408数据结构第6章：图——核心考点、算法对比与AOE网真题

复习位置：数据结构 -> 图

目标：用一篇文章串起图的存储、遍历、最小生成树、最短路径、拓扑排序和关键路径。

说明：为避免复制到 CSDN 后公式乱码，全文以普通文本、代码块和表格为主。

一、图这一章到底考什么

408中"图"这一章看起来算法很多，但实际上可以压缩成六类问题：

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图怎么存
图怎么遍历
怎么连通所有顶点且代价最小
怎么找两点之间的最短路径
怎么判断任务先后顺序
怎么找工程中的关键活动

它们分别对应：

问题	典型知识点
图怎么存	邻接矩阵、邻接表
图怎么遍历	DFS、BFS
连通所有顶点且总代价最小	最小生成树：Prim、Kruskal
求最短路	Dijkstra、Floyd
求任务执行顺序	AOV网、拓扑排序
求工程最短完成时间	AOE网、关键路径

复习时不要把这些算法混在一起。先判断题目在问哪一类问题，再选择对应算法。

二、图的基本概念

图由顶点集合和边集合组成，通常记为：

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G = (V, E)

其中 V 表示顶点集合，E 表示边集合。

如果边没有方向，就是无向图；如果边有方向，就是有向图。如果边上带有长度、费用或时间，就是带权图。

1. 顶点的度

无向图中，一个顶点连接了多少条边，它的度就是多少。

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所有顶点度数之和 = 2 × 边数

因为每条边会被两个端点各计算一次。

有向图中要区分：

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入度：指向该顶点的边数
出度：从该顶点指出的边数

并且：

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所有顶点入度之和 = 边数
所有顶点出度之和 = 边数

2. 路径与回路

路径是从一个顶点沿着边到达另一个顶点所经过的顶点序列。若路径起点和终点相同，就形成回路。

如果一个有向图中不存在有向回路，它就是：

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有向无环图 DAG

拓扑排序和AOE网都建立在DAG上。

3. 连通与强连通

无向图中，任意两个顶点之间都存在路径，称为连通图。

有向图中，任意两个顶点之间都能相互到达，称为强连通图。

三、图的存储结构

1. 邻接矩阵

邻接矩阵用一个二维数组表示顶点之间是否有边。

对于无权图：

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有边：1
无边：0

对于带权图：

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有边：边权
无边：无穷大
对角线：0

邻接矩阵的特点是查询两点之间是否有边非常快，只需要访问一次数组，因此时间复杂度是 O(1)。但它始终需要 n × n 的空间，所以空间复杂度是 O(n²)，更适合稠密图。

2. 邻接表

邻接表为每个顶点建立一条链表，记录从该顶点出发能够到达的邻接点。

邻接表的空间复杂度为：

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O(n + e)

其中 n 是顶点数，e 是边数，因此更适合稀疏图。

3. 考试对比

|-----------|-------|----------|
| 比较项目 | 邻接矩阵 | 邻接表 |
| 空间 | O(n²) | O(n+e) |
| 判断两点是否有边 | O(1) | 需要扫描链表 |
| 遍历某顶点所有邻边 | O(n) | 与该顶点度数有关 |
| 适合 | 稠密图 | 稀疏图 |

高频判断：

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稠密图优先邻接矩阵
稀疏图优先邻接表

四、图的遍历：DFS与BFS

1. 深度优先搜索 DFS

DFS的思路是沿着一条路径不断向深处走，直到走不下去，再回退到上一个顶点继续搜索。

它依赖：

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递归或栈

大白话理解：

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先一路走到底，再回头找其他路

2. 广度优先搜索 BFS

BFS先访问起点，再访问与起点距离为1的所有顶点，然后访问距离为2的所有顶点，逐层向外扩展。

它依赖：

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队列

大白话理解：

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先把附近一圈走完，再向外走下一圈

3. 复杂度

若使用邻接表：

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DFS：O(n + e)
BFS：O(n + e)

若使用邻接矩阵：

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DFS：O(n²)
BFS：O(n²)

