体现出向量的方向性；只需要选择一行/一列可以想象成切蛋糕，选择只是你的方法，你横着切完和竖着切完这个空间的面积也不会出现变化
Laplace Expansion
detA=∑j=1naijCij detA= \sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij} detA=j=1∑naijCij
如果A是一个三角矩阵，那么detAdet AdetA就是主对角线上元素的乘积。
行列式的性质
这里主要是和初等矩阵进行一些变化，因为行列式本质上是一个"面积/体积测量工具"，而初等行运算正是对这个"面积/体积"进行操作的过程。据比如最开始的例子，对i⃗j⃗\vec i \vec ji j 进行了旋转延申，行列式计算得到变化之后的空间大小变化
det(EA)=detE×detAdet(EA)=detE×detAdet(EA)=detE×detA
detE=detE=detE={−1，1，r-1，1，r−1，1，r}
假设A=(abcdefhij)A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\h&i&j\end{pmatrix}A= adhbeicfj ，自己动手代入计算试试
1)detE=−1detE=-1detE=−1
行交换
eg.E1=(010100001)E_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}E1= 010100001
det(E1A)=detA=det(defabchij)det(E_1A)=detA=det \begin{pmatrix}d&e&f\\a&b&c\\h&i&j\end{pmatrix}det(E1A)=detA=det dahebifcj
2)detE=1detE=1detE=1
行替代
E2=(110010001)E_2=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}E2= 100110001
R1=R1+R2R_1=R_1+R_2R1=R1+R2
det(E2A)=−detA=(a+db+ec+fdefhij)det(E_2A)=-detA=\begin{pmatrix}a+d&b+e&c+f\\d&e&f\\h&i&j\end{pmatrix}det(E2A)=−detA= a+ddhb+eeic+ffj
3)detE=rdetE=rdetE=r
行比例变化
E3=(500010001)E_3=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}E3= 500010001
det(E3A)=5detA=(5a5b5cdefhij)det(E_3A)=5detA=\begin{pmatrix}5a&5b&5c\\d&e&f\\h&i&j\end{pmatrix}det(E3A)=5detA= 5adh5bei5cfj
2.方阵可逆
当且仅当detA≠0detA\neq 0detA=0方阵可逆
proof:还记得我们之前矩阵可逆部分有Ek−1Ek−1−1....E2−1E1−1A=IE_{k}^{-1}E_{k-1}^{-1}....E_2^{-1}E_1^{-1}A=IEk−1Ek−1−1....E2−1E1−1A=I
(A=IE1E2....EkA=IE_1E_2....E_kA=IE1E2....Ek)
现在我们假设R=AE1E2....EkR=AE_1E_2....E_kR=AE1E2....Ek,那么detR=detAdet(E)det R=detAdet(E)detR=detAdet(E)如果detA≠0detA\neq 0detA=0那么detR≠0detR\neq 0detR=0
也就是RRR不为0；而其实这个RRR在EEE的一系列变换下也可以变化成单位矩阵III
1）detAT=detAdet A^T = det AdetAT=detA
假设A=(abcdefhij)A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\h&i&j\end{pmatrix}A= adhbeicfj 那么detA=a(ej−if)−b(di−fj）+c（dh−ei)detA=a(ej-if)-b(di-fj）+c（dh-ei)detA=a(ej−if)−b(di−fj）+c（dh−ei)
有
AT=(adhbeicfj)A^T=\begin{pmatrix}a&d&h\\b&e&i\\c&f&j\end{pmatrix}AT= abcdefhij 那么detA=a(ej−if)−b(di−fj）+c（dh−ei)detA=a(ej-if)-b(di-fj）+c（dh-ei)detA=a(ej−if)−b(di−fj）+c（dh−ei)
通过这个例子可以知道不变
2）det(AB)=detAdetBdet(AB) = det A det Bdet(AB)=detAdetB
1）当AAA可逆时
因为如果 A 是可逆的那么它可以被分解为一系列初等矩阵乘积形式(A=IE1E2....EkA=IE_1E_2....E_kA=IE1E2....Ek)
那么有det(AB)=det((E1E2....Ek)B)=det(E1)det((E2...Ek)B)=det(E1)det(E2)...det(Ek)det(B)=det(A)det(B)det(AB) = det((E_1E_2....E_k)B)= det(E_1)det((E_2 ...E_k )B) = det(E_1)det(E_2)...det(E_k)det(B) = det(A)det(B)det(AB)=det((E1E2....Ek)B)=det(E1)det((E2...Ek)B)=det(E1)det(E2)...det(Ek)det(B)=det(A)det(B)
公式成立。
2）当AAA不可逆时
几何变换角度解释：
如果 A 不可逆，那么线性变换T(x⃗)=Ax⃗T(\vec x) = A\vec xT(x )=Ax 就不是满射所以AAA 至少有一行没有主元（pivot），这意味着它的列向量不能张成整个空间。
复合变换也是不可逆的：
既然 AAA 不是满射，那么再乘以 B也就是T(x⃗)=ABx⃗T(\vec x) = AB\vec xT(x )=ABx 依然无法恢复满射性质。所以 ABABAB 也是不可逆的
克莱姆法则
1.
如果矩阵A是Ax=bAx=bAx=b的解，那么有x⃗i=detAi(b)/detA\vec x_i=det A_i(b)/det Ax i=detAi(b)/detA 其中Ai(b)A_i(b)Ai(b)就是第i列换成b
I=e1e2..enI=e1 e2..enI=e1e2..enAIx⃗=Ae⃗1Ae⃗2..Ax⃗i..Ae⃗nAI\vec x=A\\vec e_1 A\\vec e_2..A\\vec x_i ..A\\vec e_nAIx =Ae 1Ae 2..Ax i..Ae n
我们可以知道，detAi(b)=x1deta1,...,ai,...,an+⋯+xideta1,...,ai,...,an+xndeta1,...,ai,...,an=xidetAdetA_i(b)=x _1deta _1,...,a_i,...,a _n+⋯+x _ideta _1,...,a_i,...,a _n+x _ndeta _1,...,a_i,...,a _n=x_idetAdetAi(b)=x1deta1,...,ai,...,an+⋯+xideta1,...,ai,...,an+xndeta1,...,ai,...,an=xidetA
2.
A−1=1/detA∗adj(A)A^{-1}=1/detA *adj(A)A−1=1/detA∗adj(A)where(adjA)=Cji(adjA)=C_{ji}(adjA)=Cji