高等数学学习教程，从入门到精通，定积分 — 知识点全面总结(9）

定积分 --- 知识点全面总结

第一节定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积

设 y=f(x)y = f(x)y=f(x) 在 $a,b$ $a, b$ $a,b$ 上连续且 f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0，求由 y=f(x)y = f(x)y=f(x)、x=ax = ax=a、x=bx = bx=b 及 xxx 轴围成的曲边梯形面积。

思路： 以直代曲，分四步完成。

（1）分割： 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 中任意插入 n−1n-1n−1 个分点：

a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=ba = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = ba=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b

将 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 分成 nnn 个小区间 $xi-1,xi$ $x_{i-1}, x_i$ $xi-1,xi$ ，其长度为 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}Δxi=xi−xi−1。

（2）近似： 在每个小区间 $xi-1,xi$ $x_{i-1}, x_i$ $xi-1,xi$ 上任取一点 ξi\xi_iξi，以 f(ξi)f(\xi_i)f(ξi) 为高、Δxi\Delta x_iΔxi 为底的小矩形面积近似第 iii 个小曲边梯形的面积：

ΔAi≈f(ξi)Δxi\Delta A_i \approx f(\xi_i) \Delta x_iΔAi≈f(ξi)Δxi

（3）求和：

A≈∑i=1nf(ξi)ΔxiA \approx \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_iA≈i=1∑nf(ξi)Δxi

（4）取极限： 记 λ=max⁡{Δx1,Δx2,⋯ ,Δxn}\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}λ=max{Δx1,Δx2,⋯,Δxn}，当 λ→0\lambda \to 0λ→0 时：

A=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)ΔxiA = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_iA=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi

2. 变速直线运动的路程

设物体做直线运动，速度 v=v(t)v = v(t)v=v(t) 在 $T1,T2$ $T_1, T_2$ $T1,T2$ 上连续。将 $T1,T2$ $T_1, T_2$ $T1,T2$ 分成 nnn 个小段，在每个小段 $ti-1,ti$ $t_{i-1}, t_i$ $ti-1,ti$ 上任取 τi\tau_iτi，近似认为在这一小段内速度为 v(τi)v(\tau_i)v(τi)，则：

s=lim⁡λ→0∑i=1nv(τi)Δtis = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} v(\tau_i) \Delta t_is=λ→0limi=1∑nv(τi)Δti

以上两个问题虽然背景不同，但数学结构完全一致：函数 · 区间长度的和的极限。由此抽象出定积分的定义。

二、定积分的定义

定义： 设函数 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a, b$ $a,b$ 上有界，在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 中任意插入分点 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = ba=x0<x1<⋯<xn=b，将 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 分为 nnn 个小区间，记 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}Δxi=xi−xi−1，λ=max⁡1≤i≤n{Δxi}\lambda = \max_{1 \le i \le n}\{\Delta x_i\}λ=max1≤i≤n{Δxi}。在每个 $xi-1,xi$ $x_{i-1}, x_i$ $xi-1,xi$ 上任取 ξi\xi_iξi，作和式

∑i=1nf(ξi)Δxi\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_ii=1∑nf(ξi)Δxi

若不论对 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 怎样分法，也不论 ξi\xi_iξi 怎样取法，当 λ→0\lambda \to 0λ→0 时上述和式的极限存在，则称 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上可积，此极限值称为 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上的定积分，记作：

∫abf(x) dx=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i}∫abf(x)dx=λ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi

其中 f(x)f(x)f(x) 称为被积函数 ，f(x) dxf(x)\,dxf(x)dx 称为被积表达式 ，xxx 称为积分变量 ，aaa 称为积分下限 ，bbb 称为积分上限 ， $a,b$ $a,b$ $a,b$ 称为积分区间。

关于定义的几点说明：

定积分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫abf(x)dx 是一个确定的数值 ，取决于被积函数 fff 和积分区间 $a,b$ $a,b$ $a,b$ ，与积分变量的记号无关：

