实分析入门（12）--可测函数

实分析入门：可测函数与简单函数逼近

在第一章里，我们一直在讨论"哪些集合可以被测量"。这个问题最后把我们带到了 σ − \sigma- σ−代数、Borel 集、Lebesgue 可测集这些概念。

现在进入第二章之后，我们的关注对象会从"集合"慢慢转向"函数"。因为积分本质上不是直接对集合做事情，而是对函数做事情。所以在正式定义 Lebesgue 积分之前，我们必须先回答一个问题：

什么样的函数是可以被积分的？ \boxed{\text{什么样的函数是可以被积分的？}} 什么样的函数是可以被积分的？

对 Riemann 积分来说，我们通常只在区间上讨论有界函数，然后通过分割区间来定义积分。但是 Lebesgue 积分的思路不一样。它的基础不是区间分割，而是可测集合。因此，想要对函数积分，函数就必须和可测集合结构相容。

这种"和可测集合结构相容"的函数，就叫做可测函数。

从集合可测到函数可测

我们先回忆一下：在一个可测空间 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 里， Σ \Sigma Σ 里的集合被称为可测集。

如果现在有一个函数

f : X → R , f:X\to\mathbb R, f:X→R,

那么我们怎么判断它是不是"可测"的呢？

一个自然的想法是：既然函数把 X X X 中的点送到 R \mathbb R R 上，那么我们可以拿 R \mathbb R R 里的集合 E E E，看它在 X X X 中的逆像：

f − 1 ( E ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ E } . f^{-1}(E)=\{x\in X:f(x)\in E\}. f−1(E)={x∈X:f(x)∈E}.

如果 E E E 是 R \mathbb R R 上的 Borel 集，那么我们希望 f − 1 ( E ) f^{-1}(E) f−1(E) 是 X X X 中的可测集。也就是说， f f f 不应该把一个正常的 Borel 集拉回成一个不可测的怪集合。这就是可测函数最本质的想法：

函数 f 可测 ⟺ Borel 集的逆像仍然可测。 \boxed{ \text{函数 }f\text{ 可测} \iff \text{Borel 集的逆像仍然可测。} } 函数 f 可测⟺Borel 集的逆像仍然可测。

不过在实际定义时，我们不需要一上来检查所有 Borel 集的逆像。lecture note 里先用了一个更容易操作的条件：检查上水平集。

可测函数的定义

定义 2.1.1： 设 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 是一个可测空间， f : X → R f:X\to\mathbb R f:X→R。如果对任意 t ∈ R t\in\mathbb R t∈R，集合

S f ( t ) : = { x ∈ X : f ( x ) > t } S_f(t):=\{x\in X:f(x)>t\} Sf(t):={x∈X:f(x)>t}

都属于 Σ \Sigma Σ，那么称 f f f 是 Σ − \Sigma- Σ−可测的。若上下文里 Σ \Sigma Σ 已经明确，也直接说 f f f 是可测函数，这里

S f ( t ) = { x : f ( x ) > t } S_f(t)=\{x:f(x)>t\} Sf(t)={x:f(x)>t}

叫做 f f f 的上水平集。

这里就涉及到这样一个问题：为什么要定义上水平集？这里就要回到这一章的标题：积分上来了。我们来回忆一下数学分析中我们熟悉的黎曼积分是怎么做的， f ( x ) f(x) f(x) 在 $a , b$ $a, b$ $a,b$ 上的黎曼积分首先把 $a , b$ $a, b$ $a,b$ 区间分成 n n n 份，然后求黎曼和的极限：

∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n b − a n ⋅ f ( ξ i ) \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 1}^n \frac{b - a}n \cdot f(\xi_i) ∫abf(x)dx=n→∞limi=1∑nnb−a⋅f(ξi)

其中 ξ i ∈ ( a + b − q n ( i − 1 ) , a + b − q n i ] \xi_i \in (a + \frac {b - q}n(i - 1), a + \frac {b - q}ni] ξi∈(a+nb−q(i−1),a+nb−qi]

而在实分析中，我们做的不是黎曼积分，而是 Lebesgue 积分，与黎曼积分不同的是，我们不对 x x x 轴上的 $a , b$ $a,b$ $a,b$ 做划分，反过来我们对 y y y 轴上的值域做划分，如图：

我们让 E j = { x : y j − 1 < f ( x ) ≤ y i } = S f ( y j − 1 ) ∖ S f ( y j ) E_j = \{ x : y_{j - 1} < f(x)\leq y_i \} = S_f(y_{j - 1}) \setminus S_f(y_j) Ej={x:yj−1<f(x)≤yi}=Sf(yj−1)∖Sf(yj)，也就是函数值夹在 ( y j − 1 , y j ) (y_{j - 1}, y_j) (yj−1,yj) 中间的集合，那么我们可以估计这一段的面积大概就是 y j − 1 m ( E j ) y_{j - 1}m(E_j) yj−1m(Ej)，然后就可以用勒贝格和的极限逼近积分：

l m = ∑ j = 1 m y j − 1 m ( E j ) l_m = \sum_{j = 1}^m y_{j - 1}m(E_j) lm=j=1∑myj−1m(Ej)

所以我们需要定义上水平集来方便我们定义 Lebesgue 积分。并且如果对每个高度 t t t，这些点组成的集合都是可测的，那么这个函数就和可测结构是相容的。也就是说，可测函数要求：

每一层水平线以上的区域都应该是可测集。 \boxed{ \text{每一层水平线以上的区域都应该是可测集。} } 每一层水平线以上的区域都应该是可测集。

为什么只检查上水平集就够了？

看到这里可能会有一个问题：为什么定义里只要求

{ x : f ( x ) > t } \{x:f(x)>t\} {x:f(x)>t}

可测，而不是要求所有 Borel 集的逆像都可测？答案是：这两个要求其实等价：Proposition 2.1.2： 设 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 是一个可测空间， f : X → R f:X\to\mathbb R f:X→R 那么下面几件事等价

f f f 是可测函数；
对任意 a ∈ R a\in\mathbb R a∈R，有 f − 1 ( [ a , ∞ ) ) ∈ Σ f^{-1}([a,\infty))\in\Sigma f−1([a,∞))∈Σ
对任意 a ∈ R a\in\mathbb R a∈R，有 f − 1 ( ( − ∞ , a ) ) ∈ Σ f^{-1}((-\,\infty,a))\in\Sigma f−1((−∞,a))∈Σ
对任意 a ∈ R a\in\mathbb R a∈R，有 f − 1 ( ( − ∞ , a ] ) ∈ Σ f^{-1}((-\,\infty,a])\in\Sigma f−1((−∞,a])∈Σ
对任意 Borel 集 E ∈ B R E\in\mathcal B_{\mathbb R} E∈BR，有 f − 1 ( E ) ∈ Σ f^{-1}(E)\in\Sigma f−1(E)∈Σ

