信息安全数学基础复习

最大公因数

互素：gcd（a,b）=1;

如果a,b,c为三个不为零的整数，且a=qb+c，则(a,b)=(b,c)

欧几里得算法求最大公因数（带余除法），扩展欧几里得算法求逆元

对任意正整数a,b存在两个整数s,t，使得(a,b)=sa+tb，若(a,b)=1,则存在整数s,t,使得sa+tb=1;

最小公倍数

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

整数的唯一分解（求gcd，lcm）

任何大于1的整数可以分解为素数幂的乘积形式

设a,b是两个正整数，则存在两个正整数a'，b'满足条件a'|a,b'|b且（a'，b'）=1,使得lcm(a,b)=a'*b'

不定方程

Def.未知数的个数多于独立方程个数的方程

二元一次不定方程（最基础）

• 形式：ax+by=c（其中 a,b,c为整数，且 a,b不全为0）

• 判定条件（裴蜀定理） ：方程有整数解的充要条件是 gcd⁡(a,b)∣c（即最大公约数能整除c）。

• 解法：

  1. 先用扩展欧几里得算法求出一组特解 (x0,y0)

  2. 通解公式为：

     x=x0+b/d*t，y=y0​−a/d*​t（其中 d=gcd⁡(a,b)，t为任意整数）。

同余

同余的定义？同余的性质？

a,b模m同余的充要条件《-》m|a-b

同余关系是一个等价关系（具有自反性、对称性、传递性）

常见性质：

• adbd(mod m)，如果gcd(d,m)=1，那么ab(mod m)
• ab(mod m),若d|m,那么ab(mod d)
• ab(mod m),若d为a,b,m的公因数，则a/db/d(mod m/d)
• a,b为整数，m,n为正整数，(m,n)=1，若ab(mod m),ab(mod n),则ab(mod mn)

定理

x

剩余类

欧拉函数*****

① 质数情况

如果 p 是质数，则 φ(p) = p - 1。

② 质数的幂

如果 p 是质数，则 φ(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)。

③ 积性函数（关键）

如果 m, n 互质，则 φ(mn) = φ(m) * φ(n)。

欧拉定理

若n=p*q，且p,q为素数，那么(n)= (p-1)(q-1)，这是RSA密钥生成的理论基础

费马小定理

wilson定理

模重复平方计算

同余方程

线性同余方程 ax≡b(modm)

（1）解的存在性

方程有解：d=gcd(a,m)，且 d∤b，则无解

若有解，则模m下有d个解

（2）求解步骤

1. 求d=gcd(a,m)，检查d|b
2. 约分，得到a'≡b'(mod)m'；
3. 用扩展欧几里得求逆元
4. 特解x0=(b'*)modm'
5. 全部解即为x≡x0+k*m'(mod m),其中k=0,1,...,d-1

同余方程组（中国剩余定理）

将大模数下的运算拆解为多个小模数下的运算

RSA 的解密和签名经常使用 CRT 来加速

原根

群、环、域

什么是群？环？域？

群：一个集合外加一个满足封闭性、结合律、单位元、逆元的二元运算

环 ：对加法成交换群 ，对乘法成半群 ，且满足分配律

域：在环的基础上，除去加法单位元外，其余元素对乘法也成交换群

有限域/伽罗瓦域（GF(q)）

AES的S盒用到了GF()

不可约多项式

多项式乘法后需要模一个不可约多项式