向量法求点到面的距离

向量法求点到平面的距离，关键是利用 "投影" 的概念。具体步骤如下：

1. 找点与法向量

   • 在平面内任取一点 ( A )，待求点为 ( P )。
   • 求出平面的一个法向量 ( \vec{n} )（即垂直于平面的向量）。

2. 计算投影长度

   • 构造向量 ( \vec{AP} )。
   • 点 ( P ) 到平面的距离 ( d )，等于向量 ( \vec{AP} ) 在法向量 ( \vec{n} ) 上的投影的绝对值 。公式为：

     d = \\frac{\|\\vec{AP} \\cdot \\vec{n}\|}{\|\\vec{n}\|}

举个例子：

求点 ( P(1,2,3) ) 到平面 ( x + 2y + 2z = 5 ) 的距离。

• 取平面上一点 ( A(1,1,1) )（满足方程），得 ( \vec{AP} = (0,1,2) )。
• 法向量 ( \vec{n} = (1,2,2) )，模长 ( |\vec{n}| = 3 )。
• 计算点积 ( \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0×1 + 1×2 + 2×2 = 6 )。
• 代入公式得距离 ( d = |6| / 3 = 2 )。

注意 ：如果平面方程已给出 ( Ax + By + Cz + D = 0 )，直接用下面的点法式公式 更快：

d = \\frac{\|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\|}{\\sqrt{A^2+B^2+C\^2}}

代入点 ( P(x_0,y_0,z_0) ) 即可。这个公式本质上就是上面向量法推导出来的结果。