这个命题的意思是：你可以用很多不同方式判断函数可测。可以看上水平集，也可以看下水平集，也可以看闭射线，也可以直接看所有 Borel 集的逆像。

这些说法本质上都一样。

证明思路：从上水平集推出 Borel 逆像可测

我们重点看最核心的一步：如果 f f f 可测，为什么对所有 Borel 集 E E E 都有

f − 1 ( E ) ∈ Σ ? f^{-1}(E)\in\Sigma? f−1(E)∈Σ?

这个证明非常典型，因为它又一次用到了"生成的 σ − \sigma- σ−代数"的思想。我们定义一个集合族：

F = { E ⊂ R : f − 1 ( E ) ∈ Σ } . \mathcal F=\{E\subset\mathbb R:f^{-1}(E)\in\Sigma\}. F={E⊂R:f−1(E)∈Σ}.

也就是说， F \mathcal F F 是所有"逆像是可测集"的 R \mathbb R R 的子集组成的集合族。

现在我们的目标就是证明：

B R ⊂ F . \mathcal B_{\mathbb R}\subset\mathcal F. BR⊂F.

因为这就说明所有 Borel 集的逆像都可测。

怎么证明呢？老套路：先证明 F \mathcal F F 是一个 σ − \sigma- σ−代数，然后证明它包含所有开区间。然后再用开区间的可数的交并补生成出所有 Borel 集，于是它们就都被包含在内了。

第一步： F \mathcal F F 是 σ − \sigma- σ−代数

首先，

∅ ∈ F , \varnothing\in\mathcal F, ∅∈F,

因为

f − 1 ( ∅ ) = ∅ ∈ Σ . f^{-1}(\varnothing)=\varnothing\in\Sigma. f−1(∅)=∅∈Σ.

其次，如果 E ∈ F E\in\mathcal F E∈F，那么

f − 1 ( E ) ∈ Σ . f^{-1}(E)\in\Sigma. f−1(E)∈Σ.

而

f − 1 ( E c ) = ( f − 1 ( E ) ) c . f^{-1}(E^c)=(f^{-1}(E))^c. f−1(Ec)=(f−1(E))c.

因为 Σ \Sigma Σ 对补集封闭，所以

f − 1 ( E c ) ∈ Σ . f^{-1}(E^c)\in\Sigma. f−1(Ec)∈Σ.

因此

E c ∈ F . E^c\in\mathcal F. Ec∈F.

最后，如果 E 1 , E 2 , ⋯ ∈ F E_1,E_2,\cdots\in\mathcal F E1,E2,⋯∈F，那么

f − 1 ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) = ⋃ j = 1 ∞ f − 1 ( E j ) . f^{-1}\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)= \bigcup_{j=1}^{\infty}f^{-1}(E_j). f−1(j=1⋃∞Ej)=j=1⋃∞f−1(Ej).

每个 f − 1 ( E j ) f^{-1}(E_j) f−1(Ej) 都在 Σ \Sigma Σ 中，而 Σ \Sigma Σ 对可数并封闭，所以

f − 1 ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) ∈ Σ . f^{-1}\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)\in\Sigma. f−1(j=1⋃∞Ej)∈Σ.

因此

⋃ j = 1 ∞ E j ∈ F . \bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\in\mathcal F. j=1⋃∞Ej∈F.

三条性质都满足，所以 F \mathcal F F 是一个 σ − \sigma- σ−代数。

第二步： F \mathcal F F 包含所有开区间

根据可测函数的定义，我们知道对任意 t ∈ R t\in\mathbb R t∈R，

f − 1 ( ( t , ∞ ) ) = { x : f ( x ) > t } ∈ Σ . f^{-1}((t,\infty))=\{x:f(x)>t\}\in\Sigma. f−1((t,∞))={x:f(x)>t}∈Σ.

所以每个形如 ( t , ∞ ) (t,\infty) (t,∞) 的开射线都属于 F \mathcal F F。

利用补集和可数并、可数交，我们可以进一步得到各种区间的逆像可测。比如

( − ∞ , a ] = ( a , ∞ ) c , (-\infty,a]= (a,\infty)^c, (−∞,a]=(a,∞)c,

所以

f − 1 ( ( − ∞ , a ] ) ∈ Σ . f^{-1}((- \infty,a])\in\Sigma. f−1((−∞,a])∈Σ.

又比如

( a , b ) = ( − ∞ , b ) ∩ ( a , ∞ ) . (a,b)=(-\infty,b)\cap(a,\infty). (a,b)=(−∞,b)∩(a,∞).

因此开区间的逆像也是可测的。

所以 F \mathcal F F 包含所有开区间。

但是 Borel σ − \sigma- σ−代数 B R \mathcal B_{\mathbb R} BR 正是由所有开区间生成的最小 σ − \sigma- σ−代数。现在 F \mathcal F F 是一个 σ − \sigma- σ−代数，并且包含所有开区间，所以必然有

B R ⊂ F . \mathcal B_{\mathbb R}\subset\mathcal F. BR⊂F.

于是对任意 Borel 集 E E E，

f − 1 ( E ) ∈ Σ . f^{-1}(E)\in\Sigma. f−1(E)∈Σ.

这就证明了我们想要的结论。

一般可测空间之间的可测映射

上面我们讨论的是

f : X → R . f:X\to\mathbb R. f:X→R.

