【板子】kmp - 技术栈

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#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

// 求模式串p的next数组（最长border）
vector<int> getNext(const string &p) {
    int n = p.size();
    vector<int> next(n + 1, 0); // next[1]~next[n] 对应长度1~n前缀
    int j = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        while (j > 0 && p[i - 1] != p[j]) j = next[j];
        if (p[i - 1] == p[j]) j++;
        next[i] = j;
    }
    return next;
}

// KMP匹配，返回所有匹配起始位置（1开头）
vector<int> kmpSearch(const string &s, const string &p, const vector<int> &next) {
    vector<int> res;
    int n = s.size(), m = p.size();
    int j = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        while (j > 0 && s[i - 1] != p[j]) j = next[j];
        if (s[i - 1] == p[j]) j++;
        // 完全匹配
        if (j == m) {
            res.push_back(i - m + 1); // 左端点l（1起始）
            j = next[j];
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    
    auto next = getNext(s2);
    auto pos = kmpSearch(s1, s2, next);
    
    // 输出所有匹配位置
    for (int x : pos) cout << x << '\n';
    // 输出next[1]~next[m]，空格分隔
    int m = s2.size();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cout << next[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

next特性：len-next $len$ 是最小循环节

优化失配数组

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#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> getNext(const string &p) {
    int n = p.size();
    vector<int> next(n + 1, 0);
    int j = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        while (j > 0 && p[i - 1] != p[j]) j = next[j];
        if (p[i - 1] == p[j]) j++;
        next[i] = j;
    }
    return next;
}

// 生成nextval优化数组
vector<int> getNextVal(const string &p, const vector<int> &next) {
    int n = p.size();
    vector<int> nextval(n + 1, 0);
    nextval[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        int k = next[i];
        while (k > 0 && p[i - 1] == p[k]) k = next[k];
        nextval[i] = k;
    }
    return nextval;
}

// KMP匹配改用nextval
vector<int> kmpSearchVal(const string &s, const string &p, const vector<int> &nextval) {
    vector<int> res;
    int n = s.size(), m = p.size();
    int j = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        while (j > 0 && s[i - 1] != p[j]) j = nextval[j];
        if (s[i - 1] == p[j]) j++;
        if (j == m) {
            res.push_back(i - m + 1);
            j = nextval[j];
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    string s1, s2;
    cin >> s1 >> s2;
    
    auto next = getNext(s2);
    auto nextval = getNextVal(s2, next);
    auto pos = kmpSearchVal(s1, s2, nextval);
    
    for (int x : pos) cout << x << '\n';
    int m = s2.size();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) cout << nextval[i] << ' ';
    return 0;
}

KMP 完整原理，分三层讲：问题、暴力缺陷、next 数组、匹配流程、nextval 优化

一、原始问题：字符串模式匹配

给定文本串 S（长 n）、模式串 P（长 m），找出 S 中所有 P 出现的位置。

暴力匹配缺点

两个指针 i（文本）、j（模式）：

匹配相等：$i++,j++$
失配：i 回退到 $i-j+2$，j 归零最坏复杂度 $O(nm)$，如 S=aaaaaaa，P=aaab，大量重复比较浪费时间。

KMP 核心目标：失配时，文本指针 i 不回退，只让模式指针 j 跳到最优位置，整体线性 $O(n+m)$。

二、核心概念：Border（前缀函数 /next 数组）

1. 定义

对模式串前 i 个字符组成的前缀 $P $1,i$ $：

真前缀 ：不包含最后一位；真后缀：不包含第一位；
$next $i$ $ = 最长的长度 k，满足前 k 位 = 后 k 位（$k<i$），这个长度叫 Border。

例：$P=abcab$（长度 5）前缀：a ab abc abca abcab 后缀：b ab cab bcab abcab 最长相等真前后缀是 ab，长度 2 → $next $5$ =2$。

2. next 数组求解逻辑（1-based，和你板子统一）

j 记录上一个前缀的最长 border 长度：

$next $1$ =0$：单个字符无真前后缀；
i 从 2 遍历到 m：
- 若 $P $i-1$ \ne P $j$ $：$j=next $j$ $ 回溯，直到 $j=0$；
- 匹配相等：$j++$；
- $next $i$ =j$。全程只前进不回退，$O(m)$ 求出 next。

3. Border 的关键作用（KMP 灵魂）

当匹配到 $P $j$ $ 和文本失配时： $P $1,j-1$ $ 是已经匹配成功的一段，不需要全部重比。利用 $next $j-1$ =k$：说明 $P $1,k$ = P $j-k,j-1$ $，直接把 j 跳到 k，文本指针 i 不动。

举例： $P=abcabc$，匹配到第 6 位失配，$next $6$ =3$，直接让 $j=3$，拿 $P $3$ $ 继续和当前文本字符对比，省去从头匹配。

三、KMP 匹配主流程

设文本 S，模式 P，i 文本下标，j 模式下标：

循环遍历文本每个字符 $Si$：
- 失配且 $j>0$：$j=next $j$ $；
- 若字符相等：$i++,j++$；
当 $j=m$（模式完全匹配）：
- 记录匹配起点；
- $j=next $j$ $ 寻找重叠匹配（比如 aaaa 中 aa 会多次匹配）。

全程 i 只增不减，总复杂度 $O(n+m)$。

四、nextval（优化失配数组）原理

问题：普通 next 存在无效跳转

例 $P=aaaaa$，$next $4$ =3$，若 $P $4$ =P $3$ ='a'$：失配时跳到 $j=3$，字符还是 a，依然失配，多一次无用判断。

nextval 优化规则

对每个 i：

$k=next $i$ $；
若 $P $i-1$ == P $k$ $，继续令 $k=next $k$ $，直到字符不等或 $k=0$；
$nextval $i$ =k$。

作用：失配时一步跳到字符不同的位置，减少比较次数，卡常专用。

五、拓展：Border 衍生知识点

1. 最小循环节

字符串总长 L，最长 border $k=next $L$ $，循环节长度 $d=L-k$。

若 $L \% d ==0$：整个串由 $L/d$ 个相同子串重复；
否则最小循环节是自身。例：abcabcabc，$L=9,next $9$ =6,d=3$，可由abc重复 3 次构成。

2. 所有 Border 数量（cnt 数组，动物园题）

$cnt $i$ $ = 前缀 i 所有合法 border 的总个数递推式：$cnt $i$ = cnt $next\[i$ ] +1$ 含义：最长 border + 最长 border 的所有 border。

3. 不重叠 border（num 数组，NOI 动物园）

要求 $2k \le i$（前后缀不重叠），用双指针维护最大合法 k，$num $i$ =cnt $k$ $，最后累乘 $(num $i$ +1)$ 得答案。