LeetCode 53. 最大子数组和
题目描述
给你一个整数数组 nums，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = -2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4
输出：6
解释：连续子数组 4,-1,2,1 的和最大，为 6。
示例 2：
输入：nums = 1
输出：1
示例 3：
输入：nums = 5,4,-1,7,8
输出：23
解法一：动态规划（Kadane 算法）⭐ 推荐
思路
经典的 Kadane 算法，利用动态规划思想，一次遍历即可求解。
定义 last 表示 以当前元素结尾的最大子数组和 。
对于每个元素 nums[i]，要么将其接到之前的最优子数组后面（last + nums[i]），要么从当前位置重新开始（nums[i]）。
即：
last = max(nums[i], last + nums[i])代码中简化为 last = nums[i] + max(last, 0)，当 last < 0 时相当于放弃之前的部分。
同时用 res 记录所有 last 中的最大值，即为答案。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int res = INT_MIN, last = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
last = nums[i] + max(last, 0);
res = max(res, last);
}
return res;
}
};复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，仅需一次遍历。
- 空间复杂度：O(1)，只使用常数个变量。
解法二：分治 / 线段树（更通用的思路）
思路
虽然 Kadane 足以解决本题，但分治法（线段树思想）更具扩展性，可轻松应对区间查询、单点修改等复杂问题。
我们定义一个结构体 Node，保存一个区间的四个关键信息：
sum：区间总和s：区间内最大子数组和（允许为空，即和为 0）ls：区间最大前缀和（从区间左端点开始，允许为空）rs：区间最大后缀和（到区间右端点结束，允许为空）
然后递归分治合并左右子区间的信息，合并公式如下：
res.sum = L.sum + R.sumres.s = max({L.s, R.s, L.rs + R.ls})
最大子数组可能完全在左、完全在右，或跨越左右（左后缀 + 右前缀）res.ls = max(L.ls, L.sum + R.ls)
最大前缀要么在左区间内，要么包含整个左区间加上右区间的最大前缀res.rs = max(R.rs, L.rs + R.sum)
最大后缀要么在右区间内，要么包含左区间的最大后缀加上整个右区间
⚠️ 注意 ：由于我们将空子数组视为和为 0，所以当数组全为负数时，build 会返回 0，但题目要求非空子数组，因此需要特判全负数的情况，直接返回最大负数。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
struct Node {
int sum; // 区间总和
int s; // 区间最大子数组和（允许为空）
int ls; // 区间最大前缀和（允许为空）
int rs; // 区间最大后缀和（允许为空）
};
Node build(vector<int>& nums, int l, int r) {
if (l == r) {
int v = max(nums[l], 0);
return {nums[l], v, v, v};
}
int mid = l + r >> 1;
auto L = build(nums, l, mid);
auto R = build(nums, mid + 1, r);
Node res;
res.sum = L.sum + R.sum;
res.s = max(max(L.s, R.s), L.rs + R.ls);
res.ls = max(L.ls, L.sum + R.ls);
res.rs = max(R.rs, L.rs + R.sum);
return res;
}
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int res = INT_MIN;
for (int x : nums) res = max(res, x);
if (res < 0) return res; // 全为负数，直接返回最大负数
auto t = build(nums, 0, nums.size() - 1);
return t.s;
}
};复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，递归遍历每个元素一次，合并操作 O(1)。
- 空间复杂度：O(log n)，递归栈深度（树高）。
两种解法对比
| 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| Kadane 动态规划 | O(n) | O(1) | 仅需整个数组的最大子数组和，最简洁高效 |
| 分治 / 线段树 | O(n) | O(log n) | 更通用，支持区间查询、动态修改等扩展需求 |
对于本题，Kadane 算法足以轻松 AC。但掌握分治/线段树的思路，可以帮助你应对更多变形题目。
总结
- Kadane 代码简短、效率极高。
- 分治 思想经典，体现了"分而治之"及区间合并的通用技巧。
- 注意处理全负数边界情况，确保子数组非空。