全文 - 02 Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation

XIII. 移动量子比特

逻辑量子比特可以通过移动缺陷在表面码阵列中物理移动。这是实现逻辑门操作的关键步骤。

移动 Z Z Z 缺陷

Z Z Z 缺陷可以通过以下方式移动：

停用新位置的测量- Z Z Z 量子比特（将缺陷边界向外扩展）。
重新激活旧位置的测量- Z Z Z 量子比特（将缺陷边界向内收缩）。

在移动过程中，逻辑 Z ^ L \hat{Z}_L Z^L 算符（连接两个缺陷的链）保持不变，而逻辑 X ^ L \hat{X}_L X^L 算符（环绕缺陷的环）需要更新以反映新的缺陷位置。

移动 X X X 缺陷

类似地， X X X 缺陷可以通过停用和重新激活测量- X X X 量子比特来移动。

XIV. 编织变换与逻辑 CNOT

**编织（Braiding）**是表面码中实现逻辑门操作的核心技术。通过移动缺陷，使一个缺陷环绕另一个缺陷，可以实现逻辑量子比特之间的纠缠门操作。

逻辑 CNOT

两个逻辑量子比特之间的**受控非门（CNOT）**可以通过以下编织操作实现：

考虑两个逻辑量子比特：控制量子比特（由两个 Z Z Z 缺陷定义）和目标量子比特（由两个 X X X 缺陷定义）。
将控制量子比特的一个缺陷移动，使其环绕目标量子比特的一个缺陷。
然后将控制缺陷移回其原始位置。

这个编织操作等价于一个 CNOT 门，其中控制量子比特是 Z Z Z 缺陷量子比特，目标量子比特是 X X X 缺陷量子比特。

（图片说明：图 6.（彩色在线）通过编织实现逻辑 CNOT。(a) 初始配置：控制量子比特（两个 Z Z Z 缺陷，垂直）和目标量子比特（两个 X X X 缺陷，水平）。(b) 控制量子比特的右侧缺陷向右移动。© 该缺陷向下移动，环绕目标量子比特的顶部缺陷。(d) 缺陷移回其原始位置。整个编织序列等价于一个 CNOT 门。）

编织 CNOT 的关键特性：

它是一个拓扑操作：最终结果只依赖于缺陷的编织方式，而不依赖于移动的具体路径。
它对局部错误具有鲁棒性：路径上的小偏差不会改变逻辑操作。
它可以仅使用最近邻操作实现。

XV. Hadamard 变换

逻辑 Hadamard 门 H ^ L \hat{H}_L H^L 交换 X ^ L \hat{X}_L X^L 和 Z ^ L \hat{Z}_L Z^L 算符：

H ^ L X ^ L H ^ L † = Z ^ L , H ^ L Z ^ L H ^ L † = X ^ L (12) \hat{H}_L \hat{X}_L \hat{H}_L^\dagger = \hat{Z}_L, \quad \hat{H}_L \hat{Z}_L \hat{H}_L^\dagger = \hat{X}_L \tag{12} H^LX^LH^L†=Z^L,H^LZ^LH^L†=X^L(12)

在表面码中实现逻辑 Hadamard 需要：

交换 X X X 和 Z Z Z 边界的角色。
交换数据量子比特和测量量子比特的角色。
对物理量子比特施加 Hadamard 门。

这个过程可以被视为一种对偶变换，将表面码映射到其对偶码。

XVI. 单量子比特门

为了完成通用量子计算的通用门集合，我们还需要单量子比特的 S ^ \hat{S} S^ 和 T ^ \hat{T} T^ 门。

S ^ \hat{S} S^ 门

S ^ \hat{S} S^ 门（相位门）定义为：

S ^ = ( 1 0 0 i ) (13) \hat{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \tag{13} S^=(100i)(13)

它将 Z ^ \hat{Z} Z^ 本征态的相位改变 i i i。逻辑 S ^ L \hat{S}_L S^L 门可以通过** magic state distillation **（魔术态蒸馏）和逻辑 CNOT 来实现。

