FFT分析

一、从傅里叶级数到傅里叶变换

1.1 傅里叶级数的基本思想

傅里叶级数的核心思想是将周期函数分解为正弦和余弦函数的叠加，使我们能在频域分析信号的频率成分。

对于周期为 T 的函数 f(t)，其傅里叶级数展开为：

$f_T(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big $a_n \\cos(n\\omega_0 t) + b_n \\sin(n\\omega_0 t) \\Big$ $

其中基频 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$，系数计算公式为：

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos(n\omega_0 t)\, dt \quad (n \ge 1)$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin(n\omega_0 t)\, dt \quad (n \ge 1)$

$a_0 = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\, dt$

示例：周期为 2π 的方波信号，其傅里叶级数展开为：

$f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(t) + \frac{1}{3}\sin(3t) + \frac{1}{5}\sin(5t) + \cdots \right)$

方波只含奇次谐波的正弦分量，所有余弦系数 $a_n = 0$，偶次谐波正弦系数 $b_{2n} = 0$。

1.2 从周期函数到非周期函数：傅里叶变换

当周期 T → ∞，周期函数变为非周期函数。此时基频 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \to 0$，离散频率 $n\omega_0$ 变为连续频率 $\omega$；系数 $a_n, b_n$ 趋于 0，但 $\frac{2}{T}a_n$ 和 $\frac{2}{T}b_n$ 保持有限。为此定义两个实函数：

$A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\omega t)\, dt$

$B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\omega t)\, dt$

这就是实数形式的傅里叶变换，分别表示信号在不同频率上的余弦和正弦分量强度。

1.3 物理意义解释

$A(\omega)$：信号中频率为 $\omega$ 的余弦分量强度
$B(\omega)$：信号中频率为 $\omega$ 的正弦分量强度
若某频率的 $A(\omega)$ 或 $B(\omega)$ 为 0，则信号不含该频率的相应分量

例如，方波只含奇次谐波，偶数频率的系数全部为 0。

示例：高斯函数 $f(t) = e^{-t^2}$ 的傅里叶变换为：

$A(\omega) = \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4}, \quad B(\omega) = 0$

高斯函数的傅里叶变换仍是高斯函数，且只有余弦分量（偶函数）。

二、从连续到离散：离散傅里叶变换（DFT）

实际数字信号处理中，计算机只能处理有限长度、离散采样的信号。DFT 是连续傅里叶变换在离散域的自然延伸。

2.1 时域采样与离散化

设采样间隔 $T_s$（秒），采样频率 $f_s = 1/T_s$（Hz）。对连续信号 $x(t)$ 采样得离散序列：

$x $n$ = x(nT_s), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$

将积分替换为求和，得离散时间傅里叶变换的实数形式：

$A(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x $n$ \cos(\omega n), \quad B(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x $n$ \sin(\omega n)$

示例：设 $f_s = 1000\text{Hz}$（$T_s = 1\text{ms}$），对 $x(t) = \sin(2\pi \cdot 100t)$ 采样：

$x $n$ = \sin(2\pi \cdot 100 \cdot n \cdot 0.001) = \sin(0.2\pi n)$

其中 $n = 0, 1, 2, \ldots$。

2.2 频域采样与有限长度

计算机还需在频域采样。在 $[0, 2\pi)$ 内均匀取 N 个点：

$\omega_k = \frac{2\pi k}{N}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, N-1$

频域采样点数通常等于时域采样点数 N，得 DFT 实数形式：

$A $k$ = \sum_{n=0}^{N-1} x $n$ \cos\!\left(\frac{2\pi k n}{N}\right), \quad B $k$ = \sum_{n=0}^{N-1} x $n$ \sin\!\left(\frac{2\pi k n}{N}\right)$

什么是 Bin？ DFT 把连续频谱均匀切成 N 小块，每块叫一个 bin （频点）。N 个输出 $X $0$ , X $1$ , \ldots, X $N-1$ $ 各对应一个 bin。$k$ 是 bin 序号，Bin k 对应频率 $k \cdot f_s/N$。