但其实可测函数的概念可以推广到一般可测空间之间：如果 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 和 ( Y , M ) (Y,\mathcal M) (Y,M) 是两个可测空间， f : X → Y f:X\to Y f:X→Y，那么我们称 f f f 是 ( Σ , M ) − (\Sigma,\mathcal M)- (Σ,M)−可测的，如果对任意 E ∈ M E\in\mathcal M E∈M，都有 f − 1 ( E ) ∈ Σ f^{-1}(E)\in\Sigma f−1(E)∈Σ

也就是说：目标空间里的可测集，被 f f f 拉回到原空间以后，仍然是可测集。这和拓扑里连续函数的定义很像。

连续函数要求：

开集的逆像仍然是开集。 \text{开集的逆像仍然是开集。} 开集的逆像仍然是开集。

可测函数要求：

可测集的逆像仍然是可测集。 \text{可测集的逆像仍然是可测集。} 可测集的逆像仍然是可测集。

所以可以粗略地理解为：

可测函数是测度论里的"连续函数"。 \boxed{ \text{可测函数是测度论里的"连续函数"。} } 可测函数是测度论里的"连续函数"。

当然，这句话只是类比。可测函数比连续函数弱得多。连续函数一定是 Borel 可测的，但是可测函数不一定连续，甚至可以非常不连续。

连续函数为什么一定 Borel 可测

上面说"连续函数一定是 Borel 可测"，这件事也应该说明一下。它其实就是"开集生成 Borel 集"这一点和"连续函数保持开集逆像"的结合，设

h : R m → R n h:\mathbb R^m\to\mathbb R^n h:Rm→Rn

是连续函数。我们要证明 h h h 是 Borel 可测的，也就是对任意

E ∈ B R n , E\in\mathcal B_{\mathbb R^n}, E∈BRn,

都有

h − 1 ( E ) ∈ B R m . h^{-1}(E)\in\mathcal B_{\mathbb R^m}. h−1(E)∈BRm.

还是用老办法：把所有逆像是 Borel 集的集合收集起来。令

G = { E ⊂ R n : h − 1 ( E ) ∈ B R m } . \mathcal G= \{E\subset\mathbb R^n:h^{-1}(E)\in\mathcal B_{\mathbb R^m}\}. G={E⊂Rn:h−1(E)∈BRm}.

先看 G \mathcal G G 是不是一个 σ − \sigma- σ−代数。

因为

h − 1 ( R n ) = R m ∈ B R m , h^{-1}(\mathbb R^n)=\mathbb R^m\in\mathcal B_{\mathbb R^m}, h−1(Rn)=Rm∈BRm,

所以 R n ∈ G \mathbb R^n\in\mathcal G Rn∈G。如果 E ∈ G E\in\mathcal G E∈G，那么

h − 1 ( E c ) = R m ∖ h − 1 ( E ) , h^{-1}(E^c)=\mathbb R^m\setminus h^{-1}(E), h−1(Ec)=Rm∖h−1(E),

右边是 Borel 集，所以 E c ∈ G E^c\in\mathcal G Ec∈G。如果 E 1 , E 2 , ⋯ ∈ G E_1,E_2,\cdots\in\mathcal G E1,E2,⋯∈G，那么

h − 1 ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) = ⋃ j = 1 ∞ h − 1 ( E j ) , h^{-1}\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)= \bigcup_{j=1}^{\infty}h^{-1}(E_j), h−1(j=1⋃∞Ej)=j=1⋃∞h−1(Ej),

右边仍然是 Borel 集，所以 ⋃ j = 1 ∞ E j ∈ G \bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\in\mathcal G ⋃j=1∞Ej∈G。因此 G \mathcal G G 是一个 σ − \sigma- σ−代数。

接下来，由于 h h h 连续，对任意开集 O ⊂ R n O\subset\mathbb R^n O⊂Rn，都有

h − 1 ( O ) 是 R m 中的开集 . h^{-1}(O)\text{ 是 }\mathbb R^m\text{ 中的开集}. h−1(O) 是 Rm 中的开集.

开集当然是 Borel 集，所以

h − 1 ( O ) ∈ B R m . h^{-1}(O)\in\mathcal B_{\mathbb R^m}. h−1(O)∈BRm.

也就是说，所有开集 O ⊂ R n O\subset\mathbb R^n O⊂Rn 都属于 G \mathcal G G。

但 B R n \mathcal B_{\mathbb R^n} BRn 正是由 R n \mathbb R^n Rn 中所有开集生成的最小 σ − \sigma- σ−代数。现在 G \mathcal G G 是一个 σ − \sigma- σ−代数，而且包含所有开集，所以必然有

B R n ⊂ G . \mathcal B_{\mathbb R^n}\subset\mathcal G. BRn⊂G.

因此对任意 Borel 集 E ∈ B R n E\in\mathcal B_{\mathbb R^n} E∈BRn，

h − 1 ( E ) ∈ B R m . h^{-1}(E)\in\mathcal B_{\mathbb R^m}. h−1(E)∈BRm.

这就证明了连续函数一定是 Borel 可测的。

这条结论后面会反复使用。比如坐标投影、加法函数、乘法函数都是连续函数，所以它们都是 Borel 可测的。

向量值函数的可测性

接下来我们还需要讨论讨论向量值函数，设：

f : X → R n . f:X\to\mathbb R^n. f:X→Rn.

我们可以把它写成

f ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f n ( x ) ) , f(x)=(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)), f(x)=(f1(x),f2(x),⋯,fn(x)),

其中每个

f j : X → R f_j:X\to\mathbb R fj:X→R

是第 j j j 个分量函数。

那么一个很自然的问题是：判断 f : X → R n f:X\to\mathbb R^n f:X→Rn 可测，是不是只需要判断每个分量 f j f_j fj 可测？答案是肯定的：

Proposition 2.1.3： 设 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 是可测空间， f : X → R n f:X\to\mathbb R^n f:X→Rn，并令 P j : R n → R P_j:\mathbb R^n\to\mathbb R Pj:Rn→R 是第 j j j 个坐标投影。那么

f 可测 ⟺ f j = P j ∘ f 可测，对所有 j . f\text{ 可测} \iff f_j=P_j\circ f\text{ 可测，对所有 }j. f 可测⟺fj=Pj∘f 可测，对所有 j.

