[LC优选算法#18] 前缀和 | 除⾃⾝以外数组的乘积 | 和为K的⼦数组

1. 除⾃⾝以外数组的乘积

除⾃⾝以外数组的乘积

解题思路：

由于题目限制了不能使用除法，因此不能采用全部相乘在除以nums[i]的方式解题。从暴力解法出发，我们只能将除nums[i]以外的元素相乘后逐个放入数组，但这样重复的操作太多，不符合O(N)的时间复杂度。因此，我们采用前缀和思想优化暴力解法。

前缀和 O(N)：对于返回数组中的每一个结果ret[i]，都是由两部分组成的：前面元素的乘积 * 后面元素的乘积。因此，我们可以预处理出两个前缀和数组，一个数组存储每个数之前元素的乘积，另一个存之后元素的乘积。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> fx(n, 1);
        vector<int> gx(n, 1);

        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            fx[i] = fx[i - 1] * nums[i - 1];
        }

        for(int i=n-2; i>=0; i--)
        {
            gx[i] = gx[i + 1] * nums[i + 1];
        }

        vector<int> ret;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            int left = fx[i];
            int right = gx[i];

            ret.push_back(left * right);
        }

        return ret;
    }
};

2. 和为K的⼦数组

和为 k 的⼦数组

解题思路：

暴力 O(N^2)：固定起始位置向后枚举，每次加到末尾，统计数组中和为K的子数组个数。
前缀和 + 哈希表 时O(N)空O(N)：这道题和前缀和的例题类似，但如果只是单单预处理一个前缀和数组，后续还需要进行多次相减才能找到和为K的连续子数组个数，和暴力枚举貌似没区别。对此，我们引入哈希表 存储，这样问题就转化为在数组中查找和为sum[i] - k的前缀和了。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector<int>& nums, int k)
    {
        unordered_map<int, int> hash;
        int sum = 0, cnt = 0;
        hash[0] = 1;
        
        for(auto x : nums)
        {
            sum += x;
            if(hash.count(sum - k) == 1)
            {
                cnt += hash[sum - k];
            }

            hash[sum]++;
        }

        return cnt;
    }
};

3. 和可被K整除的⼦数组

和可被K整除的⼦数组

前置知识：

同余定理 ：如果 (a - b) % n == 0，那么我们可以得到一个结论：a % n == b % n，反过来也成立。⽤⽂字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，当且仅当这两个数对 n 取模的结果相同。
负数取模修正 ：C++中对负数取模，结果还会返回负数（取模结果加上符号）。我们需要对取模结果进行修正，以(a % n + n) % n的形式输出保证为正。例如：-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2。

解题思路：

前缀和 + 哈希表 时O(N)空O(N)：本题解题思路和上题类似，都是用哈希表+前缀和 解决。根据同余定理，如果s1 % k和sum % k的余数相同，那么所求的子区间(sum - s1) % k == 0。这样问题就变为：找到在[0, i - 1]区间内，有多少前缀和的余数等于sum[i] % k的区间即可。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k)
    {
        unordered_map<int, int> hash; //存储余数+出现次数

        int sum = 0, ret = 0;
        hash[0] = 1; //0位置初始化为1，因为0是可以整除任何数的元素

        for(auto x : nums)
        {
            sum += x;
            int r = (sum % k + k) % k;
            if(hash.count(r))
            {
                ret += hash[r]; //sum范围内所有余数为r的子区间都满足
            }

            hash[r]++;
        }

        return ret;
    }
};

// 本期内容就到这里啦，如果对你有帮助，请三连支持！我是青云，我们下期见^_~

[LC优选算法#18] 前缀和 | 除⾃⾝以外数组的乘积 | 和为K的⼦数组 | 和可被K整除的⼦数组

1. 除⾃⾝以外数组的乘积

2. 和为K的⼦数组

3. 和可被K整除的⼦数组