二维/多维前缀和
将一维前缀和拓展到多维的情形，就是多维前缀和．常见的多维前缀和的求解方法有两种．
基于容斥原理
这种方法多用于二维前缀和的情形．给定大小为 𝑚 ×𝑛
的二维数组 𝐴
，要求出其前缀和 𝑆
．那么，𝑆
同样是大小为 𝑚 ×𝑛
的二维数组，且
𝑆𝑖,𝑗=∑𝑖′≤𝑖∑𝑗′≤𝑗𝐴𝑖′,𝑗′.
类比一维的情形，𝑆𝑖,𝑗
应该可以基于 𝑆𝑖−1,𝑗
或 𝑆𝑖,𝑗−1
计算，从而避免重复计算前面若干项的和．但是，如果直接将 𝑆𝑖−1,𝑗
和 𝑆𝑖,𝑗−1
相加，再加上 𝐴𝑖,𝑗
，会导致重复计算 𝑆𝑖−1,𝑗−1
这一重叠部分的前缀和，所以还需要再将这部分减掉．这就是容斥原理．由此得到如下递推关系：
𝑆𝑖,𝑗=𝐴𝑖,𝑗+𝑆𝑖−1,𝑗+𝑆𝑖,𝑗−1−𝑆𝑖−1,𝑗−1.
实现时，直接遍历 (𝑖,𝑗)
求和即可．
同样的道理，在已经预处理出二维前缀和后，要查询左上角为 (𝑖1,𝑗1)
、右下角为 (𝑖2,𝑗2)
的子矩阵的和，可以计算
𝑆𝑖2,𝑗2−𝑆𝑖1−1,𝑗2−𝑆𝑖2,𝑗1−1+𝑆𝑖1−1,𝑗1−1.
这可以在 𝑂(1)
时间内完成．
在二维的情形，以上算法的时间复杂度可以简单认为是 𝑂(𝑚𝑛)
，即与给定数组的大小成线性关系．但是，当维度 𝑘
增大时，由于容斥原理涉及的项数以指数级的速度增长，时间复杂度会成为 𝑂(2𝑘𝑁)
，其中 𝑘
是数组维度，而 𝑁
是给定数组大小．因此，该算法不再适用．
给定数组大小．因此，该算法不再适用．