如果你想把群论用到物理、机器人、计算机图形学领域，需要学习李群和李代数。但首先要打好群论基础。 李群的群部分是群论定义的那个群。
很多人在接触群论时遇到的最大障碍是：一上来就看到一堆抽象的公理，完全不知道它在说什么。
这篇文章给你一个具体的、可操作的学习步骤，让你一步步从熟悉的例子走到抽象的定义。
第一步：先掌握集合和运算的基本概念
群论的一切都建立在集合和二元运算上。如果你对这两个概念模糊，后面的东西都会飘在空中。
你需要先搞清楚：
- 什么是集合？（元素的整体，比如 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}）
- 什么是二元运算？（把两个元素变成一个元素的操作，比如加法、乘法）
- 什么是封闭性？（两个东西运算后还在这个集合里）
做一个小练习，判断下面的运算是否封闭：
- 整数集合，运算：加法，封闭吗？
- 奇数集合，运算：加法，封闭吗？（3+5=8，8不是奇数，所以不封闭）
- 非零实数集合，运算：乘法，封闭吗？
入门先搞明白上面三个问题就够了。
第二步：理解群的四条公理
群的定义只有四条规则：
例子1：整数加法群 ( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) (Z,+)
- 封闭性：两个元素运算后还在集合里，比如 3+5=8，8还是整数
- 结合律： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (a+b)+c = a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c)，(1+2)+3 = 1+(2+3)
- 单位元：存在一个元素e，使得 a + e = e + a = a a+e=e+a=a a+e=e+a=a，0 就是单位元：5+0=5
- 逆元：每个元素a都有一个b，使得 a + b = b + a = e a+b=b+a=e a+b=b+a=e，5的逆是-5：5+(-5)=0
群不要求交换律（即 a b = b a ab=ba ab=ba）。满足交换律的群叫交换群或阿贝尔群。整数加法是交换群，但后面你会遇到非交换群。
例子2：开关灯群
集合： { 保持 , 切换 } \{保持, 切换\} {保持,切换}
运算：两个操作依次执行
单位元：保持
切换的逆元：切换自己（切换两次等于保持）
封闭：✓
结合律：✓
这个群是二阶群，记作 Z 2 \mathbb{Z}_2 Z2。
第三步：学两个经典例子
例1：旋转正方形群（四阶循环群 C 4 C_4 C4）
想象一个正方形，可以顺时针旋转：0°、90°、180°、270°。
这四个操作构成一个群：
封闭： 先转90°再转180° = 转270°，还在集合里
单位元： 不转
逆元： 转90°的逆是转270°（因为再转一次就回到原样）
结合律： 显然成立
这个群由"转90°"这一个操作生成，所以叫循环群。
例2： S 3 S_3 S3（三个元素的置换群）
这是一个非交换群的例子，非常重要。
考虑三个物品 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3} 的排列方式。一共有 3 ! = 6 3! = 6 3!=6 种排列方式（比如(1,2,3)、(2,1,3)等）。
注意交换律不成立！
先交换1和2，再交换2和3 → 结果 ≠ 先交换2和3，再交换1和2
这个例子能让你明白群不一定要交换。
如果你搞懂了 S 3 S_3 S3，你就理解了群论中最核心的非交换群的雏形。
第四步：再看群的抽象定义
当你对上面四个例子都熟悉后，再来看标准的群定义：
一个群 ( G , ∘ ) (G, \circ) (G,∘) 是一个集合 G G G 配上一种二元运算 ∘ \circ ∘，满足：
封闭性： 对任意 a , b ∈ G a, b \in G a,b∈G， a ∘ b ∈ G a \circ b \in G a∘b∈G
结合律： 对任意 a , b , c ∈ G a, b, c \in G a,b,c∈G， ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) (a∘b)∘c=a∘(b∘c)
单位元： 存在 e ∈ G e \in G e∈G，使得对任意 a ∈ G a \in G a∈G， e ∘ a = a ∘ e = a e \circ a = a \circ e = a e∘a=a∘e=a