这个结论非常合理。因为 R n \mathbb R^n Rn 上的 Borel 结构本来就是由各个坐标方向的 Borel 集生成出来的。也就是说，想知道一个点 f ( x ) f(x) f(x) 在 R n \mathbb R^n Rn 里落在哪里，只需要知道它每个坐标落在哪里。

所以向量值函数的可测性可以拆成每个分量的可测性。

我们把证明写一下。这个证明并不难，但它很值得写出来，因为后面证明 f + g , f g f+g,fg f+g,fg 可测时会直接用到它。

先证明从左到右。假设

f : X → R n f:X\to\mathbb R^n f:X→Rn

是可测的。我们要证明每个分量

f j = P j ∘ f f_j=P_j\circ f fj=Pj∘f

都是可测的。

按照可测函数的定义，只要证明对任意 Borel 集 B ∈ B R B\in\mathcal B_{\mathbb R} B∈BR，

f j − 1 ( B ) ∈ Σ . f_j^{-1}(B)\in\Sigma. fj−1(B)∈Σ.

但是

f j − 1 ( B ) = { x ∈ X : f j ( x ) ∈ B } = { x ∈ X : P j ( f ( x ) ) ∈ B } = { x ∈ X : f ( x ) ∈ P j − 1 ( B ) } = f − 1 ( P j − 1 ( B ) ) . \begin{aligned} f_j^{-1}(B) &=\{x\in X:f_j(x)\in B\}\\ &=\{x\in X:P_j(f(x))\in B\}\\ &=\{x\in X:f(x)\in P_j^{-1}(B)\}\\ &=f^{-1}(P_j^{-1}(B)). \end{aligned} fj−1(B)={x∈X:fj(x)∈B}={x∈X:Pj(f(x))∈B}={x∈X:f(x)∈Pj−1(B)}=f−1(Pj−1(B)).

现在 P j : R n → R P_j:\mathbb R^n\to\mathbb R Pj:Rn→R 是连续函数。根据刚刚证明的小引理， P j P_j Pj 是 Borel 可测的。因此如果 B B B 是 R \mathbb R R 中的 Borel 集，那么

P j − 1 ( B ) ∈ B R n . P_j^{-1}(B)\in\mathcal B_{\mathbb R^n}. Pj−1(B)∈BRn.

又因为 f f f 可测，所以

f − 1 ( P j − 1 ( B ) ) ∈ Σ . f^{-1}(P_j^{-1}(B))\in\Sigma. f−1(Pj−1(B))∈Σ.

也就是

f j − 1 ( B ) ∈ Σ . f_j^{-1}(B)\in\Sigma. fj−1(B)∈Σ.

于是每个分量函数 f j f_j fj 都可测。

再证明必要性：假设每个 f j : X → R f_j:X\to\mathbb R fj:X→R 都是可测函数。我们要证明 f : X → R n f:X\to\mathbb R^n f:X→Rn 可测。也就是说，对任意 Borel 集 E ∈ B R n E\in\mathcal B_{\mathbb R^n} E∈BRn，我们要证明：

f − 1 ( E ) ∈ Σ . f^{-1}(E)\in\Sigma. f−1(E)∈Σ.

这里又用到一个很熟悉的套路：先不要直接处理所有 Borel 集，而是把"逆像可测"的集合全部收集起来。令

C = { E ⊂ R n : f − 1 ( E ) ∈ Σ } . \mathcal C= \{E\subset\mathbb R^n:f^{-1}(E)\in\Sigma\}. C={E⊂Rn:f−1(E)∈Σ}.

如果我们能证明

B R n ⊂ C , \mathcal B_{\mathbb R^n}\subset\mathcal C, BRn⊂C,

那就说明所有 Borel 集的逆像都可测，也就是 f f f 可测。

首先， C \mathcal C C 是一个 σ − \sigma- σ−代数。因为

f − 1 ( R n ) = X ∈ Σ . f^{-1}(\mathbb R^n)=X\in\Sigma. f−1(Rn)=X∈Σ.

如果 E ∈ C E\in\mathcal C E∈C，那么 f − 1 ( E ) ∈ Σ f^{-1}(E)\in\Sigma f−1(E)∈Σ，于是

f − 1 ( E c ) = X ∖ f − 1 ( E ) ∈ Σ , f^{-1}(E^c)=X\setminus f^{-1}(E)\in\Sigma, f−1(Ec)=X∖f−1(E)∈Σ,

所以 E c ∈ C E^c\in\mathcal C Ec∈C。如果 E 1 , E 2 , ⋯ ∈ C E_1,E_2,\cdots\in\mathcal C E1,E2,⋯∈C，那么

f − 1 ( ⋃ k = 1 ∞ E k ) = ⋃ k = 1 ∞ f − 1 ( E k ) ∈ Σ , f^{-1}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\right)= \bigcup_{k=1}^{\infty}f^{-1}(E_k)\in\Sigma, f−1(k=1⋃∞Ek)=k=1⋃∞f−1(Ek)∈Σ,

所以 ⋃ k = 1 ∞ E k ∈ C \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\in\mathcal C ⋃k=1∞Ek∈C。因此 C \mathcal C C 的确是一个 σ − \sigma- σ−代数。

接下来只要证明 C \mathcal C C 包含 R n \mathbb R^n Rn 中的开集。因为一旦它包含所有开集，而 B R n \mathcal B_{\mathbb R^n} BRn 正是由开集生成的最小 σ − \sigma- σ−代数，就必然有

B R n ⊂ C . \mathcal B_{\mathbb R^n}\subset\mathcal C. BRn⊂C.

先看一个开矩形：

R = ( a 1 , b 1 ) × ( a 2 , b 2 ) × ⋯ × ( a n , b n ) . R=(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\cdots\times(a_n,b_n). R=(a1,b1)×(a2,b2)×⋯×(an,bn).

那么

f − 1 ( R ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ R } = { x ∈ X : a 1 < f 1 ( x ) < b 1 , ⋯ , a n < f n ( x ) < b n } = ⋂ j = 1 n f j − 1 ( ( a j , b j ) ) . \begin{aligned} f^{-1}(R) &= \{x\in X:f(x)\in R\}\\ &= \{x\in X:a_1<f_1(x)<b_1,\cdots,a_n<f_n(x)<b_n\}\\ &= \bigcap_{j=1}^{n}f_j^{-1}((a_j,b_j)). \end{aligned} f−1(R)={x∈X:f(x)∈R}={x∈X:a1<f1(x)<b1,⋯,an<fn(x)<bn}=j=1⋂nfj−1((aj,bj)).

