解析式布局-二次线长布局

1. 什么是二次线长布局

二次线长布局是一种常用的解析式布局方法，其目标是获得全局最优布局。它通过将线长代价函数建模为电路网表中任意两个元件中心(称为元胞)距离二次方的和来实现最优全局布局的求解，该二次线长代价函数如下：

L(P)=12∑i=1,j=1nc(i,j) $(xi-xj)2+(yi-yj)2$ L(P)=\frac{1}{2}\sum_{i=1,j=1}^nc(i,j)\left $(x_i-x_j)\^2+(y_i-y_j)\^2\\right$ L(P)=21i=1,j=1∑nc(i,j) $(xi-xj)2+(yi-yj)2$

P,L(P)P,L(P)P,L(P): 当前布局，及二次线长代价函数
i,ji,ji,j: 网表中的可移动元胞的索引号
nnn: 网表中的可移动元胞总数
c(i,j)c(i,j)c(i,j): 元胞iii与元件jjj是否在同一个线网上，若是，该值为1，否则，该值为0
xi,yix_i,y_ixi,yi: 网表中的元胞iii的横、纵坐标
yi,yjy_i,y_jyi,yj: 网表中的元胞jjj的横、纵坐标
(xi−xj)2+(yi−yj)2(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2(xi−xj)2+(yi−yj)2表示元胞iii和jjj的直线距离的平方和
为什么不直接采用更接近线长的表达式？
实事求是地说，只有完成布线，线长才能依据布线结果准确求解，而布局完成，是没法准确求出线长的，因为还没有实际布线，怎么办？找一个能够合理估计线长的表达式，显然∣xi−xj∣+∣yi−yj∣|x_i-x_j|+|y_i-y_j|∣xi−xj∣+∣yi−yj∣比上面的平方和表达式接近线长，但这种表达式却不能用来求导实现最优位置 的求解，因为它不可导。故而，使用上述距离平方和来代理线长代价。虽然它不准确，但它能保证最优解可计算。

** 二次线长目标函数的缺陷**

二次线长，是以两个点距离的平方为基本项，距离越大，平方对其放大的程度越大，因此，对于同一个线网上的元件，该函数对于相距较远的元件，线长代价估计偏高，但由于它是凸函数，故总能获得最优解。

2. 二次线长布局算法流程

2.1 最优解的解析解推导

i,j=1,2,⋯ ,ni,j=1,2,\cdots,ni,j=1,2,⋯,n中存在固定位置的元胞，其坐标是不变的，因此，仅求LLL对其中为变量的那些xi,yix_i,y_ixi,yi的偏导数，不失一般性，假设前m(m<n)m(m<n)m(m<n)个元胞可移动，剩下的都是固定位置的元胞，即xj,yj(m<j≤n)x_j,y_j(m<j\le n)xj,yj(m<j≤n)是已知的，则得
∂L∂xi=∑j=1nc(i,j)(xi−xj)= $\sumj=1nc(i,j)$ xi−∑j=1nc(i,j)xj \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x_i}&=\sum_{j=1}^nc(i,j)(x_i-x_j)\\ &=\left $\\sum_{j=1}\^nc(i,j)\\right$ x_i-\sum_{j=1}^nc(i,j)x_j\\ \end{align*} ∂xi∂L=j=1∑nc(i,j)(xi−xj)= $j=1\sumnc(i,j)$ xi−j=1∑nc(i,j)xj
将上式中的变量x1,x2,⋯ ,xmx_1,x_2,\cdots,x_mx1,x2,⋯,xm单独拿出来，写成mmm元方程组的标准形式，为书写方便，记ci,j=c(i,j)c_{i,j}=c(i,j)ci,j=c(i,j)得
∂L∂xi=(−ci,1)x1+(−ci,2)x2+⋯+(−ci,i−1)xi−1+(∑j=1nci,j)xi+(−ci,i+1)xi+1+⋯+(−ci,m)xm−∑j=m+1nci,jxj, i=1,2,⋯ ,m \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x_i}=(-c_{i,1})x_1+(-c_{i,2})x_2+\cdots+(-c_{i,i-1})x_{i-1}+ (\sum_{j=1}^nc_{i,j})x_i+(-c_{i,i+1})x_{i+1}+\cdots+(-c_{i,m})x_m-\sum_{j=m+1}^nc_{i,j}x_j,\;\;i=1,2,\cdots,m \end{align*} ∂xi∂L=(−ci,1)x1+(−ci,2)x2+⋯+(−ci,i−1)xi−1+(j=1∑nci,j)xi+(−ci,i+1)xi+1+⋯+(−ci,m)xm−j=m+1∑nci,jxj,i=1,2,⋯,m
令上述偏导数为0，得到一个以x1,x2,⋯ ,xmx_1,x_2,\cdots,x_mx1,x2,⋯,xm为自变量的多元方程组，如下：
AX−bx=0 \begin{align*} &AX-b_x=0 \end{align*} AX−bx=0
其中，
-- A= $\sumj\inN1c1,j-c1,2-c1,3\dots-c1,m-c2,1\sumj\inN2c2,j-c2,3\dots-c2,m⋮⋮⋱⋮⋮-cm,1-cm,2-cm,3\dots\sumj\inNmcm,j$ A=\begin{bmatrix} \sum_{j\in N_1}c_{1,j} &-c_{1,2} & -c_{1,3} & \cdots & -c_{1,m} \\ -c_{2,1} & \sum_{j\in N_2}c_{2,j} & -c_{2,3} & \cdots & -c_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -c_{m,1} & -c_{m,2} & -c_{m,3} & \cdots & \sum_{j\in N_m}c_{m,j} \end{bmatrix}A= ∑j∈N1c1,j−c2,1⋮−cm,1−c1,2∑j∈N2c2,j⋮−cm,2−c1,3−c2,3⋱−cm,3⋯⋯⋮⋯−c1,m−c2,m⋮∑j∈Nmcm,j : 其中，ci,j=cj,ic_{i,j}=c_{j,i}ci,j=cj,i,NkN_kNk表示元胞kkk（节点kkk）的所有邻居元胞（节点）的集合，∑j∈netkck,j\sum_{j\in net_k}c_{k,j}∑j∈netkck,j表示节点kkk在同一线网的其他所有元胞的个数，也就说节点kkk的度
-- XXX: 所有可移动元胞横坐标构成的向量
-- bxb_xbx: 向量，其中第kkk个元素bx $k$ b_x $k$ bx $k$ 连接到元胞k的所有固定元胞的横坐标之和，若与元胞kkk相连的固定元胞数为0，则bx $k$ =0b_x $k$ =0bx $k$ =0
同理，有
AY=by AY=b_y AY=by
我们可以看到，AAA为对称矩阵，同时，AAA具有连通性，故A是对称正定矩阵，故而上述方程有唯一解。

2.2 二次线长布局算法流程

将电路网表上的所有节点编号，其中，把固定位置的节点编号到最后，其余可移动节点编号为1,2,...,m,令它们的坐标依次为x1,y1,x2,y2,⋯ ,xm,ymx_1,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_m,y_mx1,y1,x2,y2,⋯,xm,ym
求解上面的方程组，使用共轭梯度等数值解法求解。