二分图的学习

前言

在图论里，二分图是一类结构非常特殊、应用极广的无向图。本文用通俗语言讲清什么是二分图、性质、判定方法，最后给出一份简洁可直接使用的 C++ 二分图判定代码。

一、什么是二分图

1. 定义

给定一个无向图，如果可以把图中所有顶点划分成两个互不相交的集合 {U,V}，满足：

所有边的两个端点，一定一个在 U、一个在 V；
同一个集合内部的点之间没有边相连。

满足这个条件的图，就叫做二分图（二部图）。

形象理解：把点分成左右两堆，所有边只能跨左右连，同一边内部不能有边。

2. 等价重要性质（核心）

一个无向图是二分图，当且仅当图中不存在长度为奇数的环（奇环）。

有奇环 → 一定不是二分图
没有奇环 → 一定是二分图

例子：

三角形（3 个点两两相连，环长 3，奇数）→ 不是二分图

一条链、四边形、树（树没有任何环）→ 都是二分图

3. 特殊情况

孤立点（没有任何边的点）：可以随便分到任意一侧，不影响二分图性质；
树：所有树都是二分图（无环，自然无奇环）。

二、二分图的判定思路：染色法

思想

尝试用两种颜色给图中每个点染色，要求：

相邻的两个点颜色必须不同；
若染色过程中发现：一个点和已经染色的邻居颜色相同 → 存在奇环，不是二分图。

实现方式常用：DFS / BFS BFS 更安全，不会出现递归深度过大栈溢出的问题。

三、C++ 完整实现

功能：输入无向图，判断是否为二分图，输出结果。

使用说明

第一行输入点数 n、边数 m；
接下来 m 行每行输入两个点 \(u,v\)，代表无向边；
程序自动遍历所有连通块，判断是否为二分图并输出。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
vector<int> g[MAXN];
// -1未染色，0和1代表两种颜色
int color[MAXN];
int n, m;
bool ok = true;

void bfs(int s) {
    queue<int> q;
    q.push(s);
    color[s] = 0;
    while (!q.empty() && ok) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int v : g[u]) {
            if (color[v] == -1) {
                color[v] = color[u] ^ 1;
                q.push(v);
            } else if (color[v] == color[u]) {
                ok = false;
                return;
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin >> n >> m;
    memset(color, -1, sizeof color);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1; i <= n && ok; ++i) {
        if (color[i] == -1) {
            bfs(i);
        }
    }
    if (ok) cout << "Yes, it is a bipartite graph\n";
    else cout << "No, not a bipartite graph\n";
    return 0;
}

四、简单复杂度说明

每个点、每条边只会被访问一次，时间复杂度 \(O(n+m)\)，可以处理较大范围的图。

五、拓展：二分图能干嘛？

判定只是基础，二分图常见经典问题：

二分图最大匹配（匈牙利算法）
最大独立集、最小顶点覆盖（二分图有对应定理）
部分网络流问题可转化为二分图模型求解