由于每个 f j f_j fj 都可测，所以

f j − 1 ( ( a j , b j ) ) ∈ Σ . f_j^{-1}((a_j,b_j))\in\Sigma. fj−1((aj,bj))∈Σ.

又因为 Σ \Sigma Σ 对有限交封闭，所以

f − 1 ( R ) ∈ Σ . f^{-1}(R)\in\Sigma. f−1(R)∈Σ.

于是所有开矩形都属于 C \mathcal C C。

但开集不一定是一个矩形，它可能长得很乱。不过在 R n \mathbb R^n Rn 里，每个开集都可以写成可数个开矩形的并。更准确地说，每个开集 O ⊂ R n O\subset\mathbb R^n O⊂Rn 都可以写成所有满足

Q ⊂ O Q\subset O Q⊂O

的有理开矩形 Q Q Q 的并。这里"有理开矩形"指的是端点都是有理数的开矩形：

Q = ( q 1 , r 1 ) × ⋯ × ( q n , r n ) , q j , r j ∈ Q . Q=(q_1,r_1)\times\cdots\times(q_n,r_n), \qquad q_j,r_j\in\mathbb Q. Q=(q1,r1)×⋯×(qn,rn),qj,rj∈Q.

为什么这样可以？如果 y ∈ O y\in O y∈O，因为 O O O 是开集，所以可以找到一个小球 B ( y , ε ) ⊂ O B(y,\varepsilon)\subset O B(y,ε)⊂O。再利用有理数在实数中的稠密性，我们可以在这个小球里面塞进一个包含 y y y 的有理开矩形 Q Q Q，并且让

y ∈ Q ⊂ O . y\in Q\subset O. y∈Q⊂O.

所以 O O O 中的每个点都会被某个有理开矩形覆盖。另一方面，这些有理开矩形本来就都包含在 O O O 里，因此它们的并恰好就是 O O O。

而有理开矩形只有可数多个，因为它们由有限多个有理端点决定。所以 O O O 是可数个开矩形的并。每个开矩形都属于 C \mathcal C C，而 C \mathcal C C 是 σ − \sigma- σ−代数，所以

O ∈ C . O\in\mathcal C. O∈C.

这说明 C \mathcal C C 包含所有开集。于是

B R n ⊂ C . \mathcal B_{\mathbb R^n}\subset\mathcal C. BRn⊂C.

因此对任意 E ∈ B R n E\in\mathcal B_{\mathbb R^n} E∈BRn，都有

f − 1 ( E ) ∈ Σ . f^{-1}(E)\in\Sigma. f−1(E)∈Σ.

也就是说 f f f 可测。两边合起来，就证明了

f 可测 ⟺ f j 对所有 j 都可测 . f\text{ 可测} \iff f_j\text{ 对所有 }j\text{ 都可测}. f 可测⟺fj 对所有 j 都可测.

可测函数的稳定性

可测函数的定义说完了，接下来我们要看一件非常重要的事情：可测函数在常见运算下是稳定的，也就是可测函数在进行加减乘除之后是不是仍然是可测的

具体来说，如果 f , g f,g f,g 都可测，那么我们希望

f + g , f g , max ⁡ ( f , g ) , min ⁡ ( f , g ) f+g, \qquad fg, \qquad \max(f,g), \qquad \min(f,g) f+g,fg,max(f,g),min(f,g)

也都可测。

这件事非常重要。因为如果可测函数做一点普通代数运算就不可测了，那后面的积分理论就根本没法用。

和与积仍然可测

Proposition 2.1.4： 如果 f , g : X → R f,g:X\to\mathbb R f,g:X→R 都是可测函数，那么 f + g f+g f+g 和 f g fg fg 都是可测函数。

证明思路很漂亮，我们先把 f f f 和 g g g 合成一个向量值函数：

F : X → R 2 , F ( x ) = ( f ( x ) , g ( x ) ) . F:X\to\mathbb R^2, \qquad F(x)=(f(x),g(x)). F:X→R2,F(x)=(f(x),g(x)).

因为 f , g f,g f,g 都可测，所以根据刚才的向量值函数命题， F F F 是可测的。

然后定义连续函数

φ : R 2 → R , φ ( z , w ) = z + w . \varphi:\mathbb R^2\to\mathbb R, \qquad \varphi(z,w)=z+w. φ:R2→R,φ(z,w)=z+w.

那么

f + g = φ ∘ F . f+g=\varphi\circ F. f+g=φ∘F.

连续函数是 Borel 可测的，而可测函数的复合仍然可测，所以 f + g f+g f+g 可测。

同理，对乘法函数

ψ ( z , w ) = z w \psi(z,w)=zw ψ(z,w)=zw

也一样。因为 ψ \psi ψ 是连续函数，所以

f g = ψ ∘ F fg=\psi\circ F fg=ψ∘F

也是可测函数。

上确界、下确界和极限仍然可测

现在再考虑函数列。

假设

f 1 , f 2 , f 3 , ⋯ f_1,f_2,f_3,\cdots f1,f2,f3,⋯

是一列可测函数。我们经常会对它们取

sup ⁡ j f j , inf ⁡ j f j , lim sup ⁡ j → ∞ f j , lim inf ⁡ j → ∞ f j . \sup_j f_j, \qquad \inf_j f_j, \qquad \limsup_{j\to\infty}f_j, \qquad \liminf_{j\to\infty}f_j. jsupfj,jinffj,j→∞limsupfj,j→∞liminffj.

那么这些函数是否仍然可测？答案也是肯定的。

Proposition 2.1.5： 如果 ( f j ) j = 1 ∞ (f_j)_{j=1}^{\infty} (fj)j=1∞ 是一列 R ‾ \overline{\mathbb R} R-值可测函数，那么

sup ⁡ j f j , inf ⁡ j f j , lim sup ⁡ j → ∞ f j , lim inf ⁡ j → ∞ f j \sup_j f_j, \qquad \inf_j f_j, \qquad \limsup_{j\to\infty}f_j, \qquad \liminf_{j\to\infty}f_j jsupfj,jinffj,j→∞limsupfj,j→∞liminffj

都是可测函数。因此，如果

lim ⁡ j → ∞ f j \lim_{j\to\infty}f_j j→∞limfj

存在，那么这个极限函数也是可测的，我们看一下 sup ⁡ \sup sup 的证明。

令

g ( x ) = sup ⁡ j f j ( x ) . g(x)=\sup_j f_j(x). g(x)=jsupfj(x).