∫abf(x) dx=∫abf(t) dt=∫abf(u) du\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du∫abf(x)dx=∫abf(t)dt=∫abf(u)du
规定：

∫aaf(x) dx=0,∫baf(x) dx=−∫abf(x) dx\int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx∫aaf(x)dx=0,∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx
可积的充分条件：
- 若 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上可积。
- 若 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上有界，且只有有限个间断点 ，则 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上可积。

定积分的几何意义：

当 f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0 时，∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫abf(x)dx 表示曲边梯形的面积。
当 f(x)≤0f(x) \leq 0f(x)≤0 时，∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫abf(x)dx 表示面积的负值。
当 f(x)f(x)f(x) 有正有负时，∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx∫abf(x)dx 表示 xxx 轴上方图形面积与下方图形面积的代数和。

三、定积分的近似计算

1. 矩形法

将 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 等分为 nnn 份，Δx=b−an\Delta x = \frac{b-a}{n}Δx=nb−a，xi=a+i⋅Δxx_i = a + i \cdot \Delta xxi=a+i⋅Δx，yi=f(xi)y_i = f(x_i)yi=f(xi)。

∫abf(x) dx≈b−an∑i=0n−1yi（左矩形法）\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} y_i \quad \text{（左矩形法）}∫abf(x)dx≈nb−ai=0∑n−1yi（左矩形法）

∫abf(x) dx≈b−an∑i=1nyi（右矩形法）\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i \quad \text{（右矩形法）}∫abf(x)dx≈nb−ai=1∑nyi（右矩形法）

2. 梯形法

∫abf(x) dx≈b−an $y0+yn2+y1+y2+\dots+yn-1$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n}\left $\\frac{y_0 + y_n}{2} + y_1 + y_2 + \\cdots + y_{n-1}\\right$ ∫abf(x)dx≈nb−a $2y0+yn+y1+y2+\dots+yn-1$

3. 抛物线法（辛普森法）

将 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 等分为 2n2n2n 份（偶数份），每两份为一组配一条抛物线，则：

∫abf(x) dx≈b−a6n $y0+y2n+2\sumi=1n-1y2i+4\sumi=1ny2i-1$ \boxed{\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{6n}\left $y_0 + y_{2n} + 2\\sum_{i=1}\^{n-1}y_{2i} + 4\\sum_{i=1}\^{n}y_{2i-1}\\right$ }∫abf(x)dx≈6nb−a $y0+y2n+2i=1\sumn-1y2i+4i=1\sumny2i-1$

四、定积分的性质

以下均假设所涉及的定积分存在。

性质1（线性性）：

∫ab $αf(x)+βg(x)$ dx=α∫abf(x) dx+β∫abg(x) dx\int_a^b $\\alpha f(x) + \\beta g(x)$ \,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx∫ab $αf(x)+βg(x)$ dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx

性质2（区间可加性）：

∫abf(x) dx=∫acf(x) dx+∫cbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

对 a,b,ca, b, ca,b,c 的任何大小关系均成立。

性质3：

∫ab1⋅dx=∫abdx=b−a\int_a^b 1 \cdot dx = \int_a^b dx = b - a∫ab1⋅dx=∫abdx=b−a

性质4（保号性/保序性）：

若在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上 f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0，则：

∫abf(x) dx≥0(a<b)\int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \qquad (a < b)∫abf(x)dx≥0(a<b)

推论1： 若在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上 f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x)，则：

∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

推论2（绝对值不等式）：

∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx(a<b)\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx \qquad (a < b) ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx(a<b)

证明推论2： 因为 −∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|−∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣，由推论1得

−∫ab∣f(x)∣ dx≤∫abf(x) dx≤∫ab∣f(x)∣ dx-\int_a^b |f(x)|\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx−∫ab∣f(x)∣dx≤∫abf(x)dx≤∫ab∣f(x)∣dx

即 ∣∫abf(x) dx∣≤∫ab∣f(x)∣ dx\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx ∫abf(x)dx ≤∫ab∣f(x)∣dx。□\square□

