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1.摘要
进化算法（EA）通常只利用少量个体更新单个解，难以学习种群内部的全局相关性；探索与开发的平衡高度依赖人工设置的参数，过度开发会早熟收敛，过度探索又会使搜索迟缓。论文提出Graph Neural Evolution（GNE）把种群个体表示为图节点，用节点相似性构造邻接矩阵，再通过归一化图拉普拉斯的谱分解得到进化信号的频率成分。GNE以多项式谱滤波器显式调节各频率权重，并用采样函数生成下一代个体，从而在不依赖传统手工参数的情况下解释和控制探索--开发平衡。
2.谱图表示与进化信号
给定 N N N个节点的无向图 G = ( X , A ) G=(X,A) G=(X,A)，邻接矩阵 A ∈ R N × N A\in\mathbb{R}^{N\times N} A∈RN×N描述个体间相互作用，度矩阵 D D D的对角元素为 D i i = ∑ j A i j D_{ii}=\sum_jA_{ij} Dii=∑jAij。归一化图拉普拉斯为
L ^ = I − D − 1 / 2 A D − 1 / 2 . \hat L=I-D^{-1/2}AD^{-1/2}. L^=I−D−1/2AD−1/2.
对其进行谱分解：
L ^ = U Λ U T , \hat L=U\Lambda U^T, L^=UΛUT,
其中 U U U包含正交特征向量， Λ = diag ( λ 1 , ... , λ N ) \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_N) Λ=diag(λ1,...,λN)包含特征值，且 λ k ∈ 0 , 2 \lambda_k\in0,2 λk∈0,2。图傅里叶变换为 X ~ = U T X \tilde X=U^TX X~=UTX，逆变换为 X = U X ~ X=U\tilde X X=UX~。频率 λ k \lambda_k λk对应的种群信号分量为
X ~ λ k = U k U k T X . \tilde X_{\lambda_k}=U_kU_k^TX. X~λk=UkUkTX.
谱滤波器 g ( Λ ) = diag ( g ( λ 1 ) , ... , g ( λ N ) ) g(\Lambda)=\operatorname{diag}(g(\lambda_1),\ldots,g(\lambda_N)) g(Λ)=diag(g(λ1),...,g(λN))用 K K K阶多项式参数化：
g ( λ ) = ∑ k = 0 K α k λ k , q q u a d g ( L ^ ) = U g ( Λ ) U T . g(\lambda)=\sum_{k=0}^{K}\alpha_k\lambda^k,qquad g(\hat L)=Ug(\Lambda)U^T. g(λ)=k=0∑Kαkλk,qquadg(L^)=Ug(Λ)UT.
低频特征值对应沿图结构变化较平缓的共同特征，适合围绕精英个体进行开发；高频特征值对应节点间差异较大的成分，适合保持种群多样性并探索新区域。
3.GNE模型
GNE先以种群质心 x 0 x_0 x0为参照，为每个个体构造差分向量 z i = x i − x 0 z_i=x_i-x_0 zi=xi−x0。个体 i i i与 j j j之间的边权取差分向量余弦相似度：
A i j = z i T z j ∥ z i ∥ ∥ z j ∥ . A_{ij}=\frac{z_i^Tz_j}{\|z_i\|\,\|z_j\|}. Aij=∥zi∥∥zj∥ziTzj.
由 A A A构造 L ^ \hat L L^并求得 U 、 Λ U、\Lambda U、Λ后，GNE用多项式谱滤波更新种群：
X ^ = U g ( Λ ) U T X = ∑ k = 1 N g ( λ k ) U k U k T X = ∑ k = 1 N g ( λ k ) X ~ λ k . \hat X=Ug(\Lambda)U^TX=\sum_{k=1}^{N}g(\lambda_k)U_kU_k^TX=\sum_{k=1}^{N}g(\lambda_k)\tilde X_{\lambda_k}. X^=Ug(Λ)UTX=k=1∑Ng(λk)UkUkTX=k=1∑Ng(λk)X~λk.
为生成可行的新个体，GNE使用两个采样函数模拟GNN中的输入、输出编码器。前置函数 ψ \psi ψ为恒等映射；后置函数 ϕ \phi ϕ以种群精英为中心、以随迭代次数变化的标准差 σ t \sigma_t σt进行高斯采样。总体更新公式
X ← ϕ ( U g ( Λ ) U T ψ ( X ) ) . X\leftarrow\phi\left(Ug(\Lambda)U^T\psi(X)\right). X←ϕ(Ug(Λ)UTψ(X)).
4.实验结果
比较算法包括GA、DE、CMA-ES、SDAES、RL-SHADE和GNE。测试函数为Sphere、Schwefel、Schwefel 2.22、Schwefel 2.26、Rosenbrock、Quartic、Rastrigin、Ackley和Levy，共9个经典基准。为检验抗噪性，论文向9个函数加入 0 , 1 0,1 0,1范围的均匀随机噪声；为避免许多基准函数最优点位于可行域中心造成的中心偏置。
GNE在无噪声和噪声条件下均获得最高排名，同时保持中等运行时间，体现了精度、稳定性与计算代价之间的平衡。
GNE把进化种群视为图把个体相似性转化为邻接关系，并通过图拉普拉斯谱分解获得高频多样性与低频一致性成分。多项式滤波器对不同频率加权，提供了可解释的探索--开发控制；采样函数则将过滤后的全局结构重新映射为下一代个体。基准函数结果表明，GNE在精度、稳定性、抗噪性和最优点偏移鲁棒性方面具有优势。
5.参考文献
Ouyang K, Ke Z, Fu S, et al. Learn from global correlations: Enhancing evolutionary algorithm via spectral gnnC//Proceedings of the AAAI Conference on Artificial Intelligence. 2026, 40(29): 24665-24673.
6.算法辅导·应用定制·读者交流
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