[Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程

背景

我们在小学时，学过最大公约数（ $Greatest\; Common\; Divisor\backslash text\{Greatest\; Common\; Divisor\}$ Greatest Common Divisor）的知识，但是当时并没有学习比较高效的求最大公约数的方法。使用欧几里得算法（ $Euclidean\; Algorithm\backslash text\{Euclidean\; Algorithm\}$ Euclidean Algorithm），可以高效地计算出自然数的最大公约数（两个自然数不能同时为 $00$ 0）。本文带您体验这一过程。

正文

根据定义暴力计算

根据最大公约数的定义，我们可以用暴力的方式进行计算自然数 $aa$ a 和自然数 $bb$ b 的最大公约数（ $a=0a=0$ a=0 和 $b=0b=0$ b=0 不能同时成立）。对应的 $Python\backslash text\{Python\}$ Python 代码如下

def brute_force_gcd(a, b):
    if a == 0 and b == 0:
        raise ValueError("a and b cannot be both 0")
    if a == 0:
        return b
    if b == 0:
        return a
    candidate = min(a, b)
    while True:
        if a % candidate == 0 and b % candidate == 0:
            return candidate
        candidate -= 1

由于所有的自然数都能被 $11$ 1 整除，所以上述代码求出的最大公约数 $gcd\ge 1gcd\backslash ge\; 1$ gcd≥1 总是成立。

观察

如果固定 $bb$ b 的值，让 $aa$ a 变化（也可以固定 $aa$ a，让 $bb$ b 变化，两种方式没有本质区别），我们看一看求出的结果是否有特殊的规律。

$b=1b=1$ b=1 时

当 $b=1b=1$ b=1 时，对任意自然数 $aa$ a， $gcd(a,1)=1gcd(a,1)=1$ gcd(a,1)=1 显然成立。

$b=2b=2$ b=2 时

当 $b=2b=2$ b=2 时，我们可以列举比较小的 $aa$ a 值所对应的计算结果

看起来 $gcd(a,2)gcd(a,2)$ gcd(a,2) 的值是在 $11$ 1 和 $22$ 2 之间交替出现。解释如下 ⬇️

• 当 $aa$ a 是偶数时， $2\mid 22\backslash mid\; 2$ 2∣2 并且 $2\mid a2\backslash mid\; a$ 2∣a，所以 $gcd(a,2)=2gcd(a,2)=2$ gcd(a,2)=2
• 当 $aa$ a 是奇数时
  • 因为 $2\nmid a2\backslash nmid\; a$ 2∤a，所以 $gcd(a,2)\ne 2gcd(a,2)\backslash ne\; 2$ gcd(a,2)=2
  • 那么 $gcd(a,2)=1gcd(a,2)=1$ gcd(a,2)=1

$b=3b=3$ b=3 时

当 $b=3b=3$ b=3 时，我们可以列举比较小的 $aa$ a 值所对应的计算结果

看起来 $gcd(a,3)gcd(a,3)$ gcd(a,3) 的值会以 $3,1,13,1,1$ 3,1,1 这样周期反复出现。解释如下 ⬇️

• 当 $a\equiv 0(mod3)\; a\backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\; 3$ a≡0(mod3) 时， $3\mid 33|3$ 3∣3 并且 $3\mid a3|a$ 3∣a，所以 $gcd(a,3)=3gcd(a,3)=3$ gcd(a,3)=3
• 当 $a\equiv 1(mod3)\; a\backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 3$ a≡1(mod3) 时
  • $3\nmid a3\backslash nmid\; a$ 3∤a，所以 $gcd(a,3)\ne 3gcd(a,3)\backslash ne\; 3$ gcd(a,3)=3
  • $2\nmid 32\backslash nmid\; 3$ 2∤3，所以 $gcd(a,3)\ne 2gcd(a,3)\backslash ne\; 2$ gcd(a,3)=2
  • 那么 $gcd(a,3)=1gcd(a,3)=1$ gcd(a,3)=1
• 当 $a\equiv 2(mod3)\; a\backslash equiv\; 2\; \backslash pmod\; 3$ a≡2(mod3) 时
  • $3\nmid a3\backslash nmid\; a$ 3∤a，所以 $gcd(a,3)\ne 3gcd(a,3)\backslash ne\; 3$ gcd(a,3)=3
  • $2\nmid 32\backslash nmid\; 3$ 2∤3，所以 $gcd(a,3)\ne 2gcd(a,3)\backslash ne\; 2$ gcd(a,3)=2
  • 那么 $gcd(a,3)=1gcd(a,3)=1$ gcd(a,3)=1