T ^ \hat{T} T^ 门

T ^ \hat{T} T^ 门（ π / 8 \pi/8 π/8 门）定义为：

T ^ = ( 1 0 0 e i π / 4 ) (14) \hat{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix} \tag{14} T^=(100eiπ/4)(14)

逻辑 T ^ L \hat{T}_L T^L 门也可以通过魔术态蒸馏实现。 ∣ A L ⟩ = T ^ L ∣ + L ⟩ |A_L\rangle = \hat{T}_L|+_L\rangle ∣AL⟩=T^L∣+L⟩ 态（魔术态）可以通过一系列物理操作制备，然后通过蒸馏提高其保真度。

通用性

集合 { H ^ L \hat{H}_L H^L, S ^ L \hat{S}_L S^L, T ^ L \hat{T}_L T^L, CNOT L _L L} 构成了一个通用门集合，意味着任何量子算法都可以用这些门的组合来近似。

XVII. 物理实现

表面码的物理实现需要满足以下要求的量子系统：

二维阵列：量子比特必须排列在二维网格中。
最近邻耦合：每个量子比特只能与最近的邻居相互作用。
单量子比特门 ：能够施加 X ^ \hat{X} X^, Z ^ \hat{Z} Z^, H ^ \hat{H} H^ 等单量子比特操作。
两量子比特 CNOT：能够实现最近邻之间的受控非门。
测量：能够测量单个量子比特的 X ^ \hat{X} X^ 或 Z ^ \hat{Z} Z^ 算符。
初始化 ：能够将量子比特初始化到 ∣ g ⟩ |g\rangle ∣g⟩ 或 ∣ e ⟩ |e\rangle ∣e⟩ 态。

超导量子比特

超导量子比特是目前最有前途的实现平台之一 ^[1](#1)。超导量子比特使用约瑟夫森结来创建人工两能级系统，可以通过微波脉冲进行控制。

超导实现的优势：

成熟的微纳加工技术。
快速门操作（纳秒量级）。
高保真度测量。
可扩展的二维布局。

挑战：

需要极低温环境（约 10 mK）。
相干时间有限。
串扰和校准问题。

其他平台

其他正在探索的平台包括：

离子阱：长相干时间，但难以实现二维最近邻架构。
半导体自旋：与现有半导体技术兼容，但门保真度仍需提高。
拓扑量子比特：理论上具有内在容错性，但实验进展缓慢。

XVIII. 致谢

作者感谢 Eric Dennis, Alexei Kitaev, Andrew Landahl, John Preskill, Robert Raussendorf, Kevin Obrien, Jay Gambetta, Blake Johnson, Marcus Da Silva 和 Andrew Cross 的有益讨论。AGF 感谢澳大利亚研究委员会的支持。

附录

附录 A：量子比特算符的矩阵表示

量子比特算符的矩阵表示（在计算基 ∣ g ⟩ = ( 1 , 0 ) T |g\rangle = (1, 0)^T ∣g⟩=(1,0)T, ∣ e ⟩ = ( 0 , 1 ) T |e\rangle = (0, 1)^T ∣e⟩=(0,1)T 下）：

X ^ = ( 0 1 1 0 ) , Y ^ = ( 0 − i i 0 ) , Z ^ = ( 1 0 0 − 1 ) , I ^ = ( 1 0 0 1 ) (A1) \hat{X} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{Y} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{Z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \hat{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{A1} X^=(0110),Y^=(0i−i0),Z^=(100−1),I^=(1001)(A1)

Hadamard 门：

H ^ = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) (A2) \hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \tag{A2} H^=2 1(111−1)(A2)

相位门：

S ^ = ( 1 0 0 i ) , T ^ = ( 1 0 0 e i π / 4 ) (A3) \hat{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad \hat{T} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix} \tag{A3} S^=(100i),T^=(100eiπ/4)(A3)

受控非门（CNOT，在 ∣ g g ⟩ , ∣ g e ⟩ , ∣ e g ⟩ , ∣ e e ⟩ |gg\rangle, |ge\rangle, |eg\rangle, |ee\rangle ∣gg⟩,∣ge⟩,∣eg⟩,∣ee⟩ 基下）：