4. 非连通图的处理

只从一个顶点开始DFS或BFS，只能访问该顶点所在的连通分量。

如果题目要求遍历整个非连通图，必须在外层再扫描所有顶点：

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for (i = 0; i < n; i++) {
    if (!visited[i]) {
        DFS(i);
    }
}

这是算法题和选择题中的高频遗漏点。

五、最小生成树：Prim与Kruskal

最小生成树解决的是：

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在连通无向带权图中，选择n-1条边，
连接全部n个顶点，并使边权总和最小。

注意，它不是最短路径问题。

1. Prim算法

Prim从一个顶点出发，每次选择一条能够把"树内顶点"和"树外顶点"连接起来的最小权值边。

它关注的是：

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顶点集合逐渐扩大

更适合：

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稠密图

2. Kruskal算法

Kruskal先按边权从小到大排序，每次选择当前最小且不会形成回路的边，直到选出 n-1 条边。

它关注的是：

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按边从小到大选择

通常配合并查集判断是否形成回路，更适合：

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稀疏图

3. 快速区分

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Prim：从一个点开始扩张
Kruskal：从最小边开始选择

4. 高频陷阱

最小生成树可能不唯一，但最小生成树的总权值一定相同。

若图不连通，则不存在生成树，只能得到生成森林。

六、最短路径：Dijkstra与Floyd

1. Dijkstra算法

Dijkstra用于求：

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一个源点到其他所有顶点的最短路径

每一轮确定一个当前距离源点最近、且还未被确定的顶点，再用它更新其他顶点的距离。

限制：

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不能处理负权边

如果题目中出现负权边，就不能直接使用Dijkstra。

2. Floyd算法

Floyd用于求：

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任意两个顶点之间的最短路径

核心思想是逐个允许顶点作为中间点，并不断更新两点之间的最短距离。

更新公式：

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D[i][j] = min(D[i][j], D[i][k] + D[k][j])

时间复杂度：

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O(n³)

3. 快速区分

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单源最短路：Dijkstra
任意两点最短路：Floyd

4. 不要和最小生成树混淆

最短路径关注的是：

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某两个顶点之间怎么走最短

最小生成树关注的是：

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怎样以最小总代价连接所有顶点

二者目标完全不同。

七、AOV网与拓扑排序

AOV网是：

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用顶点表示活动的有向图

如果活动A必须在活动B之前完成，就画一条：

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A -> B

AOV网必须是有向无环图，因为如果出现环，就会形成循环依赖。

1. 拓扑排序

拓扑排序的目标是得到一个满足所有先后关系的顶点序列。

标准做法：

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1. 选择一个入度为0的顶点
2. 输出该顶点
3. 删除该顶点及其所有出边
4. 重复以上过程

如果最终没有输出全部顶点，说明图中存在有向环。

2. 拓扑序列是否唯一

不一定。

如果某一步同时存在多个入度为0的顶点，就可能产生多个合法拓扑序列。

八、AOE网与关键路径

AOE网是本题的核心。

AOE网中：

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顶点表示事件
边表示活动
边权表示活动持续时间

这与AOV网正好相反：

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AOV：顶点表示活动
AOE：边表示活动

1. 为什么关键路径是最长路径

AOE网通常表示一个工程。工程中不同活动可以并行进行，但整个工程必须等所有活动都完成以后才能结束。

因此，决定工程完成时间的是从源点到汇点所需时间最长的那条路径。

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关键路径 = 从源点到汇点的最长路径

不是最短路径。

2. 关键活动

关键路径上的活动称为关键活动。关键活动没有时间余量，一旦延误，整个工程通常也会延误。

3. 事件最早发生时间 ve

从源点开始向后计算：

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ve[j] = max(ve[i] + 边<i,j>的权值)

因为一个事件必须等所有前置活动都完成，所以取最大值。

4. 事件最迟发生时间 vl

从汇点开始反向计算：

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vl[i] = min(vl[j] - 边<i,j>的权值)

为了保证整个工程不延期，事件最迟不能超过这个时间，所以取最小值。

5. 活动最早开始时间 e

若活动对应边 <i,j>，则：

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e = ve[i]

