【板子】拓扑序计数

题目通过逆序对约束建立了一个有向无环图（DAG），要求计算这个 DAG 所有可能的拓扑序数量。这是图论中一个非常经典的问题。

给定一个有向无环图（DAG），包含 n 个节点和 m 条有向边。求从节点 1 到节点 n 的所有拓扑序数量（即满足所有边约束的全排列数量）。答案对 998244353 取模。

输入格式：

• 第一行：n, m

• 接下来 m 行：每行 u, v 表示一条从 u 到 v 的有向边

输出格式：

一个整数，表示拓扑序数量

核心思路

1. 用 pre[i] 存 i 的所有前驱节点。

2. dp[mask] 表示当前已经放了 mask（二进制状态）里的这些数，有多少种合法方案。

3. 枚举 mask，尝试放一个新的节点 j。

4. 如果 j 的所有前驱都已经在 mask 里了，就可以放 j。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 998244353;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, m;
    cin >> n >> m;

    // pre[j] = 所有必须在 j 前面的节点列表
    vector<vector<int>> pre(n);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        u--; v--;       // 转为 0-based
        pre[v].push_back(u); // u 是 v 的前驱
    }

    // dp[mask] = 当前选中集合为 mask 时的方案数
    vector<int> dp(1 << n, 0);
    dp[0] = 1; // 初始状态：一个数都没放，算 1 种方案

    // 枚举所有状态
    for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
        // 尝试放下一个节点 j
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 如果 j 已经放过了，跳过
            if (mask >> j & 1) continue;

            // 检查 j 的所有前驱是否都已经放过
            bool ok = true;
            for (int p : pre[j]) {
                if (!(mask >> p & 1)) {
                    ok = false;
                    break;
                }
            }

            // 如果前驱齐全，可以放 j
            if (ok) {
                int next_mask = mask | (1 << j);
                dp[next_mask] = (dp[next_mask] + dp[mask]) % MOD;
            }
        }
    }

    // 答案：所有节点都放完了的状态
    cout << dp[(1 << n) - 1] << '\n';

    return 0;
}