目录
1、动态规划的基本思想
2、动态规划的典型例子---01背包问题
①"01"的概念：一个物品，要么装进背包、要么不装。
解法思路
要想解决原问题，就先解决子问题（这句话是动态规划的核心思想）。
大白话：
- 你不是要求物品数量是4吗，那我就先求出物品数量是3的最大价值、物品数量是2的最大价值、物品数量是1的最大价值、物品数量是0的最大价值。
- 你不是要求背包容量是5吗，那我就先求出背包容量是4的最大价值、背包容量是3的最大价值、背包容量是2的最大价值、背包容量是1的最大价值、背包容量是0的最大价值。
从上面两个维度，可以求出子问题，然后通过子问题，最终求解原问题。这就是动态规划的魅力。
然后上述两个维度的缩放，可以画成下面的一张二维数组表格。
每个格子的值的含义
每个格子的值，就是对应的情况的最大价值。
举例：
下图红框的值，即2，就是当物品数量为1、背包容量为1时的最大价值。其他值也同理。
填写表格的顺序
从上到下，一行一行的来。
两个策略
- 选当前物品：最大价值 = 当前选中的物品的价值 + 剩余背包容量去上一行发挥出的最大价值
- 不选当前物品：最大价值 = 上方相邻格子的价值
每一个格子，我们都需要考虑上方两种情况，并且取值 max（策略1， 策略2），选价值最大的策略。
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第①步骤：先处理边界
- 当i=0（即物品数量为0），此时没物品可选，所以最大价值为0，故第一行全是0
- 当j=0（即背包容量为0），此时啥都装不下，所以最大价值为0，故第一列全是0
代码实现
java
public class test01 {
public static void main(String[] args) {
//先定义题目描述的东西
int N = 4;//原问题的物品数量：4个
int W = 5;//原问题的背包容量：5
int v[] = {0, 2, 4, 5, 6};//第0~4个物品的价值
int w[] = {0, 1, 2, 3, 4};//第0~4个物品的重量
//定义待填充的二维数组表格（专业术语叫dp数组）
int[][] f = new int[N+1][W+1];
//开始循环，填充DP数组（二维表格）
for(int i=1; i<=N; i++){
for(int j=1; j<=W; j++){
//每个格子，都要考虑 选/不选 当前物品，并且取二者的价值较大者，填入当前格子
if(j>=w[i]){
f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], v[i]+f[i-1][j-w[i]]);
}else{
f[i][j] = f[i-1][j];
}
}
}
//输出结果，最大价值就是f[N][W]的值(即DP数组右下角的那个格子的值)
System.out.println("最大价值："+f[N][W]);
}
}运行结果：
可见此时没问题。
我们还可以将DP数组打印出来，看看和我们之前手动填充的表格一致吗？
java
//打印出DP数组
for (int i = 0; i <= N; i++) {
// 内层循环控制列 (j)，从 0 到 W
for (int j = 0; j <= W; j++) {
// 打印当前格子的值，使用 \t (制表符) 分隔，使对齐更美观
System.out.print(f[i][j] + "\t");
}
// 【关键】每一行打印完后，输出一个换行符
System.out.println();
}
可见此时，通过程序跑出的结果，和我们之前手动推导的一模一样。