文章目录
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- 一、什么是算法复杂度
- 二、时间复杂度
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- [2.1 定义](#2.1 定义)
- [2.2 计算操作次数](#2.2 计算操作次数)
- 三、空间复杂度
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- [3.1 什么是空间复杂度](#3.1 什么是空间复杂度)
- [3.2 空间复杂度计算示例](#3.2 空间复杂度计算示例)
- 四、常见复杂度对比
一、什么是算法复杂度
算法复杂度旨在计算在输入数据量 𝑁 的情况下，算法的「时间使用」和「空间使用」情况；体现算法运行使用的时间和空间随「数据大小 𝑁 」而增大的速度。
算法复杂度主要从时间和空间这两个维度来衡量：
- 时间： 衡量⼀个算法的运⾏快慢
- 空间：衡量⼀个算法运⾏所需要的额外空间
二、时间复杂度
2.1 定义
在计算机科学中，算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运⾏时间。
- 统计的是算法的「计算操作数量」，而不是「运行的绝对时间」。
- 体现的是计算操作随数据大小N变化时的变化情况。
一个算法在不同的机器上的执行时间是不同的，但语句执行次数是一样的。因此，可以使用语句执行次数来衡量算法的时间复杂度。
2.2 计算操作次数
2.2.1⼤O的渐进表⽰法
实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确的执⾏次数，而是计算程序能代表增⻓量级的⼤概执⾏次数，复杂度的表⽰通常使⽤⼤O的渐进表⽰法。
⼤O符号（Big O notation）：是⽤于描述函数渐进⾏为的数学符号
下面我们通过⼤O的渐进表⽰法来计算下面示例的时间复杂度
2.2.2时间复杂度计算示例
示例1：
c
// 请计算⼀下Func1中++count语句总共执⾏了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
}
通过推倒规则，可以得到Func1的时间复杂度为O(N2)
示例2：
c
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
示例3
c
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
示例4
c
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char* str, int character)
{
const char* p_begin = s;
while (*p_begin != character)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}
总结：
示例5
c
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
示例6
c
void func5(int n)
{
int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
}
}
注意书籍中 log2 n 、 log n 、 lg n 的表⽰
当n接近⽆穷⼤时，底数的⼤⼩对结果影响不⼤。因此，⼀般情况下不管底数是多少都可以省略不写，即可以表⽰为 log n
不同书籍的表⽰⽅式不同，以上写法差别不⼤，建议使⽤ log n
示例7
c
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
根据常见的时间复杂度从小到大排列：
三、空间复杂度
3.1 什么是空间复杂度
空间复杂度也是⼀个数学表达式，是对⼀个算法在运⾏过程中因为算法的需要额外**临时开辟的空间**。
空间复杂度不是程序占⽤了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象⼤⼩差异不会很⼤，所以空间复
杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使⽤⼤O渐进表⽰法。
注意：函数运⾏时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运⾏时候显式申请的额外空间来确定。
3.2 空间复杂度计算示例
示例1
c
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
示例2
c
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}
四、常见复杂度对比
