第八课《背包王国终极试炼------混合背包》
👑故事开始：背包王国终极试炼
经过前面七节课的修炼，阿宝已经掌握了：
✅ 01背包
✅ 完全背包
✅ 多重背包
✅ 二进制优化
✅ 分组背包
✅ 方案数背包
阿宝觉得自己已经天下无敌了。
结果这一天。
背包王国召开了最终考试。
国王宣布：
今天的试炼，
将同时出现各种类型的物品！
阿宝一听：
同时出现？
国王点点头：
有些物品只能拿一次。
有些物品无限拿。
有些物品有固定数量。
全部混在一起！
阿宝：
😱😱😱
于是：
🌟混合背包
正式登场！
第一幕：什么是混合背包？
1、以前的题目很单纯。
01背包
所有物品：
只能拿一次完全背包
所有物品：
无限拿多重背包
所有物品：
固定数量2、而现在：
仓库里有：
| 名称 | 重量 | 价值 | 类型 |
|---|---|---|---|
| 圣剑 | 2 | 3 | 01 |
| 魔法药水 | 1 | 2 | 完全 |
| 炸弹 | 3 | 5 | 多重(2个) |
发现了吗？
每个物品类型不同！
🌟这就是混合背包
第二幕：如何识别物品类型？
1、竞赛题经常这样输入：
w v s其中：
w重量
v价值
s数量
2、规定
如果：
s = -1表示：
01背包只能拿一次
如果：
s = 0表示：
完全背包无限拿
如果：
s > 0表示：
多重背包有 s 个
3、🌟三种物品同时出现
第三幕：阿宝的发现
阿宝突然想到：
咦？
前面不是都学过了吗？
01背包：
for(j=m;j>=w;j--)完全背包：
for(j=w;j<=m;j++)多重背包：
二进制优化
↓
变成01背包那是不是：
每种物品按自己的规则处理就行？
国王：
完全正确！
第四幕：混合背包核心思想
1、其实：
🌟混合背包没有新DP
2、很多同学第一次学会失望：
啊？
就这？
真的就这！
3、混合背包本质：
01背包
+
完全背包
+
多重背包放到一起。
第五幕：一个小例子
1、背包容量：
52、物品：
| 重量 | 价值 | 类型 |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 01 |
| 1 | 2 | 完全 |
| 3 | 5 | 2个 |
问：
最大价值
第六幕：处理第一件物品
圣剑
01背包
使用：
for(j=m;j>=w;j--)更新：
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-w]+v
)第七幕：处理第二件物品
药水
完全背包
使用：
for(j=w;j<=m;j++)正序更新。
因为：
可以重复使用第八幕：处理第三件物品
炸弹
数量：
2个先拆。
2
拆成：
1
1变成两个01物品：
| 重量 | 价值 |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 3 | 5 |
然后：
使用01背包更新。
完成！
第九幕：统一模板
1、阿宝发现：
其实只要判断：
s是什么。
2、情况1
s==-101背包
for(j=m;j>=w;j--)3、情况2
s==0完全背包
for(j=w;j<=m;j++)4、情况3
s>0二进制拆分
↓
01背包
第十幕：完整程序
这是竞赛经典模板。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[10005];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int w,v,s;
cin>>w>>v>>s;
// 01背包
if(s==-1)
{
for(int j=m;j>=w;j--)
{
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-w]+v
);
}
}
// 完全背包
else if(s==0)
{
for(int j=w;j<=m;j++)
{
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-w]+v
);
}
}
// 多重背包
else
{
int k=1;
while(k<=s)
{
int W=k*w;
int V=k*v;
for(int j=m;j>=W;j--)
{
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-W]+V
);
}
s-=k;
k*=2;
}
if(s>0)
{
int W=s*w;
int V=s*v;
for(int j=m;j>=W;j--)
{
dp[j]
=
max(
dp[j],
dp[j-W]+V
);
}
}
}
}
cout<<dp[m];
return 0;
}第十一幕：混合背包其实是大集合
很多同学学到这里突然发现：
01背包
倒序完全背包
正序多重背包
二进制优化
+
倒序全部重新出现了！
所以：
🌟混合背包 = 背包大集合
第十二幕：考官最爱的问题
考官：
请问：
为什么01背包倒序？
因为：
防止重复选考官：
为什么完全背包正序？
因为：
允许重复选考官：
多重背包怎么优化？
二进制拆分考官：
混合背包怎么做？
分类讨论你全部回答出来。
已经超越很多初学者了！
🎯本课总结
1、混合背包定义
同一道题里同时出现：
01背包
完全背包
多重背包2、核心思想
遇到什么类型
就用什么转移3、01背包
for(j=m;j>=w;j--)4、完全背包
for(j=w;j<=m;j++)5、多重背包
二进制拆分
↓
01背包6、最重要结论
🌟
01倒着跑，
完全正着跑。
多重先拆包，
混合分类搞。🏆 背包阶段终极总结
到这里，我们已经完成了整个背包王国课程：
| 课程 | 内容 |
|---|---|
| 第一课 | 01背包 |
| 第二课 | 01背包优化 |
| 第三课 | 完全背包 |
| 第四课 | 多重背包 |
| 第五课 | 二进制优化 |
| 第六课 | 分组背包 |
| 第七课 | 方案数背包 |
| 第八课 | 混合背包 |
🚀 下一阶段建议
当学生学完这八课后，已经掌握了：
DO的启蒙
线性DP
二维DP
背包DP
将来还要学习：
🌲树形DP
还有
📈状态压缩DP
还有
🎮区间DP
DP的道路还有很长，我们将来还要继续学习。