数据结构-图论-最短路径

一、BFS算法

（无权图、单源最短路径）

类似于BFS遍历及广度优先生成树，只不过加上了d\[\]和path\[\]数组，前者用于记录路径长度，后者用于记录由哪个顶点而来的路径。

手动模拟：

也就是BFS找相邻顶点

代码处理：

初始化

最后遍历之后：此处模拟从2到各顶点的单源路径

实现代码：

void BFS_MIN_Distance(Gaph G,int u){
	
	for(int i = 0; i < G.vexnum; ++i){
		d[i] = INT_MAX;//初始化路径长度
		path[i] = -1;  //最短路径从何而来
		
		d[u] = 0;
		visited[u] = true;
		EnQueue(Q,u);
		while(!isEmpty(Q)){
			DeQueue(Q,u);//队头元素u出队 
			for(w = FirstNeighbor(G,u); w >= 0; w = NextNeighbor(G,u)){
				if(!visited[w]){//w为u的尚未访问邻接顶点 
					d[w] = d[u] + 1;//路径长度+1 
					path[w] = u;//存路径 
					visited[w] = true;//w现在已经访问 
					EnQueue(Q,w);//w入队列 
				}
			}
		} 
		 
	}
} 

二、Dijkstra算法

（无权图+有权图、单源最短路径、不适用负权值）

1.构造

final :记录顶点是否用到

dist ：记录从初始开始的最短路径长度

path ：路径上的前驱

①初始：从v0开始初始化三个数组的信息

②第一轮：1）循环遍历所有结点，找到还没有用到的顶点，并且其dist最小Vi，令其final=true；

2）检查与Vi邻接的顶点，若其final为false，检查更新更小的dist。

③第二轮：

④第三轮：

⑤第四轮：

2.使用

**最短路径长度：**dist2表示从V0-V2最短路径长度为d2 = 9

**路径过程：**path2（V2) -> V1 -> V4 -> V0

3.时间复杂度 O（）

三、Floyd算法

1.算法思想

Floyd算法：求出每一对顶点之间的最短路径

使用动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段

对于n个顶点的图G，求任意一对顶点Vi一>Vj之间的最短路径可分为如下几个阶段：

#初始：不允许在其他顶点中转，最短路径是？

#0：若允许在Vo中转，最短路径是？

#1：若允许在Vo、V中转，最短路径是？

#2:若允许在Vo、V1、V2中转，最短路径是?

#n-1：若允许在Vo、V1、V2...Vn-1中转，最短路径是?

2.手动模拟

3.使用

注：不可以用于负权有环图。

4.代码

//准备工作，初始化矩阵A和path 
for(int k = 0; k < n; k ++){			//遍历以Vk 作为中转点 
	for(int i = 0; i < n; i ++){		//遍历整个矩阵，i为行号，j为列号 
		foe(int j = 0; j < n; j ++){	
			if(A[i][j] > A[i][k]+A[k][j]){ //若以Vk作为中转点时路径更短 
				A[i][j] = A[i][k]+A[k][j]; //更新最短路径 
				path[i][j] = k;			   //记录中转点 
			}
		}
	}
}

5.复杂度

时间复杂度：O()

空间复杂度：O()

四、总结对比三种算法

特性	BFS 算法	Dijkstra 算法	Floyd 算法
无权图	✓	✓	✓
带权图	✗	✓	✓
带负权值的图	✗	✗	✓
带负权回路的图	✗	✗	✗
时间复杂度	O|V|^2 或 O(|V|+|E|)	O(|V|^2)	O(|V|^3)
通常用于	求无权图的单源最短路径	求带权图的单源最短路径	求带权图中各顶点间的最短路径

注：也可用 Dijkstra 算法求所有顶点间的最短路径，重复 ∣V∣ 次即可，总的时间复杂度也是 O(∣V∣^3)

写在最后：本文章用于个人知识点总结，希望能够给你带来帮助。来源于王道数据结构课程。