2.3 复数形式的 DFT

引入欧拉公式 $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$，合并为复数形式：

$X $k$ = A $k$ - iB $k$ = \sum_{n=0}^{N-1} x $n$ e^{-i 2\pi kn/N}$

其中 $k = 0, 1, \ldots, N-1$。

示例：$N=4$，$x $n$ = $1, 2, 3, 4$ $：

$X $0$ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

$X $1$ = 1 + 2e^{-i\pi/2} + 3e^{-i\pi} + 4e^{-i3\pi/2} = -2 + 2i$

$X $2$ = 1 + 2e^{-i\pi} + 3e^{-i2\pi} + 4e^{-i3\pi} = -2$

$X $3$ = 1 + 2e^{-i3\pi/2} + 3e^{-i3\pi} + 4e^{-i9\pi/2} = -2 - 2i$

可见 $X $3$ = X^* $1$ $，符合共轭对称性。

2.4 DFT 输出的物理意义

对 N 点序列 $x $n$ $，DFT 输出 N 个复数 $X $k$ $，每个对应数字频率 $\omega_k = 2\pi k/N$：

实部 $Re(X $k$ ) = A $k$ $：余弦分量强度
虚部 $Im(X $k$ ) = -B $k$ $：正弦分量强度的负数
幅度 $|X $k$ | = \sqrt{A $k$ ^2 + B $k$ ^2}$：该频率分量的总强度
相位 $\arg(X $k$ ) = \arctan\left(\frac{-B $k$ }{A $k$ }\right)$：该频率分量的相位

DFT 的本质是将时域信号分解为 N 个不同频率的正弦和余弦分量，每个分量由幅度和相位描述。

2.5 频率分辨率与 Bin 宽度

每个 bin 在频率轴上的宽度即频率分辨率。采集 N 个点用时 $T = N/f_s$，频率间隔为：

$\Delta f = \frac{f_s}{N}$

第 k 个频率点（$k = 0, 1, \ldots, N/2$）的物理频率为：

$f_k = k \cdot \Delta f = k \cdot \frac{f_s}{N}$

可分析的最高频率（奈奎斯特频率）为 $f_{\text{max}} = f_s/2$。

若 $\Delta f = 1\text{Hz}$，则 Bin 0 对应 0~1Hz，Bin 1 对应 1~2Hz，以此类推。$X $1$ $ 代表的就是这个 1Hz 宽度内的信号强度。

两个关键参数：

采样频率 $f_s$：决定频率上限（$f_s/2$）
采样点数 $N$：与 $f_s$ 共同决定频率分辨率 $\Delta f$

示例 1：$f_s = 1000\text{Hz}$，$N = 1024$：

$\Delta f = 1000/1024 \approx 0.9766\text{Hz}$
$f_{\text{max}} = 500\text{Hz}$
Bin 50：$f_{50} \approx 48.83\text{Hz}$

示例 2：$N=8$，$f_s = 8000\text{Hz}$：

8 个 bin（0~7），$\Delta f = 1000\text{Hz}$
Bin 0：$0\text{Hz}$（直流）
Bin 1：$1000\text{Hz}$（基频）
Bin 2：$2000\text{Hz}$（二次谐波）
Bin 3：$3000\text{Hz}$（三次谐波）

分辨率仅 1000Hz 时，500Hz 信号会在 Bin 0 和 Bin 1 之间"跑偏"------这就是频谱泄漏的根源。

2.6 直观理解：整数次振动

DFT 的本质：用一系列能在观测窗口内完成"整数次振动"的正弦波去"丈量"原始信号。

设定观测窗口 $T$（采集 N 个点所用时间）：

基频（k=1）：在 $T$ 秒内完成 1 次完整振动，频率 = $1/T = \Delta f$。

2倍基频（k=2）：在同样的 $T$ 秒内完成 2 次完整振动，频率 = $2/T = 2\Delta f$。

第 k 个频率分量在窗口 $T$ 内正好完成 k 次完整振动。这就是 DFT 只能分析频率为 $\Delta f$ 整数倍的信号成分的原因。

三、DFT 的快速算法FFT

直接计算 N 点 DFT 需 $O(N^2)$ 次复数乘法，FFT 通过分解降至 $O(N\log N)$。下面介绍基‑2 时间抽取（DIT）FFT。

3.1 定义与旋转因子

N 点 DFT：

$X $k$ = \sum_{n=0}^{N-1} x $n$ W_N^{kn}, \quad W_N = e^{-i 2\pi/N}$

$W_N$ 称旋转因子（twiddle factor），具有周期性 $W_N^{k+N} = W_N^k$ 和对称性 $W_N^{k+N/2} = -W_N^k$。