逆元： 对任意 a ∈ G a \in G a∈G，存在 b ∈ G b \in G b∈G，使得 a ∘ b = b ∘ a = e a \circ b = b \circ a = e a∘b=b∘a=e
第五步：学习几个重要概念
当你理解了群是什么之后，可以接着学：
-
子群：群中的一个子集，自身也构成群。
-
循环群：由一个元素生成的群。
-
同态与同构：同态，两个群之间的保持结构的映射。同构两个群本质上一样（结构和运算完全相同）
一个经典的洞察：旋转正方形群（ C 4 C_4 C4）和模4加法群 ( Z / 4 Z , + ) (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +) (Z/4Z,+) 是同构的。
转0° ↔ 0
转90° ↔ 1
转180° ↔ 2
转270° ↔ 3
不同的具体对象却有相同的代数结构，这就是群论的力量。
第六步：做题
以下是一些入门级的练习
练习1：验证群公理
判断以下是否构成群，并说明理由：
- 整数集合，运算：乘法
- 正实数集合，运算：乘法
- 所有 2 × 2 2\times2 2×2 可逆实矩阵，运算：矩阵乘法
练习2：子群
以下哪些是整数加法群 ( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) (Z,+) 的子群？
- 所有3的倍数
- 所有正整数
- { 0 } \{0\} {0}
练习3：循环群
证明： ( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) (Z,+) 是循环群，且它由1生成。
练习4：理解非交换性
在 S 3 S_3 S3 中，计算 ( 12 ) ( 23 ) (12)(23) (12)(23) 和 ( 23 ) ( 12 ) (23)(12) (23)(12)，证明它们不相等。
当你能够对着整数加法说出"封闭、结合、单位元、逆元"这八个字的时候，你就已经迈入了群论的大门。
群论研究的是满足四条公理的代数结构：封闭性、结合律、单位元、逆元
这些公理不涉及任何连续或光滑的概念。比如：
- 整数加法群 ( Z , + ) (\mathbb{Z}, +) (Z,+) ------ 离散的，一个一个的点
- 旋转正方形群 C 4 C_4 C4 ------ 只有4个元素，跳着走的
- 置换群 S 3 S_3 S3 ------ 只有6个元素
这些群的元素都是可数的、离散的。而李群是带有光滑结构的连续群，必须连续变化（如旋转角度）。
群论是研究离散的和连续的所有群结构的理论，李群是其中连续的那一类，并且因为其具有光滑性，可以用微积分和几何的工具来研究。
李群
一个集合，同时是一个群和一个光滑流形（可微的曲面），并且群运算（乘法和取逆）是光滑的映射。
它首先是一个群（满足四条公理），同时它的元素可以连续变化（不像整数那样一跳一跳的），而且这种变化是光滑的（可求导的）。
最重要的例子是旋转群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)
想象空间中的旋转操作。你可以连续地旋转一个物体：转1°、转2°、转3°......一直到359° 。这些旋转操作构成一个群（封闭、结合、有单位元、有逆）。更重要的是这个群是连续的，你可以"平滑地"从旋转1°过渡到旋转2°。
三维空间中的所有旋转构成一个"三维的曲面"（数学上叫流形），这就是李群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)。
李代数：李群的线性化
每一个李群 G G G 都有一个对应的"线性化版本"叫李代数 g \mathfrak{g} g。
李代数是"在单位元附近"把李群线性化得到的向量空间，配上一个叫做"李括号"的运算。
旋转群 S O ( 3 ) SO(3) SO(3) 的李代数是 s o ( 3 ) \mathfrak{so}(3) so(3)，它是由所有 3 × 3 3\times3 3×3 反对称矩阵构成的向量空间
这个李代数只有3个维度（跟旋转自由度的数量一致）
矩阵李群中的乘法 A B AB AB 是复杂的，但李代数中的运算（加法和李括号）是线性的，处理起来简单得多。
而且，指数映射：
exp : g → G \exp: \mathfrak{g} \to G exp:g→G
把李代数中的元素映射回李群中。这相当于：李群中微小的连续变化可以用李代数中的线性组合来近似描述。这在物理、工程、机器人学中极度有用：
比如，机器人手臂的连续运动 = 李群中的路径；每个时刻的速度 = 李代数中的元素；把速度积分回来就得到运动轨迹。