题目描述
这个学期需要选修 numCourses 门课程，课程编号为 0 到 numCourses - 1。
数组 prerequisites 表示课程之间的先修关系，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] 表示：如果要学习课程 ai，必须先学习课程 bi。
例如：
[0, 1]表示想学习课程 0，需要先完成课程 1。
要求判断是否可以完成所有课程。如果可以，返回 true；否则返回 false。
初始思路
一开始想到的是把二维数组转成链表，然后判断链表里是否存在循环。
但这题不是普通链表问题。一个课程可能有多个后续课程，也可能被多个课程依赖，所以它本质上是一张 有向图，不是一条链表。
如果课程之间存在环，就说明有些课程互相依赖，无法完成所有课程。
例如：
0 -> 1
1 -> 0这就表示学习 0 之前要先学 1，学习 1 之前又要先学 0，形成了死循环。
解题思路
这题可以用 DFS 判断有向图中是否存在环。
先根据 prerequisites 建图：
g[p[1]].add(p[0]);这里的方向是：
先修课 -> 后续课也就是如果 p = [a, b]，表示学 a 之前必须先学 b，所以建边 b -> a。
然后用三色标记记录每个课程的访问状态：
0：未访问。1：正在访问。2：已经访问完成。
DFS 过程中，如果遇到一个状态为 1 的节点，说明这个节点还在当前递归路径上，又被重新访问到了，所以存在环。
如果存在环，就无法完成所有课程，返回 false。
为什么需要三色标记
这题不能只用一个简单的 visited。
因为有向图判环时，需要区分两种状态：
- 这个点以前访问过，并且已经确认它后面的路径没有环。
- 这个点正在当前 DFS 路径中，还没有退出递归。
只有遇到"正在访问"的点，才说明形成了环。
也就是代码里的：
if (color[y] == 1) {
return true;
}当一个节点的所有后续节点都 DFS 完成后，要把它标记成 2：
color[x] = 2;表示这个点已经检查完成，以后再遇到它就不用重复搜索。
易错点
1. 建图方向
prerequisites[i] = [ai, bi] 的含义是：学 ai 之前要先学 bi。
所以边的方向应该是：
bi -> ai对应代码：
g[p[1]].add(p[0]);2. DFS 结束后要标记为完成
如果一个点搜索完没有发现环，要把它从 1 改成 2。
否则其他路径再次访问到它时，可能会误以为遇到了环。
3. 外层要遍历所有课程
图不一定是连通的。
有些课程可能和课程 0 完全不在一个连通块里，所以不能只从一个课程开始 DFS，而是要遍历所有课程：
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
if (color[i] == 0 && dfs(i, g, color)) {
return false;
}
}代码实现
class Solution {
public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
List<Integer>[] g = new ArrayList[numCourses];
Arrays.setAll(g, i -> new ArrayList<>());
int[] color = new int[numCourses];
for (int[] p : prerequisites) {
g[p[1]].add(p[0]);
}
for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
if (color[i] == 0 && dfs(i, g, color)) {
return false;
}
}
return true;
}
public boolean dfs(int x, List<Integer>[] g, int[] color) {
color[x] = 1;
for (int y : g[x]) {
if (color[y] == 1 || color[y] == 0 && dfs(y, g, color)) {
return true;
}
}
color[x] = 2;
return false;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：
O(numCourses + prerequisites.length)。每个课程节点和每条先修边最多被访问一次。 - 空间复杂度：
O(numCourses + prerequisites.length)。邻接表需要存储所有边，递归栈和颜色数组最多需要O(numCourses)。
复盘
这题的关键是把课程关系看成一张有向图，然后判断图里有没有环。
最开始想用链表判环，是因为抓住了"循环依赖"这个方向，但没有意识到课程关系不是一条链，而是可能一对多、多对一的图结构。
下次遇到类似题时，可以先检查三点：
- 依赖关系能不能抽象成有向图。
- 边方向是否是
先修课 -> 后续课。 - DFS 判环时是否区分了
未访问、正在访问、已完成三种状态。