CNOT = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ) (A4) \text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \tag{A4} CNOT= 1000010000010010 (A4)

附录 B：CNOT 序列的详细说明

图 1b 和 c 中的 CNOT 序列被设计为确保：

测量- Z Z Z 量子比特正确测量 Z ^ a Z ^ b Z ^ c Z ^ d \hat{Z}_a\hat{Z}_b\hat{Z}_c\hat{Z}_d Z^aZ^bZ^cZ^d。
测量- X X X 量子比特正确测量 X ^ a X ^ b X ^ c X ^ d \hat{X}_a\hat{X}_b\hat{X}_c\hat{X}_d X^aX^bX^cX^d。
两个序列的时序匹配，以确保阵列操作的一致性。

恒等操作 I ^ \hat{I} I^（等待步骤）的插入是为了使测量- X X X 和测量- Z Z Z 序列的时间长度相同。

附录 C：贝尔态和稳定子

两量子比特贝尔态作为 X ^ a X ^ b \hat{X}_a\hat{X}_b X^aX^b 和 Z ^ a Z ^ b \hat{Z}_a\hat{Z}_b Z^aZ^b 的同时本征态：

∣ Φ + ⟩ = ∣ g g ⟩ + ∣ e e ⟩ 2 , ∣ Φ − ⟩ = ∣ g g ⟩ − ∣ e e ⟩ 2 ∣ Ψ + ⟩ = ∣ g e ⟩ + ∣ e g ⟩ 2 , ∣ Ψ − ⟩ = ∣ g e ⟩ − ∣ e g ⟩ 2 (C1) |\Phi^+\rangle = \frac{|gg\rangle + |ee\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |\Phi^-\rangle = \frac{|gg\rangle - |ee\rangle}{\sqrt{2}} \ |\Psi^+\rangle = \frac{|ge\rangle + |eg\rangle}{\sqrt{2}}, \quad |\Psi^-\rangle = \frac{|ge\rangle - |eg\rangle}{\sqrt{2}} \tag{C1} ∣Φ+⟩=2 ∣gg⟩+∣ee⟩,∣Φ−⟩=2 ∣gg⟩−∣ee⟩ ∣Ψ+⟩=2 ∣ge⟩+∣eg⟩,∣Ψ−⟩=2 ∣ge⟩−∣eg⟩(C1)

这些态满足：

X ^ a X ^ b ∣ Φ ± ⟩ = ± ∣ Φ ± ⟩ , Z ^ a Z ^ b ∣ Φ ± ⟩ = + ∣ Φ ± ⟩ X ^ a X ^ b ∣ Ψ ± ⟩ = ± ∣ Ψ ± ⟩ , Z ^ a Z ^ b ∣ Ψ ± ⟩ = − ∣ Ψ ± ⟩ (C2) \hat{X}_a\hat{X}_b |\Phi^\pm\rangle = \pm |\Phi^\pm\rangle, \quad \hat{Z}_a\hat{Z}_b |\Phi^\pm\rangle = +|\Phi^\pm\rangle \ \hat{X}_a\hat{X}_b |\Psi^\pm\rangle = \pm |\Psi^\pm\rangle, \quad \hat{Z}_a\hat{Z}_b |\Psi^\pm\rangle = -|\Psi^\pm\rangle \tag{C2} X^aX^b∣Φ±⟩=±∣Φ±⟩,Z^aZ^b∣Φ±⟩=+∣Φ±⟩ X^aX^b∣Ψ±⟩=±∣Ψ±⟩,Z^aZ^b∣Ψ±⟩=−∣Ψ±⟩(C2)