性质5（估值定理）：

设 MMM 和 mmm 分别是 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上的最大值和最小值，则：

m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)

证明： 因为 m≤f(x)≤Mm \leq f(x) \leq Mm≤f(x)≤M，由推论1得 ∫abm dx≤∫abf(x) dx≤∫abM dx\int_a^b m\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b M\,dx∫abmdx≤∫abf(x)dx≤∫abMdx，即 m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a)m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)。□\square□

性质6（积分中值定理）：

若 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，则至少存在一点 ξ∈ $a,b$ \xi \in $a,b$ ξ∈ $a,b$ ，使得：

∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)}∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)

证明： 因为 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，故存在最大值 MMM 和最小值 mmm。由估值定理：

m≤1b−a∫abf(x) dx≤Mm \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \leq Mm≤b−a1∫abf(x)dx≤M

由介值定理 ，连续函数 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上能取到 mmm 和 MMM 之间的任何值，因此存在 ξ∈ $a,b$ \xi \in $a,b$ ξ∈ $a,b$ 使得 f(ξ)=1b−a∫abf(x) dxf(\xi) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dxf(ξ)=b−a1∫abf(x)dx。□\square□

1b−a∫abf(x) dx\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dxb−a1∫abf(x)dx 称为 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上的积分平均值。

第二节微积分基本公式

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设物体沿直线运动，位置函数为 s(t)s(t)s(t)，速度函数为 v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)v(t)=s′(t)。

从物理意义看，在时间 $T1,T2$ $T_1, T_2$ $T1,T2$ 内的位移为：

s(T2)−s(T1)=∫T1T2v(t) dts(T_2) - s(T_1) = \int_{T_1}^{T_2} v(t)\,dts(T2)−s(T1)=∫T1T2v(t)dt

即：速度的定积分 = 位置函数的增量。这揭示了微分与积分之间的互逆关系。

二、积分上限的函数及其导数

定义： 设 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，对任意 x∈ $a,b$ x \in $a,b$ x∈ $a,b$ ，定义

Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dtΦ(x)=∫axf(t)dt

则 Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 是定义在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上的函数，称为积分上限的函数（或变上限积分函数）。

定理1（积分上限函数的导数）：

若 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，则 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dtΦ(x)=∫axf(t)dt 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上可导，且：

Φ′(x)=ddx∫axf(t) dt=f(x)\boxed{\Phi'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)}Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)

详细证明：

按导数定义：

Φ′(x)=lim⁡Δx→0Φ(x+Δx)−Φ(x)Δx\Phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Phi(x + \Delta x) - \Phi(x)}{\Delta x}Φ′(x)=Δx→0limΔxΦ(x+Δx)−Φ(x)

而

Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫ax+Δxf(t) dt−∫axf(t) dt=∫xx+Δxf(t) dt\Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) = \int_a^{x+\Delta x} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+\Delta x} f(t)\,dtΦ(x+Δx)−Φ(x)=∫ax+Δxf(t)dt−∫axf(t)dt=∫xx+Δxf(t)dt

由积分中值定理 ，存在 ξ\xiξ 介于 xxx 和 x+Δxx+\Delta xx+Δx 之间，使得：

∫xx+Δxf(t) dt=f(ξ)⋅Δx\int_x^{x+\Delta x} f(t)\,dt = f(\xi) \cdot \Delta x∫xx+Δxf(t)dt=f(ξ)⋅Δx

因此：

Φ′(x)=lim⁡Δx→0f(ξ)⋅ΔxΔx=lim⁡Δx→0f(ξ)\Phi'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\xi)\cdot\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi)Φ′(x)=Δx→0limΔxf(ξ)⋅Δx=Δx→0limf(ξ)

当 Δx→0\Delta x \to 0Δx→0 时，x+Δx→xx + \Delta x \to xx+Δx→x，而 ξ\xiξ 介于 xxx 和 x+Δxx + \Delta xx+Δx 之间，故 ξ→x\xi \to xξ→x。

