特征向量与特征值，特征空间与矩阵对角化
特征向量与特征值
1.定义有，如果Ax⃗=λx⃗A\vec x=λ\vec xAx =λx 存在非平凡解，那么标量λλλ是x⃗\vec xx 的特征值，x⃗\vec xx 是λλλ对应的特征向量
eg1.
特征向量又有什么作用？
在线性变换的过程中，特征向量的方向始终是保持不变的，只是进行了拉伸or缩放，这也与他对应的特征值相关，特征值反应特征向量的变化倍数。之后如果我们把这个空间将特征值和特征向量作为基底（坐标轴）来看，就没有那么多旋转剪切之类复杂的变化，将复杂的空间变化变成了简单的相互独立的拉伸或压缩变化。（也就是对角化思想）
2.特征空间
特征空间就是在不同特征值λλλ的情况下，属于他的特征向量和零向量0⃗\vec 00 共同组成的张成空间。
定义有：方程 (A−λI)x⃗=0(A-λI)\vec x=0(A−λI)x =0的所有解构成的集合，其实就是矩阵A−λIA−λIA−λI的零空间。因此，这个集合是一个子空间，被称为矩阵 AAA对应于λλλ的特征空间
eg2.
特征方程
1.标量 𝜆𝜆𝜆 是 𝑛×𝑛𝑛×𝑛n×n 矩阵 𝐴𝐴A 的特征值，当且仅当 𝜆 满足特征方程 det(𝐴−𝜆𝐼)=0det(𝐴−𝜆𝐼)=0det(A−𝜆I)=0
2.三角矩阵的特征值，就是其主对角线上的元素
Multiplicities 重数
设 p(λ)=det(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)p(λ)=det(A−λI) 为矩阵 AAA 的特征多项式。如果 (λ−λ0)k(\lambda - \lambda_0)^k(λ−λ0)k 能整除 p(λ)p(\lambda)p(λ)，但 (λ−λ0)k+1(\lambda - \lambda_0)^{k+1}(λ−λ0)k+1 不能整除 p(λ)p(\lambda)p(λ)，我们就称特征值 λ0\lambda_0λ0 的代数重数为 kkk。"
1.几何重数：这个特征值对应多少特征向量
2.代数重数：特征值重复了多少次
例如：
我们可以得到𝜆4(𝜆+2)(𝜆−6)𝜆^4(𝜆+2)(𝜆-6)𝜆4(𝜆+2)(𝜆−6) 𝜆=0𝜆=0𝜆=0, 𝜆=−2𝜆=-2𝜆=−2, 𝜆=4𝜆=4𝜆=4
0的代数重数是4 （几何重数需要具体的矩阵带入计算）
3.如果v⃗1,v⃗2...,v⃗r\vec v_1 ,\vec v_2 ...,\vec v_rv 1,v 2...,v r是特征向量，它们对应于不同的特征值λ1,λ2,...,λrλ_1,λ_2,..., λ_rλ1,λ2,...,λr （n × n矩阵），则集合{KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 29: ...c v_2 ...,\vec v_̲}是线性无关的。
相似性/相关性
定义有：如果矩阵AAA和BBB相关，那么一定有一个可逆的矩阵PPP，令A=PBP−1A=PBP^{-1}A=PBP−1成立
这个性质可以用在简化计算，如果矩阵AAA十分复杂而矩阵BBB结构简单，那么可以进行转换，例如
Ak=PBP−1PBP−1....PBP−1=PBkP−1A^k=PBP^{-1}PBP^{-1}....PBP^{-1}=PB^kP^{-1}Ak=PBP−1PBP−1....PBP−1=PBkP−1如果BBB是对角矩阵计算又会更加简单
这里矩阵AAA BBB的线性变化是一样的，只是在不同的基底下进行的，所以他们的特征向量和对应的特征值应该是一致的
矩阵对角化
定义有：如果矩阵 AAA 相似于对角矩阵DDD，我们就称AAA 是可对角化的。换句话说，只要存在一个可逆矩阵 PPP，使得 A=PDP−1A = PDP^{-1}A=PDP−1 成立即可。
上面提到了矩阵对角化的思想，现在矩阵对角化的基本条件：
1.矩阵有n个不同的特征向量
2.特征向量都是线性无关的
2）求矩阵AAA的对角化矩阵方法：
对于n×nn×nn×n矩阵AAA
1.判断：先判断是否可以对角化
求出特征值以及对应的特征空间记作v⃗1....v⃗m\vec v_1....\vec v_mv 1....v m，当且仅当特征向量的个数=n时才是可对角化的（必须有n个特征向量）
（或者说这一步是判断nnn个特征向量是否线性无关的）
2.组装对角矩阵DDD和可逆矩阵PPP
如果 m=n 那么 d=(𝜆110.....00𝜆2200𝜆33.....000.....𝜆kk....0)d=\begin{pmatrix}𝜆_{11}&0&.....&0\\ 0&𝜆_{22}\\0&0&𝜆_{33}&.....&0\\0&0&.....&𝜆_{kk}&....&0\end{pmatrix}d= 𝜆110000𝜆2200.....𝜆33.....0.....𝜆kk0....0
P=v⃗1...v⃗mP=\\vec v_1...\\vec v_mP=v 1...v m
如果m<n，那么A一定是不可对角化的
eg3.
3）存在定理：
1≤k≤p1 ≤ k ≤ p1≤k≤p几何重数（特征空间的维度）一定是小于或等于其对应的代数重数的
当且仅当k=pk=pk=p时矩阵才可对角化
eg4.
例题答案
在这里插入图片描述