附录 D：稳定子的对易关系

对于共享两个数据量子比特 a a a 和 b b b 的 X ^ \hat{X} X^ 和 Z ^ \hat{Z} Z^ 稳定子：

$X \^ a X \^ b X \^ c X \^ d , Z \^ a Z \^ b Z \^ e Z \^ f$ = 0 (D1) $\\hat{X}_a\\hat{X}_b\\hat{X}_c\\hat{X}_d, \\hat{Z}_a\\hat{Z}_b\\hat{Z}_e\\hat{Z}_f$ = 0 \tag{D1} $X\^aX\^bX\^cX\^d,Z\^aZ\^bZ\^eZ\^f$ =0(D1)

证明：

X ^ a X ^ b X ^ c X ^ d Z ^ a Z ^ b Z ^ e Z ^ f = ( X ^ a Z ^ a ) ( X ^ b Z ^ b ) X ^ c X ^ d Z ^ e Z ^ f = ( − Z ^ a X ^ a ) ( − Z ^ b X ^ b ) X ^ c X ^ d Z ^ e Z ^ f = Z ^ a Z ^ b Z ^ e Z ^ f X ^ a X ^ b X ^ c X ^ d (D2) \begin{aligned} & \hat{X}_a\hat{X}_b\hat{X}_c\hat{X}_d \hat{Z}_a\hat{Z}_b\hat{Z}_e\hat{Z}_f \\ &= (\hat{X}_a\hat{Z}_a)(\hat{X}_b\hat{Z}_b) \hat{X}_c\hat{X}_d \hat{Z}_e\hat{Z}_f \\ &= (-\hat{Z}_a\hat{X}_a)(-\hat{Z}_b\hat{X}_b) \hat{X}_c\hat{X}_d \hat{Z}_e\hat{Z}_f \\ &= \hat{Z}_a\hat{Z}_b\hat{Z}_e\hat{Z}_f \hat{X}_a\hat{X}_b\hat{X}_c\hat{X}_d \end{aligned} \tag{D2} X^aX^bX^cX^dZ^aZ^bZ^eZ^f=(X^aZ^a)(X^bZ^b)X^cX^dZ^eZ^f=(−Z^aX^a)(−Z^bX^b)X^cX^dZ^eZ^f=Z^aZ^bZ^eZ^fX^aX^bX^cX^d(D2)

其中我们使用了 X ^ i Z ^ i = − Z ^ i X ^ i \hat{X}_i\hat{Z}_i = -\hat{Z}_i\hat{X}_i X^iZ^i=−Z^iX^i 和不同量子比特上算符的对易性。

附录 E：逻辑算符的等价类

任何两个逻辑 X ^ L \hat{X}_L X^L 算符链如果只相差稳定子的乘积，则它们是等价的：

X ^ L ′ = S ^ X ^ L (E1) \hat{X}'_L = \hat{S} \hat{X}_L \tag{E1} X^L′=S^X^L(E1)

其中 S ^ \hat{S} S^ 是稳定子的乘积。这是因为 S ^ \hat{S} S^ 对静态状态的作用只是一个相位因子：

S ^ ∣ ψ ⟩ = ± ∣ ψ ⟩ (E2) \hat{S}|\psi\rangle = \pm |\psi\rangle \tag{E2} S^∣ψ⟩=±∣ψ⟩(E2)

因此 X ^ L ′ \hat{X}'_L X^L′ 和 X ^ L \hat{X}_L X^L 产生相同的物理态（最多相差一个整体相位）。

附录 F：错误检测的概率分析

考虑一个距离为 d d d 的表面码阵列。逻辑错误发生的概率 P L P_L PL 可以通过考虑所有长度为 d d d 的错误链来估计：

P L ≈ ∑ k = d 2 d 2 ( 2 d 2 k ) p k ( 1 − p ) 2 d 2 − k (F1) P_L \approx \sum_{k=d}^{2d^2} \binom{2d^2}{k} p^k (1-p)^{2d^2-k} \tag{F1} PL≈k=d∑2d2(k2d2)pk(1−p)2d2−k(F1)

对于 p ≪ 1 p \ll 1 p≪1，这可以近似为：

P L ≈ ( 2 d 2 d ) p d ∼ ( 2 d 2 e d ) d p d = ( 2 d e ) d p d (F2) P_L \approx \binom{2d^2}{d} p^d \sim \left(\frac{2d^2 e}{d}\right)^d p^d = (2de)^d p^d \tag{F2} PL≈(d2d2)pd∼(d2d2e)dpd=(2de)dpd(F2)

