题目链接 ：https://www.luogu.com.cn/problem/P1024
一、题目简介
题目描述
给定形如 (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) 的一元三次方程，给出各项系数 (a,b,c,d)（均为实数）。
题目保证该方程存在三个不同实根，根的范围在 (-100,100) 之间，且任意两根之差的绝对值 (\ge 1)。
要求：按从小到大的顺序，在同一行输出这三个实根，保留两位小数，根与根之间用空格隔开。
输入格式
一行，4 个实数 (a,b,c,d)。
输出格式
一行，3 个实根，从小到大输出，精确到小数点后 2 位。
输入输出样例
输入
1 -5 -4 20输出
-2.00 2.00 5.00题目提示
记方程 (f(x)=0)，若存在两个数 (x_1) 和 (x_2)，且 (x_1 < x_2)，(f(x_1) \times f(x_2) < 0)，则在区间 ((x_1, x_2)) 之间一定有一个根。
二、解题思路详细分析
1、核心数学原理：零点存在定理
题目提示里的这句话，就是本题的核心依据：如果连续函数 (f(x)) 在区间 (l,r) 端点处的函数值异号（(f(l) \times f® < 0)），说明函数图像穿过 x 轴，区间内必有一个根。
因为题目保证根与根之差的绝对值 (\ge 1)，所以每一个长度为 1 的区间 (i, i+1) 内，最多只有一个根。这意味着我们可以把整个区间 (-100, 100) 划分为 200 个长度为 1 的小区间，逐个检查区间端点的函数值，就能找到所有根所在的区间。
2、解题步骤拆解
- 定义函数：实现 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的计算。
- 遍历区间 ：遍历 i 从 (-100) 到 99，检查区间 (i, i+1)：
- 若 (f(i) = 0)，说明 i 本身就是一个根，直接输出。
- 若 (f(i) \times f(i+1) < 0)，说明区间内有根，用二分法求解。
- 二分法求根：在确定的区间内，用二分法不断缩小区间范围，直到区间长度足够小（小于 (10^{-4})，保证保留两位小数的精度），输出近似根。
3、为什么用二分法？
- 三次函数是连续的，满足二分法的使用条件。
- 题目保证每个区间内只有一个根，不会出现多根的情况，二分法可以稳定找到唯一解。
- 二分法的精度可控，通过调整循环条件（如 (r-l > 0.0001)），可以轻松满足 "保留两位小数" 的要求。
4、时间复杂度分析
- 区间遍历：200 次循环，时间复杂度 (O(200))。
- 每个区间的二分法：循环次数约为 (\log_2(\frac{1}{0.0001}) \approx 14) 次。
- 整体复杂度：(O(200 \times 14))，非常高效，不会超时。
三、AC 代码（超详细注释）
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 方程系数，设为全局变量，方便函数调用
double a, b, c, d;
// 定义三次函数 f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d
double fun(double x) {
return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
}
// 二分法在区间 [l, r] 内求根
double find(double l, double r) {
// 当区间长度小于 0.0001 时，精度足够，停止循环
while (r - l > 0.0001) {
double mid = (l + r) / 2; // 取区间中点
// 判断中点与右端点的函数值是否异号
if (fun(mid) * fun(r) < 0) {
// 异号，说明根在 [mid, r] 区间内，更新左边界
l = mid;
} else {
// 同号，说明根在 [l, mid] 区间内，更新右边界
r = mid;
}
}
// 返回近似根（取左边界或右边界均可，精度已足够）
return l;
}
int main() {
// 读取方程系数
cin >> a >> b >> c >> d;
// 遍历所有长度为1的区间 [i, i+1]，i从-100到99
for (int i = -100; i < 100; i++) {
double y1 = fun(i); // 区间左端点函数值
double y2 = fun(i + 1); // 区间右端点函数值
// 情况1：左端点本身就是根（f(i) = 0）
if (y1 == 0) {
printf("%.2lf ", 1.0 * i);
}
// 情况2：区间两端点函数值异号，说明区间内有根
else if (y1 * y2 < 0) {
// 调用二分法求解并输出，保留两位小数
printf("%.2lf ", find(i, i + 1));
}
}
return 0;
}四、代码核心细节讲解
1、函数定义与全局变量
- 把 (a,b,c,d) 设为全局变量，是为了让
fun(x)函数能直接访问这些系数，避免传递参数的麻烦。 fun(x)直接按公式计算三次函数值，注意使用double类型，避免整数运算的精度丢失。
2、区间遍历与根的判断
- 遍历范围：i 从 (-100) 到 99，覆盖了题目给定的根的范围 (-100,100)。
- 两种情况：
y1 == 0：说明 i 本身就是一个根，直接输出。y1 * y2 < 0：说明区间内有根，用二分法求解。
3、二分法的边界处理
- 循环条件
while(r - l > 0.0001)：控制精度，当区间长度小于 (0.0001) 时，近似根保留两位小数的误差已经可以忽略。 - 更新规则：通过
fun(mid) * fun(r)的符号判断根所在的区间，不断缩小区间范围。
4、输出格式控制
- 使用
printf("%.2lf", x)格式化输出，自动四舍五入保留两位小数，满足题目要求。 - 因为题目保证有三个不同的实根，循环结束后会自动输出三个根，且顺序由遍历顺序决定，天然从小到大排列。
五、易错点与优化
1、易错点
- 精度问题：循环条件的精度不能太大（比如 0.01），否则输出的小数可能不符合题目要求；也不能太小（比如 1e-8），会导致循环次数过多，效率降低。
- 根的边界问题 ：如果根恰好是整数，
y1 == 0的情况必须单独处理，否则二分法会在区间内找到近似值，可能导致输出错误。 - 变量类型 ：所有涉及计算的变量都要使用
double类型，避免整数除法导致的精度丢失。
2、优化建议
- 可以在遍历区间时，记录已经找到的根的数量，找到 3 个后提前退出循环，减少不必要的计算。
- 可以使用
scanf/printf代替cin/cout，提高输入输出效率（本题数据量小，影响不大）。
六、总结
本题是二分法在解方程中的经典应用，核心思路可以概括为：
- 利用题目给的 "根差≥1" 的条件，把大范围拆分成小的长度为 1 的区间。
- 用零点存在定理判断区间内是否有根。
- 用二分法在有根的区间内高精度求解。
这个思路不仅适用于一元三次方程，也可以推广到其他连续函数的求根问题非常实用的技巧。