Prim堆优化

介绍

Prim 算法是求解最小生成树的经典算法之一。

它和 Kruskal 一样，都是基于贪心思想的最小生成树算法。

不同的是：

• Kruskal 是从边的角度出发，每次选择当前最小且不成环的边
• Prim 是从点的角度出发，每次选择距离当前生成树最近的点

堆优化 Prim 通常使用优先队列维护当前距离生成树最近的点，写法和 Dijkstra 很像，时间复杂度为 O(mlog⁡n)。

知识点

• Prim 算法是一种基于顶点扩展的最小生成树贪心算法
• 堆优化 Prim 使用优先队列维护距离当前生成树最近的点
• 每次从堆中取出距离最小的未加入点
• 加入新点后，用它的所有邻边更新其他点到生成树的最小距离
• 如果最终没有加入所有点，说明原图不连通，不存在最小生成树
• 堆优化 Prim 的时间复杂度为 O(mlog⁡n)

核心思想

Prim 算法的核心思想是：

当前已经有一棵生成树，每次选择一条连接"树内点"和"树外点"的最小边，把新的点加入生成树。

一开始，生成树中只有一个起点。

之后每次从所有可以连接到树外点的边中，选择权值最小的一条。

这条边连接的树外点会被加入生成树。

不断重复这个过程，直到所有点都被加入。

堆优化 Prim 中，我们用优先队列维护这些候选点，每次快速取出距离当前生成树最近的点。

算法步骤

1. 建立无向图。

2. 初始化 dist 和 vis 数组。

3. 从 1 号点开始，将 (0, 1) 加入优先队列。

4. 每次从优先队列中取出边权最小的点 u。

5. 如果 u 已经加入生成树，就跳过。

6. 否则把 u 加入生成树，并累加答案。

7. 用 u 的所有邻边更新其他点。

伪代码

function Prim_Heap(G, n):
    dist[n+1] = INF
    vis[n+1] = false
    dist[1] = 0
    priority_queue pq
    pq.push((0, 1))
    ans = 0
    cnt = 0
    
    while pq不为空 and cnt < n:
        (d, u) = pq.top()
        pq.pop()
        if vis[u]: continue
        vis[u] = true
        ans += d
        cnt++
        
        for 每个邻接顶点v和边权w:
            if not vis[v] and w < dist[v]:
                dist[v] = w
                pq.push((w, v))
    
    if cnt == n: 返回ans
    else: 返回"impossible"