更精确的分析给出：

P L ∼ C ( p p t h ) d / 2 (F3) P_L \sim C \left(\frac{p}{p_{th}}\right)^{d/2} \tag{F3} PL∼C(pthp)d/2(F3)

其中 C C C 是一个常数， p t h ≈ 1 % p_{th} \approx 1\% pth≈1% 是阈值错误率。

附录 G：最小权重完美匹配算法

Edmonds 的最小权重完美匹配（MWPM）算法用于表面码中的错误解码。给定一个综合征图，其中顶点代表缺陷（测量结果变化的量子比特），边代表可能的错误链，MWPM 找到连接所有缺陷的最小权重匹配。

算法步骤：

构建综合征图：顶点是缺陷，边权重是缺陷之间的最短路径距离。
找到完美匹配：一组边，使得每个顶点恰好被覆盖一次。
最小化匹配的总权重。

时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)，其中 n n n 是缺陷数。

附录 H：缺陷的移动和编织

移动缺陷

Z Z Z 缺陷可以通过停用新位置的测量- Z Z Z 量子比特并重新激活旧位置的测量- Z Z Z 量子比特来移动。移动过程中，逻辑 Z ^ L \hat{Z}_L Z^L 算符（连接两个缺陷）保持不变，逻辑 X ^ L \hat{X}_L X^L 算符（环绕缺陷）需要更新。

编织

两个缺陷的编织产生一个拓扑操作。编织一个 Z Z Z 缺陷环绕一个 X X X 缺陷等价于一个 CNOT 门。编织的结果只依赖于拓扑类，不依赖于具体路径。

附录 I：魔术态蒸馏

魔术态 ∣ A ⟩ = T ^ ∣ + ⟩ |A\rangle = \hat{T}|+\rangle ∣A⟩=T^∣+⟩ 可以通过以下方式蒸馏提高保真度：

制备多个低质量的 ∣ A ⟩ |A\rangle ∣A⟩ 态。
使用 CNOT 和测量将它们纠缠。
根据测量结果，以更高保真度获得一个 ∣ A ⟩ |A\rangle ∣A⟩ 态。

蒸馏的代码距离决定了输出态的保真度。每个 T ^ \hat{T} T^ 门需要一个蒸馏后的 ∣ A L ⟩ |A_L\rangle ∣AL⟩ 态。

附录 J：逻辑 Hadamard 的详细实现

逻辑 Hadamard 需要交换 X X X 和 Z Z Z 边界的角色。这可以通过：

对所有物理量子比特施加 H ^ \hat{H} H^。
交换测量- X X X 和测量- Z Z Z 量子比特的角色。
重新标记边界类型。

执行后，新的 X ^ L ′ \hat{X}'_L X^L′ 等于原来的 Z ^ L \hat{Z}_L Z^L，新的 Z ^ L ′ \hat{Z}'_L Z^L′ 等于原来的 X ^ L \hat{X}_L X^L。

附录 K：逻辑 CNOT 的详细电路

逻辑 CNOT 通过编织实现：

控制量子比特：两个 Z Z Z 缺陷。
目标量子比特：两个 X X X 缺陷。
将控制量子比特的一个 Z Z Z 缺陷移动，使其环绕目标量子比特的一个 X X X 缺陷。
将 Z Z Z 缺陷移回。