因为 f(x)f(x)f(x) 在 xxx 处连续，所以 lim⁡ξ→xf(ξ)=f(x)\lim_{\xi \to x} f(\xi) = f(x)limξ→xf(ξ)=f(x)。

综上：Φ′(x)=f(x)\Phi'(x) = f(x)Φ′(x)=f(x)。□\square□

此定理的重要意义： 说明连续函数 f(x)f(x)f(x) 一定存在原函数 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dtΦ(x)=∫axf(t)dt，即连续函数必有原函数。

推广公式： 若 u(x)u(x)u(x) 可导，f(x)f(x)f(x) 连续，则：

ddx∫au(x)f(t) dt=f(u(x))⋅u′(x)\boxed{\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x)) \cdot u'(x)}dxd∫au(x)f(t)dt=f(u(x))⋅u′(x)

证明： 令 Φ(u)=∫auf(t) dt\Phi(u) = \int_a^u f(t)\,dtΦ(u)=∫auf(t)dt，则 ∫au(x)f(t) dt=Φ(u(x))\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = \Phi(u(x))∫au(x)f(t)dt=Φ(u(x))，由复合函数求导法则（链式法则）：

ddxΦ(u(x))=Φ′(u(x))⋅u′(x)=f(u(x))⋅u′(x)□\frac{d}{dx}\Phi(u(x)) = \Phi'(u(x)) \cdot u'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x) \quad \squaredxdΦ(u(x))=Φ′(u(x))⋅u′(x)=f(u(x))⋅u′(x)□

更一般的公式（上下限都是函数）：

ddx∫v(x)u(x)f(t) dt=f(u(x))⋅u′(x)−f(v(x))⋅v′(x)\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x) - f(v(x))\cdot v'(x)dxd∫v(x)u(x)f(t)dt=f(u(x))⋅u′(x)−f(v(x))⋅v′(x)

证明： ∫v(x)u(x)f(t) dt=∫au(x)f(t) dt−∫av(x)f(t) dt\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,dt = \int_a^{u(x)} f(t)\,dt - \int_a^{v(x)} f(t)\,dt∫v(x)u(x)f(t)dt=∫au(x)f(t)dt−∫av(x)f(t)dt，两边对 xxx 求导即可。

三、牛顿---莱布尼茨公式（微积分基本定理）

定理2： 若 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续，F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上的任意一个原函数（即 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)），则：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)= $F(x)$ ab\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big $F(x)\\Big$ _a^b}∫abf(x)dx=F(b)−F(a)= $F(x)$ ab

详细证明：

由定理1，Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dtΦ(x)=∫axf(t)dt 是 f(x)f(x)f(x) 的一个原函数。

由已知，F(x)F(x)F(x) 也是 f(x)f(x)f(x) 的原函数。

因此 F(x)F(x)F(x) 和 Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 相差一个常数：

Φ(x)=F(x)+C\Phi(x) = F(x) + CΦ(x)=F(x)+C

令 x=ax = ax=a：Φ(a)=∫aaf(t) dt=0=F(a)+C\Phi(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0 = F(a) + CΦ(a)=∫aaf(t)dt=0=F(a)+C，故 C=−F(a)C = -F(a)C=−F(a)。

令 x=bx = bx=b：Φ(b)=∫abf(t) dt=F(b)+C=F(b)−F(a)\Phi(b) = \int_a^b f(t)\,dt = F(b) + C = F(b) - F(a)Φ(b)=∫abf(t)dt=F(b)+C=F(b)−F(a)。

即：

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)□\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \quad \square∫abf(x)dx=F(b)−F(a)□

意义： 牛顿---莱布尼茨公式将定积分的计算 转化为求原函数在端点处的值之差，是微积分学的核心桥梁。

第三节定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

定理： 设

f(x)f(x)f(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上连续；
x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t) 在 $α,β$ $\\alpha, \\beta$ $α,β$ （或 $β,α$ $\\beta, \\alpha$ $β,α$ ）上具有连续导数；
φ(α)=a\varphi(\alpha) = aφ(α)=a，φ(β)=b\varphi(\beta) = bφ(β)=b；
当 ttt 在 α\alphaα 和 β\betaβ 之间变化时，φ(t)\varphi(t)φ(t) 的值在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上变化。