那么

{ x : g ( x ) > t } = ⋃ j = 1 ∞ { x : f j ( x ) > t } . \{x:g(x)>t\}= \bigcup_{j=1}^{\infty}\{x:f_j(x)>t\}. {x:g(x)>t}=j=1⋃∞{x:fj(x)>t}.

因为 g ( x ) > t g(x)>t g(x)>t 的意思就是：至少有一个 j j j，使得 f j ( x ) > t f_j(x)>t fj(x)>t。

每个集合

{ x : f j ( x ) > t } \{x:f_j(x)>t\} {x:fj(x)>t}

都是可测的，而 Σ \Sigma Σ 对可数并封闭，所以

{ x : g ( x ) > t } ∈ Σ . \{x:g(x)>t\}\in\Sigma. {x:g(x)>t}∈Σ.

因此 g g g 可测。

至于 inf ⁡ \inf inf，可以写成

inf ⁡ j f j = − sup ⁡ j ( − f j ) . \inf_j f_j=-\sup_j(-f_j). jinffj=−jsup(−fj).

所以也是可测的。

再看上下极限：

lim sup ⁡ j → ∞ f j = inf ⁡ k ≥ 1 sup ⁡ j ≥ k f j , \limsup_{j\to\infty}f_j= \inf_{k\ge1}\sup_{j\ge k}f_j, j→∞limsupfj=k≥1infj≥ksupfj,

lim inf ⁡ j → ∞ f j = sup ⁡ k ≥ 1 inf ⁡ j ≥ k f j . \liminf_{j\to\infty}f_j= \sup_{k\ge1}\inf_{j\ge k}f_j. j→∞liminffj=k≥1supj≥kinffj.

所以它们也是可测函数。

这个命题很重要，因为它告诉我们：

可测函数列取逐点极限，仍然是可测函数。 \boxed{ \text{可测函数列取逐点极限，仍然是可测函数。} } 可测函数列取逐点极限，仍然是可测函数。

这正是后面各种收敛定理能成立的基础。

最大值、最小值、正部和负部

由上面的结论，我们马上可以得到：如果 f , g f,g f,g 可测，那么 max ⁡ ( f , g ) \max(f,g) max(f,g) 和 min ⁡ ( f , g ) \min(f,g) min(f,g) 也是可测函数，因为：

max ⁡ ( f , g ) = sup ⁡ { f , g } , \max(f,g)=\sup\{f,g\}, max(f,g)=sup{f,g},

min ⁡ ( f , g ) = inf ⁡ { f , g } . \min(f,g)=\inf\{f,g\}. min(f,g)=inf{f,g}.

进一步，我们可以定义一个函数的正部和负部。

定义 2.1.7： 对任意 f : X → R f:X\to\mathbb R f:X→R，定义

f + ( x ) : = max ⁡ ( f ( x ) , 0 ) , f^+(x):=\max(f(x),0), f+(x):=max(f(x),0),

f − ( x ) : = max ⁡ ( − f ( x ) , 0 ) . f^-(x):=\max(-f(x),0). f−(x):=max(−f(x),0).

f + f^+ f+ 叫做 f f f 的正部， f − f^- f− 叫做 f f f 的负部。

它们满足

f = f + − f − . f=f^+-f^-. f=f+−f−.

也就是说，一个实值函数可以拆成"正的部分"减去"负的部分"。

同时还有

∣ f ∣ = f + + f − . |f|=f^++f^-. ∣f∣=f++f−.

如果 f f f 是可测函数，那么 f + f^+ f+ 和 f − f^- f− 都可测。

这个分解后面非常重要。因为 Lebesgue 积分通常先定义非负函数的积分，然后对一般实值函数用 f = f + − f − f=f^+-f^- f=f+−f− 来处理。

示性函数和简单函数

接下来我们进入一个非常重要的概念：简单函数。

在讲积分之前，简单函数扮演的角色有点像 Riemann 积分里的阶梯函数。它们是最容易积分的函数，同时又可以用来逼近一般可测函数。

先定义示性函数：如果 E ⊂ X E\subset X E⊂X，则 E E E 的示性函数 1 E \mathbb{1}_E 1E 定义为

1 E ( x ) = { 1 , x ∈ E , 0 , x ∉ E . \mathbb{1}_E(x)= \begin{cases} 1,&x\in E,\\ 0,&x\notin E. \end{cases} 1E(x)={1,0,x∈E,x∈/E.

也就是说， 1 E \mathbb{1}_E 1E 只负责记录一个点是否属于集合 E E E。如果 E ∈ Σ E\in\Sigma E∈Σ，那么 1 E \mathbb{1}_E 1E 是可测函数。因为它的上水平集只有几种可能：空集、 E E E 或者整个 X X X，这些都是可测集。

定义 2.1.8： 一个函数 ϕ : X → R \phi:X\to\mathbb R ϕ:X→R 称为简单函数，如果它可以写成有限个示性函数的线性组合：

ϕ = ∑ j = 1 n y j 1 E j , E j ∈ Σ . \phi=\sum_{j=1}^{n}y_j\mathbb{1}_{E_j}, \qquad E_j\in\Sigma. ϕ=j=1∑nyj1Ej,Ej∈Σ.

也就是说，简单函数只取有限多个值，并且每个取值区域都是可测集。直观上，简单函数就是把空间 X X X 分成有限块，然后在每一块上取一个常数，比如：

ϕ ( x ) = 3 ⋅ 1 A ( x ) + 5 ⋅ 1 B ( x ) − 2 ⋅ 1 C ( x ) . \phi(x)=3\cdot\mathbb{1}_A(x)+5\cdot\mathbb{1}_B(x)-2\cdot\mathbb{1}_C(x). ϕ(x)=3⋅1A(x)+5⋅1B(x)−2⋅1C(x).