这个过程等价于：

CNOT L : ∣ g L ⟩ c ∣ g L ⟩ t → ∣ g L ⟩ c ∣ g L ⟩ t ∣ g L ⟩ c ∣ e L ⟩ t → ∣ g L ⟩ c ∣ e L ⟩ t ∣ e L ⟩ c ∣ g L ⟩ t → ∣ e L ⟩ c ∣ e L ⟩ t ∣ e L ⟩ c ∣ e L ⟩ t → ∣ e L ⟩ c ∣ g L ⟩ t (K1) \text{CNOT}_L: \quad |g_L\rangle_c |g_L\rangle_t \to |g_L\rangle_c |g_L\rangle_t \ |g_L\rangle_c |e_L\rangle_t \to |g_L\rangle_c |e_L\rangle_t \ |e_L\rangle_c |g_L\rangle_t \to |e_L\rangle_c |e_L\rangle_t \ |e_L\rangle_c |e_L\rangle_t \to |e_L\rangle_c |g_L\rangle_t \tag{K1} CNOTL:∣gL⟩c∣gL⟩t→∣gL⟩c∣gL⟩t ∣gL⟩c∣eL⟩t→∣gL⟩c∣eL⟩t ∣eL⟩c∣gL⟩t→∣eL⟩c∣eL⟩t ∣eL⟩c∣eL⟩t→∣eL⟩c∣gL⟩t(K1)

附录 L：错误阈值分析

表面码的错误阈值可以通过数值模拟确定。对于独立 X ^ \hat{X} X^ 和 Z ^ \hat{Z} Z^ 错误，阈值约为：

p t h ≈ 0.57 % (电路级模型) p t h ≈ 1.0 % (现象学模型) (L1) p_{th} \approx 0.57\% \quad \text{(电路级模型)} \ p_{th} \approx 1.0\% \quad \text{(现象学模型)} \tag{L1} pth≈0.57%(电路级模型) pth≈1.0%(现象学模型)(L1)

电路级模型包括 CNOT 门错误、测量错误和初始化错误。现象学模型只考虑综合征测量后的错误。

阈值可以通过有限尺寸缩放分析确定：对于不同距离 d d d，找到逻辑错误率 P L = 0.5 P_L = 0.5 PL=0.5 时的物理错误率 p p p，然后外推到 d → ∞ d \to \infty d→∞。

附录 M：分解算法的资源估计

Shor 算法实现

对于分解一个 N N N 位数字：

模指数运算：

Toffoli 门数： ≈ 40 N 3 \approx 40 N^3 ≈40N3
顺序 Toffoli 门数： ≈ 40 N 3 \approx 40 N^3 ≈40N3
计算逻辑量子比特数： 2 N 2N 2N

∣ A L ⟩ |A_L\rangle ∣AL⟩ 态制备：

每个 Toffoli 门需要 7 个 ∣ A L ⟩ |A_L\rangle ∣AL⟩ 态。
总共需要 ≈ 280 N 3 \approx 280 N^3 ≈280N3 个 ∣ A L ⟩ |A_L\rangle ∣AL⟩ 态。

物理量子比特估计 （假设 p ≈ p t h / 10 p \approx p_{th}/10 p≈pth/10）：

参数	数值
逻辑量子比特数	≈ 2 N = 4,000 \approx 2N = 4{,}000 ≈2N=4,000（ N = 2,000 N = 2{,}000 N=2,000）
每逻辑量子比特物理量子比特数	≈ 14,500 \approx 14{,}500 ≈14,500
计算量子比特总数	≈ 5.8 × 10 7 \approx 5.8 \times 10^7 ≈5.8×107
$	A_L\rangle$ 制备区域
$	A_L\rangle$ 制备速率
$	A_L\rangle$ 生产所需量子比特
总计	≈ 10 9 \approx 10^9 ≈109 物理量子比特

执行时间（假设测量时间 100 ns）：

每个 Toffoli 门： ≈ 3 \approx 3 ≈3 测量周期 ≈ 300 \approx 300 ≈300 ns
模指数运算： ≈ 40 N 3 × 300 \approx 40 N^3 \times 300 ≈40N3×300 ns ≈ 26.7 \approx 26.7 ≈26.7 小时

参考文献

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本文完整翻译自 arXiv: 1208.0928，原文标题 "Surface codes: Towards practical large-scale quantum computation"，作者 Austin G. Fowler, Matteo Mariantoni, John M. Martinis 和 Andrew N. Cleland。

参考文献 $6, 7, 58--65$ 。 ↩︎