这是一道非常典型的树形 DFS + 树形 DP（后序递归）题。
有的同学看到都会觉得：
"这不是二叉树吗？是不是要 BFS？"
其实不是。
真正的突破口只有一句话：
一个节点是不是满二叉树，取决于它的左右子树。
看到这句话，应该可以想到：
后序 DFS！
今天我还是按照我的风格，用故事把它讲透，让同学们以后遇到"树形 DP"知道该怎么思考。
🌳 第一幕：满二叉树王国
1、很久很久以前。
（1）森林里住着很多小树精灵。
每个精灵都有两个孩子的位置：
左孩子
右孩子（2）但是：
有的孩子存在。
有的孩子不存在。
例如：
A
/ \
B C
左孩子 右孩子（3）现在国王发布任务：
统计整片森林里，有多少棵"满二叉树"。
注意：
不是只有整棵树。
而是：
每一个节点，都算是对应一棵子树。
🌳 第二幕：什么叫满二叉树？
1、有的同学容易和：
完全二叉树
平衡二叉树
混淆。
所以先讲清楚。
2、第一种
○（1）只有一个点。
是不是满二叉树？
（2）答案：
是！
（3）因为：
叶子都一样高。
没有违反规则。
3、第二种
○
/ \
○ ○是不是满二叉树？
也是。
4、第三种
○
/ \
○ ○
/ \ / \
○ ○ ○ ○是不是满二叉树？
也是。
5、那什么时候不是？
（1）例如：
○
/
○不是。
（2）为什么？
因为：
根只有一个孩子。
违反：
每个非叶子，必须要有两个孩子。
（3）还有：
○
/ \
○ ○
/
○也不是。
（4）为什么？
因为：
所有叶子深度不同。
6、所以：
满二叉树必须同时满足：
① 每个非叶子都有两个孩子
② 所有叶子深度相同
🌳 第三幕：暴力可以吗？
1、这道题节点数为：
100000对于每个节点：
重新遍历一次子树。
复杂度：
O(n²)一定超时。
怎么办？
2、有没有办法：
每个节点只访问一次？
答案：
DFS！
🌳 第四幕：老师的小侦探
1、我们来到某个节点：
A
/ \
B C2、汉克老师问：
A是不是满二叉树？
（1）能直接知道吗？
不知道。
（2）必须先问：
B
是不是？（3）再问：
C
是不是？（4）所以：
必须：
先孩子
后爸爸3、这就是：
后序遍历
顺序：
左
↓
右
↓
自己🌳 第五幕：每个节点要记录什么？
1、有的同学第一次做树DP，
总想记录很多东西。
其实这里只需要两个信息。
2、第一个
高度记：
h[u]表示：
以u为根，高度是多少。
（1）例如：
○高度：
1（2）例如：
○
/ \
○ ○高度：
23、怎么算高度？
（1）孩子高度已经知道了。
所以：
h[u]
=
max(
左孩子高度
右孩子高度
)+1（2）这是不是很熟？
因为：
DFS回来以后，
孩子信息已经有了。
🌳 第六幕：第二个信息
1、记录：
chk[u]表示：
以u为根是不是满二叉树。
只有：
true
false2、那么：
什么时候true？
汉克老师继续问：
根：
A成为满二叉树，
必须满足什么？
3、第一：
左边必须已经是满二叉树。
chk[left]
==true4、第二：
右边也是。
chk[right]
==true5、第三：
左右高度一样。
（1）例如：
○
/ \
○ ○左高：
2右高：
2可以。
（2）如果：
○
/ \
○ ○
/
○左：
3右：
2叶子高度不同。
不是满二叉树。
6、于是：
最后得到判断公式：
chk[u]
=
chk[left]
&&
chk[right]
&&
h[left]==h[right]是不是特别全面？
这是问题的核心判断。
🌳 第七幕：为什么叶子天然就是满二叉树？
1、来看：
○（1）左右都是：
null（2）DFS到：
null直接返回。
（3）于是：
左高度
0右高度：
0相等。
所以：
chk=true2、因此：
所有叶子，
天然都是满二叉树。
答案一定至少有：
叶子数量棵。
🌳 第八幕：整个DFS流程
1、例如：
1
/ \
2 3
/ \
4 5（1）我们从根开始：
dfs(1)（2）先去左。
dfs(2)（3）继续：
dfs(4)（4）4没有孩子。
回来。
（5）得到：
h[4]=1
chk[4]=true（6）继续：
dfs(5)回来：
h[5]=1
chk[5]=true（7）现在：
节点2终于可以计算：
左高：
1右高：
1一样。
于是：
h[2]=2
chk[2]=true（8）继续：
节点3。
是叶子。
h=1
chk=true（9）最后：
节点1。
左：
2右：
1不同。
所以：
chk[1]=false（10）于是有：
4
5
3
2共：
4棵。
🌳 第九幕：为什么叫树形DP？
1、有的同学问：
汉克老师。
这里只有DFS呀？
为什么你说这是树形DP呢？
2、因为动态规划本质：
就是：
大问题依赖小问题。
（1）这里：
节点1依赖：
节点2
节点3（2）节点2又依赖：
节点4
节点5是不是：
和DP是一模一样的？
3、而且状态长在树上。
所以叫：
树形DP。
🌳 第十幕：参考程序
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int leftChild[N], rightChild[N];
// h[i]：以 i 为根的子树高度
int h[N];
// full[i]：以 i 为根是否为满二叉树
bool full[N];
// 答案
int ans = 0;
void dfs(int u)
{
if (u == 0) return; // 空节点
// 后序遍历：先左右子树
dfs(leftChild[u]);
dfs(rightChild[u]);
// 计算高度
h[u] = max(h[leftChild[u]], h[rightChild[u]]) + 1;
// 判断是否为满二叉树
full[u] = full[leftChild[u]]
&& full[rightChild[u]]
&& (h[leftChild[u]] == h[rightChild[u]]);
if (full[u])
ans++;
}
int main()
{
cin >> n;
// 空树看作满二叉树，便于递推
full[0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> leftChild[i] >> rightChild[i];
dfs(1);
cout << ans << endl;
return 0;
}🌟 思维导图
满二叉树统计
│
▼
每个节点统计一次
│
▼
后序DFS
│
┌─────────────┴─────────────┐
▼ ▼
记录高度 h[u] 是否满 chk[u]
│ │
▼ ▼
h=max(左,右)+1 左满 && 右满 && 左高==右高
│ │
└─────────────┬─────────────┘
▼
如果成立，答案+1🌈 举一反三
如果一个节点的答案，需要依赖左右子树的答案，那就可以想到"后序 DFS + 树形 DP"。
以后遇到下面这些经典问题时，都可以尝试下同样的方法：
判断平衡二叉树
求二叉树高度
求二叉树直径
求最大独立集
求树上最长路径
判断各种子树性质
它们有一个共同特点：
先计算孩子，再计算父亲。