它的值只由 x x x 落在哪些可测集合里决定。简单函数显然是可测的，并且简单函数之间做加法、乘法，结果仍然是简单函数。

为什么简单函数重要？

简单函数重要的原因是：

任意非负可测函数都可以被简单函数从下方逼近。 \boxed{ \text{任意非负可测函数都可以被简单函数从下方逼近。} } 任意非负可测函数都可以被简单函数从下方逼近。

这是 Lebesgue 积分最核心的思想之一。Riemann 积分的思路是把定义域分成很多小区间，然后用矩形面积逼近函数下面积。Lebesgue 积分的思路更像是把函数值域分层：看函数落在某个高度区间内的点组成什么集合，然后用简单函数逐层逼近。这种逼近方式非常适合可测函数，因为每一层的集合都是可测集。

简单函数逼近定理

Theorem 2.1.9： 设 ( X , Σ ) (X,\Sigma) (X,Σ) 是一个可测空间。

1. 如果 f : X → $0 , \infty$ f:X\to $0,\\infty$ f:X→ $0,\infty$ 是可测函数，那么存在一列简单函数 ( ϕ n ) (\phi_n) (ϕn)，使得 0 ≤ ϕ 1 ≤ ϕ 2 ≤ ⋯ ≤ ϕ n ≤ ⋯ ≤ f , 0\le \phi_1\le\phi_2\le\cdots\le\phi_n\le\cdots\le f, 0≤ϕ1≤ϕ2≤⋯≤ϕn≤⋯≤f, 并且 ϕ n ( x ) → f ( x ) \phi_n(x)\to f(x) ϕn(x)→f(x) 对每个 x x x 都成立。

2. 如果 f : X → R ‾ f:X\to\overline{\mathbb R} f:X→R 是可测函数，那么存在一列简单函数 ( ϕ n ) (\phi_n) (ϕn)，使得 0 ≤ ∣ ϕ 1 ∣ ≤ ∣ ϕ 2 ∣ ≤ ⋯ ≤ ∣ ϕ n ∣ ≤ ⋯ ≤ ∣ f ∣ , 0\le |\phi_1|\le |\phi_2|\le\cdots\le |\phi_n|\le\cdots\le |f|, 0≤∣ϕ1∣≤∣ϕ2∣≤⋯≤∣ϕn∣≤⋯≤∣f∣, 并且 ϕ n ( x ) → f ( x ) . \phi_n(x)\to f(x). ϕn(x)→f(x).

3. 如果 f f f 有界，那么可以做到一致收敛。

非负情形的构造

我们重点看非负函数的构造，因为这是后面定义积分时真正要用的。假设 f : X → $0 , \infty$ f:X\to $0,\\infty$ f:X→ $0,\infty$ 可测。对每个 k ≥ 1 k\ge1 k≥1，我们把区间 $0 , k$ $0,k$ $0,k$ 分成很多小段，每段长度是 2 − k 2^{-k} 2−k

然后定义

E k j = { x ∈ X : j − 1 2 k ≤ f ( x ) < j 2 k } , j = 1 , 2 , ⋯ , k 2 k . E_k^j= \left\{x\in X:\frac{j-1}{2^k}\le f(x)<\frac{j}{2^k}\right\}, \qquad j=1,2,\cdots,k2^k. Ekj={x∈X:2kj−1≤f(x)<2kj},j=1,2,⋯,k2k.

再定义

E k = { x ∈ X : f ( x ) ≥ k } . E_k=\{x\in X:f(x)\ge k\}. Ek={x∈X:f(x)≥k}.

于是整个 X X X 被分成这些可测块：

X = E k ∪ ( ⋃ j = 1 k 2 k E k j ) . X=E_k\cup\left(\bigcup_{j=1}^{k2^k}E_k^j\right). X=Ek∪ j=1⋃k2kEkj .

在每个 E k j E_k^j Ekj 上，函数 f f f 的值落在

[ j − 1 2 k , j 2 k ) \left[\frac{j-1}{2^k},\frac{j}{2^k}\right) [2kj−1,2kj)

里面。于是我们用左端点来近似它。

定义简单函数（如图，画出了 k = 3 k = 3 k=3 的情形：）

ϕ k ( x ) = k 1 E k ( x ) + ∑ j j − 1 2 k 1 E k j ( x ) . \phi_k(x)= k\mathbb{1}{E_k}(x)+ \sum_j\frac{j-1}{2^k}\mathbb{1}{E_k^j}(x). ϕk(x)=k1Ek(x)+j∑2kj−11Ekj(x).

这个定义的意思是：

如果 f ( x ) ≥ k f(x)\ge k f(x)≥k，就让 ϕ k ( x ) = k \phi_k(x)=k ϕk(x)=k；
如果 f ( x ) f(x) f(x) 落在某个小区间

[ j − 1 2 k , j 2 k ) , \left[\frac{j-1}{2^k},\frac{j}{2^k}\right), [2kj−1,2kj),

就让 ϕ k ( x ) \phi_k(x) ϕk(x) 等于这个小区间的左端点。

所以 ϕ k \phi_k ϕk 总是从下方逼近 f f f：

0 ≤ ϕ k ( x ) ≤ f ( x ) . 0\le \phi_k(x)\le f(x). 0≤ϕk(x)≤f(x).

而且随着 k k k 增大，分割越来越细，截断高度也越来越高，所以

ϕ k ( x ) → f ( x ) . \phi_k(x)\to f(x). ϕk(x)→f(x).

如果 f ( x ) < ∞ f(x)<\infty f(x)<∞，那么当 k k k 足够大时， f ( x ) < k f(x)<k f(x)<k，并且

0 ≤ f ( x ) − ϕ k ( x ) < 1 2 k . 0\le f(x)-\phi_k(x)<\frac1{2^k}. 0≤f(x)−ϕk(x)<2k1.

所以

ϕ k ( x ) → f ( x ) . \phi_k(x)\to f(x). ϕk(x)→f(x).

如果 f ( x ) = ∞ f(x)=\infty f(x)=∞，那么

ϕ k ( x ) = k \phi_k(x)=k ϕk(x)=k

对足够大的 k k k 成立，所以

ϕ k ( x ) → ∞ = f ( x ) . \phi_k(x)\to\infty=f(x). ϕk(x)→∞=f(x).

这就证明了非负可测函数可以被简单函数逐点逼近。

一般实值函数的情形

如果 f f f 不一定非负，我们就利用正负部分分解：

f = f + − f − . f=f^+-f^-. f=f+−f−.