$b=4b=4$ b=4

当 $b=4b=4$ b=4 时，我们可以列举比较小的 $aa$ a 值所对应的计算结果

看起来 $gcd(a,4)gcd(a,4)$ gcd(a,4) 的值会以 $4,1,2,14,1,2,1$ 4,1,2,1 这样周期反复出现。解释如下 ⬇️

• 当 $a\equiv 0(mod4)\; a\backslash equiv\; 0\; \backslash pmod\; 4$ a≡0(mod4) 时， $4\mid 44|4$ 4∣4 并且 $4\mid a4|a$ 4∣a，所以 $gcd(a,4)=4gcd(a,4)=4$ gcd(a,4)=4
• 当 $a\equiv 1(mod4)\; a\backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$ a≡1(mod4) 时
  • $4\nmid a4\backslash nmid\; a$ 4∤a，所以 $gcd(a,4)\ne 4gcd(a,4)\backslash ne\; 4$ gcd(a,4)=4
  • $3\nmid 43\backslash nmid\; 4$ 3∤4，所以 $gcd(a,4)\ne 3gcd(a,4)\backslash ne\; 3$ gcd(a,4)=3
  • $2\nmid a2\backslash nmid\; a$ 2∤a，所以 $gcd(a,4)\ne 2gcd(a,4)\backslash ne\; 2$ gcd(a,4)=2
  • 那么 $gcd(a,3)=1gcd(a,3)=1$ gcd(a,3)=1
• 当 $a\equiv 2(mod3)\; a\backslash equiv\; 2\; \backslash pmod\; 3$ a≡2(mod3) 时
  • $4\nmid a4\backslash nmid\; a$ 4∤a，所以 $gcd(a,4)\ne 4gcd(a,4)\backslash ne\; 4$ gcd(a,4)=4
  • $3\nmid 43\backslash nmid\; 4$ 3∤4，所以 $gcd(a,4)\ne 3gcd(a,4)\backslash ne\; 3$ gcd(a,4)=3
  • $2\mid 42\backslash mid\; 4$ 2∣4，并且 $2\mid a2\backslash mid\; a$ 2∣a，所以 $gcd(a,4)=2gcd(a,4)=\; 2$ gcd(a,4)=2
• 当 $a\equiv 3(mod4)\; a\backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$ a≡3(mod4) 时
  • $4\nmid a4\backslash nmid\; a$ 4∤a，所以 $gcd(a,4)\ne 4gcd(a,4)\backslash ne\; 4$ gcd(a,4)=4
  • $3\nmid 43\backslash nmid\; 4$ 3∤4，所以 $gcd(a,4)\ne 3gcd(a,4)\backslash ne\; 3$ gcd(a,4)=3
  • $2\nmid a2\backslash nmid\; a$ 2∤a，所以 $gcd(a,4)\ne 2gcd(a,4)\backslash ne\; 2$ gcd(a,4)=2
  • 那么 $gcd(a,4)=1gcd(a,4)=1$ gcd(a,4)=1

一般的情形

分析了以上几个值比较小的 $bb$ b 之后，我们尝试从中找规律。假设 $a\ge ba\backslash ge\; b$ a≥b 成立，看起来以下等式是成立的
$$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$$ gcd(a,b)=gcd(a−b,b)

我们看看能否证明它。为了方便描述，我们记 $gcd(a,b)=ggcd(a,b)=g$ gcd(a,b)=g, $gcd(a-b,b)=g\prime gcd(a-b,b)=g\text{'}$ gcd(a−b,b)=g′。

我们的目标是证明 $g=g\prime g=g\text{'}$ g=g′ (或者找到两者不相等的反例)。

$gcd(a,b)=ggcd(a,b)=g$ gcd(a,b)=g，根据最大公约数的定义，以下两者成立

• $g\mid ag\backslash mid\; a$ g∣a
• $g\mid bg\backslash mid\; b$ g∣b

所以 $g\mid (a-b)g\backslash mid(a-b)$ g∣(a−b)。 $gg$ g 既是 $a-ba-b$ a−b 的约数，又是 $bb$ b 的约数，那么 $gg$ g 是 $a-ba-b$ a−b 和 $bb$ b 的公约数 。按照最大公约数 的定义， $g\le g\prime g\backslash le\; g\text{'}$ g≤g′ 成立（因为 $g\prime g\text{'}$ g′ 是 $a-ba-b$ a−b 和 $bb$ b 的最大公约数）。