3.2 奇偶分解（时间抽取）

设 N 为 2 的幂，将 $x $n$ $ 按奇偶分为两个半长序列：

$x_{\text{even}} $m$ = x $2m$ , \quad x_{\text{odd}} $m$ = x $2m+1$ , \quad m = 0, 1, \ldots, N/2-1$

代入 DFT 定义：

$ \begin{aligned} X $k$ &= \sum_{m=0}^{N/2-1} x $2m$ W_N^{k(2m)} + \sum_{m=0}^{N/2-1} x $2m+1$ W_N^{k(2m+1)} \\ &= \sum_{m=0}^{N/2-1} x_{\text{even}} $m$ (W_N^2)^{km} + W_N^k \sum_{m=0}^{N/2-1} x_{\text{odd}} $m$ (W_N^2)^{km} \end{aligned} $

因 $W_N^2 = e^{-i 2\pi/(N/2)} = W_{N/2}$，两个求和分别为偶/奇数序列的 $N/2$ 点 DFT（记 $E $k$ , O $k$ $）：

$X $k$ = E $k$ + W_N^k O $k$ $

3.3 利用周期性完成全部输出

$E $k$ $ 和 $O $k$ $ 以 $N/2$ 为周期，且 $W_N^{k+N/2} = -W_N^k$，后半段可直接由前半段计算：

$ \begin{aligned} X $k$ &= E $k$ + W_N^k O $k$ \\ X $k+N/2$ &= E $k$ - W_N^k O $k$ \end{aligned} \quad k = 0, 1, \ldots, N/2-1 $

这就是蝶形运算。递归分解至子变换长度为 1，总运算量降至 $\frac{N}{2}\log_2 N$ 次复数乘法和 $N\log_2 N$ 次复数加法。

3.4 位反转的数学根

基‑2 DIT FFT 中，输入序列需按位反转重排。这是因为递归的奇偶分离不断打乱原始顺序。

设 N=2m，输入下标 n 的二进制表示：

$n = (b_{m-1}b_{m-2}\cdots b_1b_0)_2$

位反转后下标：

$\text{rev}(n) = (b_0b_1\cdots b_{m-2}b_{m-1})_2$

这种排列使蝶形运算可就地完成，无需额外存储。位反转可通过位运算高效实现，是 FFT 高效性的关键。

四、频谱分析的两大核心议题

掌握 DFT/FFT 原理后，频谱分析面临两个核心问题：频率分辨率与 Bin 、频谱泄漏与窗函数。

4.1 频率分辨率与 Bin（深度回顾）

在 DFT/FFT 中，**"bin"（仓/频点）**是把连续频谱从 0 到 $f_s$ 均匀切成 N 小块后得到的每个小格子。DFT 输出的 N 个复数 $X $0$ \sim X $N-1$ $ 各对应一个 bin。

$k$ 就是bin 的编号（索引）：

Bin 0（$k=0$）：直流分量（频率为 0）
Bin 1（$k=1$）：基频
Bin k（$k=k$）：对应频率 $k \cdot f_s/N$

一句话：$k$ 是 bin 序号，Bin 是装"某频率成分能量"的容器。

4.1.1 频率分辨率与 Bin 宽度

每个 bin 在频率轴上的宽度（相邻 k 的频率间隔）为：

$\Delta f = \frac{f_s}{N}$

若 $\Delta f = 1\text{Hz}$，Bin 0 对应 0~1Hz，Bin 1 对应 1~2Hz，依此类推。

4.1.2 数字示例回顾

$N=8$，$f_s = 8000\text{Hz}$：8 个 bin（0~7），$\Delta f = 1000\text{Hz}$。Bin 0~3 分别对应 0、1000、2000、3000Hz。