因为 f + f^+ f+ 和 f − f^- f− 都是非负可测函数，所以可以分别找到简单函数

φ k ↑ f + , \varphi_k\uparrow f^+, φk↑f+,

ψ k ↑ f − . \psi_k\uparrow f^-. ψk↑f−.

然后令

ϕ k = φ k − ψ k . \phi_k=\varphi_k-\psi_k. ϕk=φk−ψk.

那么 ϕ k \phi_k ϕk 是简单函数，并且 ϕ k → f . \phi_k\to f. ϕk→f. 所以一般可测函数也可以用简单函数逼近。

有界函数时的一致收敛

如果 f f f 是有界函数，那么事情会更好。因为这时候 f f f 的值不会跑到无穷远。也就是说，存在某个 M > 0 M>0 M>0，使得

∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|\le M ∣f(x)∣≤M

对所有 x x x 成立。

当 k k k 足够大时，我们的截断高度 k k k 已经超过 M M M，所以不会再发生 f ( x ) ≥ k f(x)\ge k f(x)≥k 的情况。此时误差完全由分割精度控制：

0 ≤ f ( x ) − ϕ k ( x ) < 2 − k . 0\le f(x)-\phi_k(x)<2^{-k}. 0≤f(x)−ϕk(x)<2−k.

这个估计对所有 x x x 同时成立，所以 ϕ k → f \phi_k\to f ϕk→f 是一致收敛。

这就说明：

有界可测函数不仅可以被简单函数逐点逼近，还可以一致逼近。 \boxed{ \text{有界可测函数不仅可以被简单函数逐点逼近，还可以一致逼近。} } 有界可测函数不仅可以被简单函数逐点逼近，还可以一致逼近。

除去零测集的问题

在测度论里，我们经常认为零测集上的差别可以忽略。那么自然就会问：如果一个函数和可测函数只差一个零测集，它是不是也可测？答案是：在完备测度空间里，是的：

Proposition 2.1.10： 设 ( X , Σ , μ ) (X,\Sigma,\mu) (X,Σ,μ) 是完备测度空间。

1. 如果 f f f 可测，并且 f = g μ -a.e. on E f=g\quad \mu\text{-a.e. on }E f=gμ-a.e. on E 那么 g g g 在 E E E 上可测。

2. 如果每个 f j f_j fj 都可测，并且 f j → f μ -a.e. f_j\to f\quad \mu\text{-a.e.} fj→fμ-a.e. 那么 f f f 可测。

这里完备性非常关键。因为 f f f 和 g g g 不一样的地方是一个零测集的子集，如果测度空间不完备，这个子集未必可测，那么就可能导致 g g g 不可测。证明思路也很直接，令：

N = { x : f ( x ) ≠ g ( x ) } . N=\{x:f(x)\ne g(x)\}. N={x:f(x)=g(x)}.

因为 f = g f=g f=g a.e.，所以 N N N 是零测集的子集。由于测度空间完备， N ∈ Σ N\in\Sigma N∈Σ。对任意 t t t， { x : g ( x ) > t } \{x:g(x)>t\} {x:g(x)>t} 可以拆成两部分：

在 N c N^c Nc 上， g = f g=f g=f，所以这部分由 f f f 的上水平集决定；
在 N N N 上，不管 g g g 怎么乱变，反正 N N N 本身可测。

因此 { g > t } \{g>t\} {g>t} 可测，所以 g g g 可测。

完备化前后的可测函数

假设 ( X , Σ ‾ , μ ‾ ) (X,\overline\Sigma,\overline\mu) (X,Σ,μ) 是 ( X , Σ , μ ) (X,\Sigma,\mu) (X,Σ,μ) 的完备化。如果 f f f 是 Σ ‾ − \overline\Sigma- Σ−可测函数，那么存在一个 Σ − \Sigma- Σ−可测函数 g g g，使得

f = g μ -a.e. f=g\quad \mu\text{-a.e.} f=gμ-a.e.

这句话的意思是：完备化之后确实多了一些可测函数，但这些新函数和原来 Σ \Sigma Σ 上的可测函数只差一个零测集。

所以从积分角度看，它们本质上没有区别。

这也解释了为什么在很多地方，我们可以放心地把函数按 a.e. 相等来识别。

本节小结

到这里，可测函数的基本内容就整理完了：

可测函数要求上水平集可测：

{ x : f ( x ) > t } ∈ Σ , ∀ t ∈ R . \{x:f(x)>t\}\in\Sigma, \qquad \forall t\in\mathbb R. {x:f(x)>t}∈Σ,∀t∈R.

这个条件等价于：任意 Borel 集的逆像都可测：

f − 1 ( E ) ∈ Σ , ∀ E ∈ B R . f^{-1}(E)\in\Sigma, \qquad \forall E\in\mathcal B_{\mathbb R}. f−1(E)∈Σ,∀E∈BR.

向量值函数可测当且仅当每个分量函数可测。
可测函数对常见运算稳定：

f + g , f g , sup ⁡ f j , inf ⁡ f j , lim sup ⁡ f j , lim inf ⁡ f j f+g, \quad fg, \quad \sup f_j, \quad \inf f_j, \quad \limsup f_j, \quad \liminf f_j f+g,fg,supfj,inffj,limsupfj,liminffj

都仍然可测。

一个函数可以分解为正部和负部：

f = f + − f − . f=f^+-f^-. f=f+−f−.

简单函数是有限个示性函数的线性组合：

ϕ = ∑ j = 1 n y j 1 E j . \phi=\sum_{j=1}^{n}y_j1_{E_j}. ϕ=j=1∑nyj1Ej.

任意非负可测函数都可以被简单函数从下方单调逼近。
如果函数有界，那么这种逼近可以做到一致收敛。
在完备测度空间中，零测集上的修改不会影响可测性。

简单来说，这一节想告诉我们的是：

可测函数就是和可测集合结构相容的函数，而简单函数是可测函数的基本积木。 \boxed{ \text{可测函数就是和可测集合结构相容的函数，而简单函数是可测函数的基本积木。} } 可测函数就是和可测集合结构相容的函数，而简单函数是可测函数的基本积木。

下一篇我们就可以正式进入 Lebesgue 积分的定义。因为有了简单函数逼近之后，我们就可以先定义简单函数的积分，再推广到一般非负可测函数，最后处理一般实值函数。