则有：

∫abf(x) dx=∫αβf(φ(t)) φ′(t) dt\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt}∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))φ′(t)dt

证明：

设 F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 的原函数，则 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)。

另一方面，G(t)=F(φ(t))G(t) = F(\varphi(t))G(t)=F(φ(t))，则 G′(t)=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))⋅φ′(t)G'(t) = F'(\varphi(t))\cdot\varphi'(t) = f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)G′(t)=F′(φ(t))⋅φ′(t)=f(φ(t))⋅φ′(t)，

即 G(t)G(t)G(t) 是 f(φ(t))⋅φ′(t)f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)f(φ(t))⋅φ′(t) 的原函数，故：

∫αβf(φ(t))φ′(t) dt=G(β)−G(α)=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a)\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = F(b) - F(a)∫αβf(φ(t))φ′(t)dt=G(β)−G(α)=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a)

两边相等。□\square□

使用要点：

换元必换限 ：x=φ(t)x = \varphi(t)x=φ(t)，则 x=ax = ax=a 对应 t=αt = \alphat=α，x=bx = bx=b 对应 t=βt = \betat=β。
新变量计算到底 ：换元后对新变量 ttt 积分，不需回代。
φ(t)\varphi(t)φ(t) 在 $α,β$ $\\alpha,\\beta$ $α,β$ 上不必单调（与不定积分换元不同）。

典型例题：

例1： 计算 ∫0aa2−x2 dx\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx∫0aa2−x2 dx（a>0a > 0a>0）。

解：令 x=asin⁡tx = a\sin tx=asint，t∈ $0,π2$ t \in $0, \\frac{\\pi}{2}$ t∈ $0,2π$ 。则 dx=acos⁡t dtdx = a\cos t\,dtdx=acostdt。

当 x=0x = 0x=0 时 t=0t = 0t=0；当 x=ax = ax=a 时 t=π2t = \frac{\pi}{2}t=2π。

∫0aa2−x2 dx=∫0π/2a2−a2sin⁡2t⋅acos⁡t dt=∫0π/2a2cos⁡2t dt\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 t}\cdot a\cos t\,dt = \int_0^{\pi/2} a^2\cos^2 t\,dt∫0aa2−x2 dx=∫0π/2a2−a2sin2t ⋅acostdt=∫0π/2a2cos2tdt

=a2∫0π/21+cos⁡2t2 dt=a2⋅12 $t+sin2t2$ 0π/2=a2⋅12⋅π2=πa24= a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = a^2 \cdot \frac{1}{2}\left $t + \\frac{\\sin 2t}{2}\\right$ _0^{\pi/2} = a^2 \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2}{4}=a2∫0π/221+cos2tdt=a2⋅21 $t+2sin2t$ 0π/2=a2⋅21⋅2π=4πa2

（几何验证： 这是半径为 aaa 的圆在第一象限的面积，14πa2\frac{1}{4}\pi a^241πa2，一致。）

例2： 计算 ∫0π/2cos⁡5xsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^5 x \sin x\,dx∫0π/2cos5xsinxdx。

解：令 u=cos⁡xu = \cos xu=cosx，则 du=−sin⁡x dxdu = -\sin x\,dxdu=−sinxdx。

当 x=0x = 0x=0 时 u=1u = 1u=1；当 x=π2x = \frac{\pi}{2}x=2π 时 u=0u = 0u=0。

∫0π/2cos⁡5xsin⁡x dx=∫10u5(−du)=∫01u5 du= $u66$ 01=16\int_0^{\pi/2} \cos^5 x \sin x\,dx = \int_1^0 u^5(-du) = \int_0^1 u^5\,du = \left $\\frac{u\^6}{6}\\right$ _0^1 = \frac{1}{6}∫0π/2cos5xsinxdx=∫10u5(−du)=∫01u5du= $6u6$ 01=61