分辨率仅 1000Hz 时，500Hz 信号会在 Bin 0 和 Bin 1 间"跑偏"（能量泄漏）------这正是下面要讨论的问题。

4.2 频谱泄漏与窗函数

4.2.1 频谱泄漏的概念

频谱泄漏：信号真实频率未落在 DFT 频率网格（bin）上时，能量扩散到邻近频率点。原本干净的谱线变成被"抹开"的峰，伴随起伏的旁瓣。

根源在于 DFT 的两个基本假设：有限长度观测 和周期性延拓。当它们与信号真实特性不匹配时，便产生泄漏。

4.2.2 泄漏的根本原因：非整周期采样

DFT 默认 N 个采样点是一个周期信号的完整周期，并将其首尾相接、无限循环。它看到的不是原始干净信号，而是这 N 个点拼出的"循环版本"。

例如：$f_s = 1000\text{Hz}$，$N = 256$，$f_{\text{sig}} = 100\text{Hz}$：

$\text{周期数} = \frac{f_{\text{sig}}}{\Delta f} = \frac{100}{1000/256} \approx 25.6$

256 个采样点中，100Hz 正弦波走了 25.6 个周期。非整数周期导致周期性延拓时首尾出现跳变 ------平滑正弦波中突然出现尖锐拐点，意味着信号中被强行加入了原本不存在的高频成分。

数学解释：时域截断与频域卷积

有限长度采样等价于给无限长信号乘矩形窗：

$x_{\text{windowed}} $n$ = x $n$ \cdot w $n$ $

$w $n$ $ 在窗口内为 1，外为 0。时域相乘对应频域卷积：

$X_{\text{windowed}}(f) = X(f) * W(f)$

$W(f)$ 是矩形窗的频谱即 sinc 函数。100Hz 正弦波的理想频谱是 ±100Hz 处的两根细线，与 sinc 卷积后被"抹"成 sinc 函数的形状。

4.2.3 泄漏的直观表现

接上例，$\Delta f = 1000/256 \approx 3.906\text{Hz}$：Bin 25 对应 97.5Hz，Bin 26 对应 101.4Hz。100Hz 落在两者之间，导致：

能量铺开：能量分散到 Bin 25、26、27 等多个 bin
主峰变宽：谱线变成有宽度的峰
出现旁瓣：主峰两侧出现 sinc 旁瓣

4.2.4 矩形窗的固有缺陷

矩形窗频谱（sinc 函数）具有宽大主瓣 、显著旁瓣 （第一旁瓣仅比主瓣低约 13dB）和缓慢衰减的旁瓣（6dB/octave）。即使频率对准网格，旁瓣仍会掩盖小幅频率分量。

判断标准：$\frac{f_{\text{sig}}}{\Delta f} \notin \mathbb{Z}$，即信号频率与分辨率之比非整数时发生泄漏。

4.2.5 多频信号间的干涉泄漏

多频信号中，强信号（0dB）的泄漏旁瓣可能淹没弱信号（-60dB）的主瓣。即使两者都落在网格上，旁瓣也会互相叠加，造成虚假峰或基线抬升。

4.2.6 窗函数：缓解泄漏的工具

窗函数通过平滑信号两端幅度，减缓周期性延拓时的跳变。常见窗函数：

汉宁窗（Hanning）：旁瓣衰减快，主瓣较宽
汉明窗（Hamming）：第一旁瓣更低，衰减较慢
布莱克曼窗（Blackman）：旁瓣极低，主瓣最宽

选择窗函数需权衡以下方面：

窗函数	主瓣宽度	第一旁瓣电平	旁瓣衰减速度	适用场景
矩形窗	最窄	-13dB	6dB/octave	整周期采样，频率分辨率优先
汉宁窗	较宽	-31dB	18dB/octave	一般频谱分析，兼顾分辨率和泄漏抑制
汉明窗	较宽	-41dB	6dB/octave	需要极低第一旁瓣的场景
布莱克曼窗	最宽	-58dB	18dB/octave	极低旁瓣、大动态范围场景

