题意
nnn 个任务，第 iii 个任务需要在 AAA 机器上执行 aia_iai 时间，在 BBB 机器上执行 bib_ibi 时间，每个任务有一个类型 tit_iti。
- 类型 111
需要先在 AAA 机器上执行，再在 BBB 机器上执行。 - 类型 222
需要现在 BBB 机器上执行，再在 AAA 机器上执行。 - 类型 333
无要求。
问把所有任务完成的最短时间。
n≤20n\le20n≤20。
思路
先暴力枚举出所有 ti=3t_i=3ti=3 的物品先在 AAA 执行还是现在 BBB 执行。
现在问题变成了：nnn 个任务，每个任务要先在 A/BA/BA/B 上执行，问把全部任务执行完成的总时间。
显然，最优情况是 max(∑ai,∑bi)\max(\sum a_i,\sum b_i)max(∑ai,∑bi)，但是有时候取不到。设初始在 AAA 的物品集合为 SAS_ASA，初始在 BBB 的物品集合为 SBS_BSB，不妨设 ∑i∈SAai≥∑i∈SBbi\sum_{i\in S_A}a_i\ge\sum_{i\in S_B}b_i∑i∈SAai≥∑i∈SBbi，那么 AAA 机器工作的时间一定是满的，即从 000 工作到 ∑ai\sum a_i∑ai，考虑 BBB 机器。设 fsf_sfs 表示 AAA 机器完成了 sss 中的物品 (s⊂SA)(s\subset S_A)(s⊂SA)，BBB 机器最少有多久没工作。显然，当 ∑i∈sai≤∑i∈SBbi\sum_{i\in s}a_i\le\sum_{i\in S_B}b_i∑i∈sai≤∑i∈SBbi 时，fsf_sfs 为 000，否则枚举上一个完成的物品，进行转移。
时间复杂度未知，估算一下大概是 2×1082\times10^82×108，但是跑不满。
代码
cpp
// Problem: P3212 [HNOI2011] 任务调度
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3212
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace IO{
template<typename T>
inline void read(T&x){
x=0;char c=getchar();bool f=0;
while(!isdigit(c)) c=='-'?f=1:0,c=getchar();
while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
f?x=-x:0;
}
template<typename T>
inline void write(T x){
if(x==0){putchar('0');return ;}
x<0?x=-x,putchar('-'):0;short st[50],top=0;
while(x) st[++top]=x%10,x/=10;
while(top) putchar(st[top--]+'0');
}
inline void read(char&c){c=getchar();while(isspace(c)) c=getchar();}
inline void write(char c){putchar(c);}
inline void read(string&s){s.clear();char c;read(c);while(!isspace(c)&&~c) s+=c,c=getchar();}
inline void write(string s){for(int i=0,len=s.size();i<len;i++) putchar(s[i]);}
template<typename T>inline void write(T*x){while(*x) putchar(*(x++));}
template<typename T,typename...T2> inline void read(T&x,T2&...y){read(x),read(y...);}
template<typename T,typename...T2> inline void write(const T x,const T2...y){write(x),putchar(' '),write(y...),sizeof...(y)==1?putchar('\n'):0;}
}using namespace IO;
const int maxn=30,inf=1000000000;
int n,A[maxn],B[maxn],t[maxn],cnt3,cnt_a,cnt_b,f[1048576],sum2a[1048576],sum2b[1048576];
short hv[1048576][21],cnt_hv[1048576];
struct node{int a,b;}a[maxn],b[maxn];
int calc(){
int suma=0,sumb=0;
for(int i=1;i<=cnt_a;i++) suma+=a[i].a;
for(int i=1;i<=cnt_b;i++) sumb+=b[i].b;
if(suma<sumb){
swap(a,b);
swap(cnt_a,cnt_b);
swap(suma,sumb);
for(int i=1;i<=cnt_a;i++) swap(a[i].a,a[i].b);
for(int i=1;i<=cnt_b;i++) swap(b[i].a,b[i].b);
}
for(int s=0;s<(1<<cnt_a);s++){
sum2a[s]=sum2b[s]=0;
for(int i=1;i<=cnt_hv[s];i++) sum2a[s]+=a[hv[s][i]].a;
for(int i=1;i<=cnt_hv[s];i++) sum2b[s]+=a[hv[s][i]].b;
}
for(int s=0;s<(1<<cnt_a);s++){
int sum=sum2a[s];
if(sum<=sumb){f[s]=0;continue;}
f[s]=inf;
for(int ii=1;ii<=cnt_hv[s];ii++){
int i=hv[s][ii];
int lt=(s^(1<<i-1));
int tb=sumb+sum2b[lt]+f[lt];
int ta=sum;
f[s]=min(f[s],f[lt]+max(0,ta-tb));
}
}
int sumalla=0,sumallb=0;
for(int i=1;i<=cnt_a;i++) sumalla+=a[i].a,sumallb+=a[i].b;
for(int i=1;i<=cnt_b;i++) sumalla+=b[i].a,sumallb+=b[i].b;
return max(sumalla,f[(1<<cnt_a)-1]+sumallb);
}
signed main(){
for(int i=0;i<1048576;i++)
for(int j=1;j<=20;j++) if(i&(1<<j-1)) hv[i][++cnt_hv[i]]=j;
read(n);
for(int i=1;i<=n;i++) read(t[i],A[i],B[i]),cnt3+=(t[i]==3);
int ans=inf;
for(int i=0;i<(1<<cnt3);i++){
int nwcnt=0;
cnt_a=cnt_b=0;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(t[j]==1) a[++cnt_a]={A[j],B[j]};
else if(t[j]==2) b[++cnt_b]={A[j],B[j]};
else{
if(i&(1<<nwcnt)) a[++cnt_a]={A[j],B[j]};
else b[++cnt_b]={A[j],B[j]};
nwcnt++;
}
}
ans=min(ans,calc());
}
write(ans);
return 0;
}