二、定积分的分部积分法

定理： 若 u(x)u(x)u(x) 和 v(x)v(x)v(x) 在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上具有连续导数，则：

∫abu dv= $uv$ ab−∫abv du\boxed{\int_a^b u\,dv = \Big $uv\\Big$ _a^b - \int_a^b v\,du}∫abudv= $uv$ ab−∫abvdu

即：

∫abu(x)v′(x) dx= $u(x)v(x)$ ab−∫abv(x)u′(x) dx\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \Big $u(x)v(x)\\Big$ _a^b - \int_a^b v(x)u'(x)\,dx∫abu(x)v′(x)dx= $u(x)v(x)$ ab−∫abv(x)u′(x)dx

证明： 由 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v+uv′，两边在 $a,b$ $a,b$ $a,b$ 上积分：

∫ab(uv)′ dx=∫abu′v dx+∫abuv′ dx\int_a^b (uv)'\,dx = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx∫ab(uv)′dx=∫abu′vdx+∫abuv′dx

左边 = $uv$ ab= $uv$ _a^b= $uv$ ab，移项即得。□\square□

典型例题：

例3： 计算 ∫01xex dx\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx∫01xexdx。

解：令 u=xu = xu=x，dv=ex dxdv = e^x\,dxdv=exdx，则 du=dxdu = dxdu=dx，v=exv = e^xv=ex。

∫01xex dx= $xex$ 01−∫01ex dx=(e−0)− $ex$ 01=e−(e−1)=1\int_0^1 x e^x\,dx = \Big $xe\^x\\Big$ _0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = (e - 0) - \Big $e\^x\\Big$ _0^1 = e - (e - 1) = 1∫01xexdx= $xex$ 01−∫01exdx=(e−0)− $ex$ 01=e−(e−1)=1

例4： 计算 ∫0πxsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi} x\sin x\,dx∫0πxsinxdx。

解：令 u=xu = xu=x，dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dxdv=sinxdx，则 du=dxdu = dxdu=dx，v=−cos⁡xv = -\cos xv=−cosx。

∫0πxsin⁡x dx= $-xcosx$ 0π−∫0π(−cos⁡x) dx=(−πcos⁡π−0)+ $sinx$ 0π\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \Big $-x\\cos x\\Big$ _0^{\pi} - \int_0^{\pi}(-\cos x)\,dx = (-\pi\cos\pi - 0) + \Big $\\sin x\\Big$ _0^{\pi}∫0πxsinxdx= $-xcosx$ 0π−∫0π(−cosx)dx=(−πcosπ−0)+ $sinx$ 0π

=(−π⋅(−1))+(sin⁡π−sin⁡0)=π+0=π= (-\pi\cdot(-1)) + (\sin\pi - \sin 0) = \pi + 0 = \pi=(−π⋅(−1))+(sinπ−sin0)=π+0=π

关于奇偶函数在对称区间上的定积分：

若 f(x)f(x)f(x) 在 $-a,a$ $-a, a$ $-a,a$ 上连续，则：

∫−aaf(x) dx={2∫0af(x) dx,若 f(−x)=f(x)（偶函数）0,若 f(−x)=−f(x)（奇函数）\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \begin{cases} 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx, & \text{若 } f(-x) = f(x) \text{（偶函数）} \\ 0, & \text{若 } f(-x) = -f(x) \text{（奇函数）} \end{cases}∫−aaf(x)dx=⎩ ⎨ ⎧2∫0af(x)dx,0,若 f(−x)=f(x)（偶函数）若 f(−x)=−f(x)（奇函数）

证明（偶函数情形）：

∫−aaf(x) dx=∫−a0f(x) dx+∫0af(x) dx\int_{-a}^a f(x)\,dx = \int_{-a}^0 f(x)\,dx + \int_0^a f(x)\,dx∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx

对第一个积分令 x=−tx = -tx=−t：

∫−a0f(x) dx=∫a0f(−t)(−dt)=∫0af(−t) dt=∫0af(t) dt\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_a^0 f(-t)(-dt) = \int_0^a f(-t)\,dt = \int_0^a f(t)\,dt∫−a0f(x)dx=∫a0f(−t)(−dt)=∫0af(−t)dt=∫0af(t)dt

故 ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx。奇函数类似可证为 000。□\square□

关于周期函数的定积分：

若 f(x)f(x)f(x) 以 TTT 为周期，则对任意 aaa：

∫aa+Tf(x) dx=∫0Tf(x) dx\int_a^{a+T} f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx

华里士（Wallis）公式：

∫0π/2sin⁡nx dx=∫0π/2cos⁡nx dx={(n−1)!!n!!⋅π2,n 为偶数(n−1)!!n!!,n 为奇数\boxed{\int_0^{\pi/2} \sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x\,dx = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ $8pt$ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text{ 为奇数} \end{cases}}∫0π/2sinnxdx=∫0π/2cosnxdx=⎩ ⎨ ⎧n!!(n−1)!!⋅2π,n!!(n−1)!!,n 为偶数n 为奇数

其中 n!!=n(n−2)(n−4)⋯n!! = n(n-2)(n-4)\cdotsn!!=n(n−2)(n−4)⋯（双阶乘），0!!=10!! = 10!!=1，(−1)!!=1(-1)!! = 1(−1)!!=1。

推导（以 In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dxIn=∫0π/2sinnxdx 为例）：

建立递推关系：

In=∫0π/2sin⁡nx dx=∫0π/2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dxI_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x \cdot \sin x\,dxIn=∫0π/2sinnxdx=∫0π/2sinn−1x⋅sinxdx

令 u=sin⁡n−1xu = \sin^{n-1}xu=sinn−1x，dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dxdv=sinxdx，则 du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dxdu = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dxdu=(n−1)sinn−2xcosxdx，v=−cos⁡xv = -\cos xv=−cosx：

In= $-sinn-1xcosx$ 0π/2+(n−1)∫0π/2sin⁡n−2xcos⁡2x dxI_n = \Big $-\\sin\^{n-1}x\\cos x\\Big$ _0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dxIn= $-sinn-1xcosx$ 0π/2+(n−1)∫0π/2sinn−2xcos2xdx

第一项在 x=0x=0x=0 和 x=π/2x=\pi/2x=π/2 处均为 000（因为 cos⁡(π/2)=0\cos(\pi/2)=0cos(π/2)=0，sin⁡0=0\sin 0=0sin0=0）。

将 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 xcos2x=1−sin2x：

In=(n−1)∫0π/2sin⁡n−2x(1−sin⁡2x) dx=(n−1)In−2−(n−1)InI_n = (n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2 x)\,dx = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_nIn=(n−1)∫0π/2sinn−2x(1−sin2x)dx=(n−1)In−2−(n−1)In

nIn=(n−1)In−2nI_n = (n-1)I_{n-2}nIn=(n−1)In−2

In=n−1nIn−2\boxed{I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}}In=nn−1In−2

初始值：I0=∫0π/2dx=π2I_0 = \int_0^{\pi/2}dx = \frac{\pi}{2}I0=∫0π/2dx=2π，I1=∫0π/2sin⁡x dx=1I_1 = \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = 1I1=∫0π/2sinxdx=1。

反复使用递推：

nnn 为偶数：In=n−1n⋅n−3n−2⋯12⋅I0=(n−1)!!n!!⋅π2I_n = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{1}{2}\cdot I_0 = \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}In=nn−1⋅n−2n−3⋯21⋅I0=n!!(n−1)!!⋅2π

nnn 为奇数：In=n−1n⋅n−3n−2⋯23⋅I1=(n−1)!!n!!I_n = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}\cdot I_1 = \frac{(n-1)!!}{n!!}In=nn−1⋅n−2n−3⋯32⋅I1=n!!(n−1)!!