哈夫曼树 - 技术栈

哈夫曼树的构造

如何构造最优叶子二叉树？Huffman给出了一个简单而又漂亮的算法，这个算法称为哈夫曼算法。它的基本思想是要让权大的叶子离根最近。具体作法是：

(1)根据给定的n个权值｛｝，构造n棵二叉树的集合＝｛｝，其中每棵二叉树中均只含一个带权值为的根结点，其左、右子树为空树；

(2)在F中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和；

(3)从F中删去这两棵树，同时加入刚生成的新树；

(4)重复（2）和（3）两步，直到F中只含一棵树为止。

从上述算法中可以看出，F实际上是森林，该算法的思想是不断地进行森林F中的二叉树的"合并"，最终得到哈夫曼树。

实际上，哈夫曼算法的实现与实际问题所采用的存储结构有关。现假设用数组F来存储哈夫曼树，其中第i个数组元素F $i$ 是哈夫曼树中的一个结点，其地址为i，有3个域，Data域存放该结点的权值，lChild域和rChild域分别存放该结点左、右子树的根结点的地址（下标）。在初始状态下： F $i$ .Data=Wi，F $i$ .lChild=F $i$ . rChild=0，i=1,2,...,n。

即先构造了n个方形叶子。在以后每步构造一棵新二叉树时，都需要对森林中所有二叉树的根结点进行排序，因此可用数组a作为排序暂存空间，其中第i个数组元素a $i$ 是森林F中第i棵二叉树的根结点，有2个域，Data是根结点所对应的权值，Addr是根结点在F中的地址（下标）。在初始状态下：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
struct link{
	int lchild,rchild,data,addr;
}a[maxn],f[maxn]; //a[]暂储存根节点信息，f[]储存所有节点 
int n;
void sor(int k){ //对a[]前 k个元素按 data 升序排列。
	for(int i=1;i<k;i++){
		for(int j=i+1;j<=k;j++){
			if(a[i].data>a[j].data) swap(a[i],a[j]);
		}
	}
	return ;
}
void vist(int t){ //前序遍历打印节点权值 
	if(f[t].data==0) return ;
	cout<<f[t].data<<" ";
	vist(f[t].lchild);
	vist(f[t].rchild);
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].data;
		f[i].data=a[i].data; //同步至 f[]作为叶子节点
		a[i].addr=i;  //记录自身在 f[]中的位置
	}
	//[建树阶段]
	int t,i;
	t=n+1,i=n; //t 新节点起始位置,i 当前森林中的树数量
	while(i>1){
		sor(i); //确保 a[1],a[2]最小
		//合并最小的两个根节点
		f[t].data=a[1].data+a[2].data; //新节点权值 = 两个最小权值之和
		f[t].lchild=a[1].addr; //左孩子指向第一个最小节点
		f[t].rchild=a[2].addr; //右孩子指向第二个最小节点
		//更新森林状态
		a[1].data=f[t].data; //将新节点权值存入 a[1]
		a[1].addr=t; //更新 a[1] 指向新节点在 f[]中的地址
		a[2].addr=a[i].addr; //用末尾元素覆盖 a[2]（删除已合并节点）
		t++; //准备下一个新节点的存储位置
		i--; //森林中树的数量减1
	}
	vist(t-1); //从前序遍历整棵树（根节点在t-1处） 
	return 0;
}