6. 活动最迟开始时间 l

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l = vl[j] - 边<i,j>的权值

7. 判断关键活动

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时间余量 = l - e

若：

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l - e = 0

则该活动是关键活动。

九、典型选择题：关于AOE网的说法

题目：

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下列关于AOE网的说法正确的是：

A. AOE网是以顶点表示活动的网
B. 从源点到汇点的最短路径称为关键路径
C. 存在关键路径的AOE网一定是有向无环图
D. 缩短关键路径上某个活动的时间，整个工程时间必定缩短

正确答案是：

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这道题可以整段判断。AOE网中顶点表示事件，边表示活动，因此A错误；关键路径决定整个工程的完成时间，所以它应当是源点到汇点的最长路径，而不是最短路径，因此B错误；AOE网表示工程活动之间的先后制约关系，若存在有向环，就会形成循环依赖，工程无法正常启动，因此AOE网必须是有向无环图，C正确；一个AOE网可能同时存在多条关键路径，如果只缩短其中一条关键路径上的某个活动，而另一条关键路径长度不变，那么总工期仍由另一条路径决定，因此D中的"必定缩短"错误。

十、这道题暴露出的思维漏洞

如果这道题完全忘记，说明不是单个知识点遗忘，而是下面几组概念没有建立对应关系：

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AOV和AOE混淆
最短路径和关键路径混淆
拓扑排序和关键路径混淆
关键活动和普通活动混淆

需要重新建立下面这张表：

|------|--------------|
| 概念 | 核心含义 |
| AOV网 | 顶点表示活动 |
| AOE网 | 边表示活动，顶点表示事件 |
| 拓扑排序 | 给活动安排合法先后顺序 |
| 关键路径 | 源点到汇点的最长路径 |
| 关键活动 | 时间余量为0的活动 |

十一、408图这一章的高频陷阱

1. DFS一定用队列

错误。DFS依赖递归或栈，BFS才使用队列。

2. Dijkstra可以处理负权边

错误。Dijkstra不能处理负权边。

3. 最小生成树就是最短路径树

错误。一个是连接全部顶点的最小总成本，一个是从源点出发到各点最短。

4. 拓扑序列一定唯一

错误。若同时存在多个入度为0的顶点，拓扑序列可能不唯一。

5. AOE网中顶点表示活动

错误。AOE网中边表示活动，顶点表示事件。

6. 关键路径是最短路径

错误。关键路径是源点到汇点的最长路径。

7. 缩短一个关键活动一定缩短总工期

错误。存在多条关键路径时，只缩短其中一条未必改变总工期。

十二、考场快速选算法

看到题目后，可以直接按下面判断：

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遍历整个图 -> DFS / BFS
无权图最短路径 -> BFS
单源带权最短路径且无负权 -> Dijkstra
任意两点最短路径 -> Floyd
连接全部顶点且总代价最小 -> Prim / Kruskal
判断任务先后顺序 -> 拓扑排序
求工程最短完成时间 -> 关键路径

十三、图这一章的复习顺序

建议按以下顺序复习：

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1. 图的基本概念
2. 邻接矩阵与邻接表
3. DFS与BFS
4. 最小生成树
5. 最短路径
6. 拓扑排序
7. 关键路径

不要一开始就死记所有伪代码。先把每个算法"解决什么问题、使用什么数据结构、有什么限制"弄清楚，再补计算过程。

十四、一页速记

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邻接矩阵：O(n²)，适合稠密图
邻接表：O(n+e)，适合稀疏图

DFS：递归/栈，一路走到底
BFS：队列，一层一层走

Prim：从点扩张
Kruskal：按边权从小到大选

Dijkstra：单源最短路，不能有负权边
Floyd：任意两点最短路，O(n³)

AOV：顶点表示活动，做拓扑排序
AOE：边表示活动，顶点表示事件

关键路径：源点到汇点的最长路径
关键活动：l-e=0

十五、回去重点复习哪里

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数据结构
-> 图
  -> 图的存储
  -> 图的遍历
  -> 最小生成树
  -> 最短路径
  -> 拓扑排序
  -> 关键路径

当前最需要重点回看的部分是：

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AOV网与AOE网的区别
拓扑排序的过程
ve、vl、e、l的含义
关键路径和关键活动的判断