4.2.7 总结：泄漏的完整链条

物理现实：采集非整数周期（如 25.6 个）
信号处理：DFT 将其当作完整周期循环播放，首尾不连续
数学本质：时域被矩形窗截断，频域原谱线与 sinc 函数卷积
最终现象：能量扩散，主峰变宽，出现旁瓣

理解频谱泄漏是工程实践的关键。选择合适的窗函数、调整采样参数、理解泄漏对测量的影响，是 DSP 工程师的基本功。

五、工程实践

本章以 ARM CMSIS-DSP 库为例，展示实数 FFT 的调用方式和输出格式，并给出窗函数选择指南。

5.1 实数 FFT：`arm_rfft_fast_f32` 的输出

实数信号频谱具有共轭对称性 $X $N-k$ = X^* $k$ $，可设计专门的实数 FFT 将计算量减半。

以 arm_rfft_fast_f32 为例：输入 N 个实数，输出长度仍为 N 的 float32_t 数组，存放实部与虚部交替的复数。由于共轭对称性，库只计算前 $N/2+1$ 个频率点，利用对称性填满数组。

输出数组索引 （输出指针 pOut）：

索引	含义
`pOut[0]`	直流分量（频率 0）的实部
`pOut[1]`	直流分量的虚部（始终为 0）
`pOut[2*k]`	第 k 个频率分量的实部 $A $k$ $
`pOut[2*k+1]`	第 k 个频率分量的虚部 $B $k$ $
...	...
`pOut[N-2]`	第 $N/2$ 个频率（奈奎斯特频率）的实部
`pOut[N-1]`	奈奎斯特频率的虚部（始终为 0）

几点说明：

虚部对应正弦系数 $B $k$ $，符号与数学定义一致：

$X $k$ = A $k$ - iB $k$ $

pOut[2*k] 即 $A $k$ $，pOut[2*k+1] 即 $B $k$ $。
频率 k 对应的物理频率：

$f_k = k \cdot \frac{f_s}{N}, \quad k = 0, 1, \ldots, N/2$
获取幅度 $M $k$ $ 和相位 $\phi $k$ $：

$M $k$ = \sqrt{A $k$ ^2 + B $k$ ^2}$

$\phi $k$ = \arctan2(-B $k$ , A $k$ )$

很多库（如 ARM 的 arm_cmplx_mag_f32）直接用 A、B 算幅度。

5.2 窗函数的实际选择指南

5.2.1 核心权衡维度

频率分辨率：主瓣越窄，能分辨的相邻频率越近。矩形窗最窄但旁瓣最差。
泄漏抑制：旁瓣越低、衰减越快，对弱信号干扰越小。
幅值精度：加窗改变信号幅度，需根据相干增益补偿。

5.2.2 场景化选择建议

应用场景	推荐窗函数	理由
整周期采样/已知频率校准	矩形窗	无泄漏风险时提供最佳频率分辨率
通用频谱分析	汉宁窗	主瓣宽度和旁瓣衰减的最佳平衡，最常用
检测微弱信号/大动态范围	布莱克曼窗	旁瓣极低（-58dB），避免强信号掩盖弱信号
精确测量单频幅值	平顶窗（Flat Top）	主瓣顶部平坦，幅值误差极小；频率分辨率差
音频处理/语谱图	汉明窗	第一旁瓣很低（-41dB），适合短时傅里叶变换

5.2.3 实践中的操作流程

先不加窗分析：用矩形窗跑一次 FFT，观察频谱形态。
判断泄漏程度：查看主峰是否尖锐、旁瓣是否明显。
选择合适的窗：参考上表选择窗函数，对比加窗前后频谱变化。
注意幅度补偿：加窗后能量减小，精确幅值需除以相干增益或使用归一化系数。

掌握这些原则和流程，即可在实际工程中灵活应对各种频谱分析需求。