反过来看， $gcd(a-b,b)=g\prime gcd(a-b,b)=g\text{'}$ gcd(a−b,b)=g′，根据最大公约数的定义，以下两者成立

• $g\prime \mid (a-b)g\text{'}\backslash mid\; (a-b)$ g′∣(a−b)
• $g\prime \mid bg\text{'}\; \backslash mid\; b$ g′∣b

所以 $g\prime \mid ((a-b)+b)g\text{'}\; \backslash mid\; ((a-b)+b)$ g′∣((a−b)+b)，即 $g\prime \mid ag\text{'}\; \backslash mid\; a$ g′∣a。 $g\prime g\text{'}$ g′ 既是 $bb$ b 的约数，又是 $aa$ a 的约数，那么 $g\prime g\text{'}$ g′ 是 $aa$ a 和 $bb$ b 的公约数 。按照最大公约数 的定义， $g\prime \le gg\text{'}\backslash le\; g$ g′≤g 成立（因为 $gg$ g 是 $aa$ a 和 $bb$ b 的最大公约数）。

既然 $g\le g\prime g\backslash le\; g\text{'}$ g≤g′ 和 $g\prime \le gg\text{'}\backslash le\; g$ g′≤g 同时成立，那么 $g=g\prime g=g\text{'}$ g=g′ 成立。也就是说，对正整数 $a,ba,b$ a,b 而言，当 $a\ge ba\backslash ge\; b$ a≥b 成立时，以下等式总是成立。
$$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$$ gcd(a,b)=gcd(a−b,b)

在此基础上，可以推出 ⬇️ ( $a,ba,b$ a,b 都是正整数)
$$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$$ gcd(a,b)=gcd(a−b,b)
$$=gcd(a-2b,b)=gcd(a-2b,b)$$ =gcd(a−2b,b)
$$=gcd(a-3b,b)=gcd(a-3b,b)$$ =gcd(a−3b,b)
$$\cdots \backslash cdots$$ ⋯
$$=gcd(a \; mod\; b,b)=gcd(a\; \backslash bmod\; b,b)$$ =gcd(amodb,b)

所以对任意正整数 $a,ba,b$ a,b 而言，以下等式成立
$$gcd(a,b)=gcd(a \; mod\; b,b)gcd(a,b)=gcd(a\; \backslash bmod\; b,b)$$ gcd(a,b)=gcd(amodb,b)

这就是欧几里得算法 ( $Euclidean\; Algorithm\backslash text\{Euclidean\; Algorithm\}$ Euclidean Algorithm) 的核心思想。

用 $Python\backslash text\{Python\}$ Python 程序实现欧几里得算法

以 $5555$ 55 和 $3434$ 34 为例，我们利用欧几里得算法来计算两者的最大公约数，具体过程如下 ⬇️
$$gcd(55,34)=gcd(55 \; mod\; 34,34)gcd(55,34)=gcd(55\; \backslash bmod\; 34,\; 34)$$ gcd(55,34)=gcd(55mod34,34)
$$=gcd(21,34)=gcd(34,21)=gcd(21,\; 34)=gcd(34,\; 21)$$ =gcd(21,34)=gcd(34,21)
$$=gcd(34 \; mod\; 21,21)=gcd(34\; \backslash bmod\; 21,\; 21)$$ =gcd(34mod21,21)
$$=gcd(13,21)=gcd(21,13)=gcd(13,\; 21)=gcd(21,\; 13)$$ =gcd(13,21)=gcd(21,13)
$$=gcd(21 \; mod\; 13,13)=gcd(21\; \backslash bmod\; 13,\; 13)$$ =gcd(21mod13,13)
$$=gcd(8,13)=gcd(13,8)=gcd(8,\; 13)=gcd(13,8)$$ =gcd(8,13)=gcd(13,8)
$$=gcd(13 \; mod\; 8,8)=gcd(13\; \backslash bmod\; 8,\; 8)$$ =gcd(13mod8,8)
$$=gcd(5,8)=gcd(8,5)=gcd(5,\; 8)=gcd(8,\; 5)$$ =gcd(5,8)=gcd(8,5)
$$=gcd(8 \; mod\; 5,5)=gcd(8\; \backslash bmod\; 5,\; 5)$$ =gcd(8mod5,5)
$$=gcd(3,5)=gcd(5,3)=gcd(3,\; 5)=gcd(5,\; 3)$$ =gcd(3,5)=gcd(5,3)
$$=gcd(5 \; mod\; 3,3)=gcd(5\; \backslash bmod\; 3,\; 3)$$ =gcd(5mod3,3)
$$=gcd(2,3)=gcd(3,2)=gcd(2,\; 3)=gcd(3,2)$$ =gcd(2,3)=gcd(3,2)
$$=gcd(3 \; mod\; 2,2)=gcd(3\; \backslash bmod\; 2,\; 2)$$ =gcd(3mod2,2)
$$=gcd(1,2)=gcd(2,1)=gcd(1,\; 2)=gcd(2,1)$$ =gcd(1,2)=gcd(2,1)
$$=gcd(2 \; mod\; 1,1)=gcd(2\; \backslash bmod\; 1,\; 1)$$ =gcd(2mod1,1)
$$=gcd(0,1)=gcd(0,\; 1)$$ =gcd(0,1)
$$=1=1$$ =1

用代码来实现，可以这样写 ⬇️

def gcd(a, b):
    if (a, b) == (0, 0):
        raise ValueError("a and b cannot be both 0")
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

但我们用这段代码计算 $gcd(55,34)gcd(55,34)$ gcd(55,34) 时，会出现这样的函数调用栈 ⬇️ (栈底在上方，栈顶在下方)

参数 $aa$ a 的值	参数 $bb$ b 的值	函数调用的情况
$5555$ 55	$3434$ 34	$gcd(55,34)\backslash text\{gcd(55,34)\}$ gcd(55,34)
$3434$ 34	$2121$ 21	$gcd(34,21)\backslash text\{gcd(34,21)\}$ gcd(34,21)
$2121$ 21	$1313$ 13	$gcd(21,13)\backslash text\{gcd(21,13)\}$ gcd(21,13)
$1313$ 13	$88$ 8	$gcd(13,8)\backslash text\{gcd(13,8)\}$ gcd(13,8)
$88$ 8	$55$ 5	$gcd(8,5)\backslash text\{gcd(8,5)\}$ gcd(8,5)
$55$ 5	$33$ 3	$gcd(5,3)\backslash text\{gcd(5,3)\}$ gcd(5,3)
$33$ 3	$22$ 2	$gcd(3,2)\backslash text\{gcd(3,2)\}$ gcd(3,2)
$22$ 2	$11$ 1	$gcd(2,1)\backslash text\{gcd(2,1)\}$ gcd(2,1)
$11$ 1	$00$ 0	$gcd(1,0)\backslash text\{gcd(1,0)\}$ gcd(1,0)

验证

我们可以用如下的代码来简单验证欧几里得算法的计算结果

import matplotlib.pyplot as plt

def gcd(a, b):
    if (a, b) == (0, 0):
        raise ValueError("a and b cannot be both 0")
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def plot_gcd_results(nums, gcd_results, b):
    # plot_gcd_results 里的代码是 trae 帮我生成的，我做了些小调整
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.bar(nums, gcd_results, color='skyblue', edgecolor='black')
    plt.xlabel('a', fontsize=12)
    plt.ylabel('GCD(a, %d)' % b, fontsize=12)
    plt.title('GCD(a, %d) for a from %d to %d' % (b, nums[0], nums[-1]), fontsize=14)
    plt.xticks(nums)
    plt.yticks(range(max(gcd_results) + 1))
    plt.grid(axis='y', linestyle='--')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    b = 4
    nums = range(5 * b + 1)
    gcd_results = [gcd(num, b) for num in nums]
    plot_gcd_results(nums, gcd_results, b)

运行结果如下图所示

可以看到， $gcd(a,4)gcd(a,4)$ gcd(a,4) 的值，以 $44$ 4 为周期的（值是 $4,1,2,1,\cdots 4,1,2,1,\backslash cdots$ 4,1,2,1,⋯），这与我们前面分析的结果是一致的。

可以将第 $2424$ 24 行的 $bb$ b 变量改为其他值来进行验证，这里就不赘述了。