线性代数基础知识点

第一章行列式

1.1 二阶、三阶行列式引入

二元线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 \begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{cases} {a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

二阶行列式定义

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} a11a21a12a22 =a11a22−a12a21

三阶行列式展开

∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31

1.2 转置行列式

设 n n n 阶行列式

D = ∣ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} D= a11a21⋮an1a12a22⋮an2.........a1na2n⋮ann

将行换同序号列，得到转置行列式 D T D^T DT：

D T = ∣ a 11 a 21 ... a n 1 a 12 a 22 ... a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ... a n n ∣ D^T= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} DT= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n.........an1an2⋮ann

1.3 行列式五大性质

性质1

行列式与转置行列式相等： D = D T D=D^T D=DT。

推论：行列式行、列地位对等，行成立的性质对列同样适用。

性质2

互换两行（列），行列式变号。

推论：两行（列）完全相同 ⟹ D = 0 \implies D=0 ⟹D=0。

推导：交换两行得 D = − D D=-D D=−D，故 2 D = 0 2D=0 2D=0。

性质3

某一行（列）全部元素乘 k k k，等价行列式乘 k k k。

推论1：行/列公因子可提出行列式外侧；

推论2：两行（列）元素成比例 ⟹ D = 0 \implies D=0 ⟹D=0。

性质4

若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和，则行列式等于下列两个行列式之和：

∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + b i 1 a i 2 + b i 2 ... a i n ‾ + b i n ‾ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ‾ ∣ = ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ‾ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ‾ ∣ + ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b i 1 b i 2 ... b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ‾ ∣ \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {i 1} + b _ {i 1} & a _ {i 2} + b _ {i 2} & \dots & a _ {\underline {{i n}}} + b _ {\underline {{i n}}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {\underline {{n n}}} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {i 1} & a _ {i 2} & \dots & a _ {\underline {{i n}}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {\underline {{n n}}} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b _ {i 1} & b _ {i 2} & \dots & b _ {i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {\underline {{n n}}} \end{array} \right| a11⋮ai1+bi1⋮an1a12⋮ai2+bi2⋮an2.........a1n⋮ain+bin⋮ann = a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann + a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2.........a1n⋮bin⋮ann

性质5

若把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式不变. 即

∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ... a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 ... a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + k a j 1 a i 2 + k a j 2 ... a i n + k a j n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ... a n n ∣ . \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {i 1} & a _ {i 2} & \dots & a _ {i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {i 1} + k a _ {j 1} & a _ {i 2} + k a _ {j 2} & \dots & a _ {i n} + k a _ {j n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right|. a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2.........a1n⋮ain⋮ann = a11⋮ai1+kaj1⋮an1a12⋮ai2+kaj2⋮an2.........a1n⋮ain+kajn⋮ann .

1.4 余子式与代数余子式

n n n 阶行列式 D = det ⁡ ( a i j ) D=\det(a_{ij}) D=det(aij)，划去 a i j a_{ij} aij 所在第 i i i 行、第 j j j 列，剩余 n − 1 n-1 n−1 阶行列式为余子式 M i j M_{ij} Mij；

代数余子式： A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} Aij=(−1)i+jMij。

例：5阶行列式 a 23 a_{23} a23

M 23 = ∣ a 11 a 12 a 14 a 15 a 31 a 32 a 34 a 35 a 41 a 42 a 44 a 45 a 51 a 52 a 54 a 55 ∣ , A 23 = ( − 1 ) 2 + 3 M 23 = − M 23 M_{23}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{54} & a_{55} \end{vmatrix},\quad A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-M_{23} M23= a11a31a41a51a12a32a42a52a14a34a44a54a15a35a45a55 ,A23=(−1)2+3M23=−M23

1.5 行列式按行（列）展开法则

核心定理

D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n ( i = 1 , 2 , ... , n ) D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in} \quad(i=1,2,\dots,n) D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin(i=1,2,...,n)

D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j ( j = 1 , 2 , ... , n ) D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj} \quad(j=1,2,\dots,n) D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj(j=1,2,...,n)

推论

一行元素与另一行对应代数余子式乘积和为0（ i ≠ j i\neq j i=j）：

a j 1 A i 1 + a j 2 A i 2 + ⋯ + a j n A i n = 0 a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+\dots+a_{jn}A_{in}=0 aj1Ai1+aj2Ai2+⋯+ajnAin=0

a 1 j A 1 i + a 2 j A 2 i + ⋯ + a n j A n i = 0 a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+\dots+a_{nj}A_{ni}=0 a1jA1i+a2jA2i+⋯+anjAni=0

第二章矩阵及其运算

2.1 矩阵基础定义

m × n m \times n m×n 矩阵： m m m 行 n n n 列数表

A = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ... a m n ) A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2.........a1na2n⋮amn

简记 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij}){m\times n} A=(aij)m×n， a i j a{ij} aij 为第 i i i 行第 j j j 列元素。

2.1.1 特殊矩阵

n阶方阵 ：行列数相等

( a 11 ... a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ... a n n ) \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} a11⋮an1......a1n⋮ann
行矩阵 ： 1 × n 1\times n 1×n， a T = ( a 1 , a 2 , ... , a n ) \boldsymbol{a}^T=(a_1,a_2,\dots,a_n) aT=(a1,a2,...,an)
列矩阵 ： n × 1 n\times 1 n×1， a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} a= a1a2⋮an
零矩阵 O O O：全部元素为0
单位矩阵 E E E

E = ( 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ... 1 ) E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} E= 10⋮001⋮0.........00⋮1
对角矩阵 ， Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ... , λ n ) \Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)

Λ = ( λ 1 0 ... 0 0 λ 2 ... 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ... λ n ) \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} Λ= λ10⋮00λ2⋮0.........00⋮λn

2.1.2 线性方程组矩阵表达

非齐次方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \quad\vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm

系数矩阵： A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n
未知向量： x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) n × 1 \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}_{n\times1} x= x1x2⋮xn n×1
常数向量： b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) m × 1 \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}_{m\times1} b= b1b2⋮bm m×1
增广矩阵： B = ( A , b ) = ( a 11 ... a 1 n b 1 ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 ... a m n b m ) B=(A,\boldsymbol{b})= \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix} B=(A,b)= a11⋮am1......a1n⋮amnb1⋮bm

矩阵标准形式： A x = b A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} Ax=b

2.2 矩阵三大基础运算

2.2.1 矩阵加法（仅同型可加）

A + B = ( a 11 + b 11 ... a 1 n + b 1 n ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 ... a m n + b m n ) A+B= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} A+B= a11+b11⋮am1+bm1......a1n+b1n⋮amn+bmn

2.2.2 数乘矩阵

λ A = ( λ a 11 ... λ a 1 n ⋮ ⋮ λ a m 1 ... λ a m n ) \lambda A= \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \dots & \lambda a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \dots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix} λA= λa11⋮λam1......λa1n⋮λamn

2.2.3 矩阵乘法

A m × s , B s × n A_{m\times s},\ B_{s\times n} Am×s, Bs×n，乘积 C = A B C=AB C=AB， c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j c_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} cij=∑k=1saikbkj

行向量乘列向量（结果为数值）：

( a i 1 , a i 2 , ... , a i s ) ( b 1 j b 2 j ⋮ b s j ) = c i j (a_{i1},a_{i2},\dots,a_{is}) \begin{pmatrix}b_{1j}\\b_{2j}\\\vdots\\b_{sj}\end{pmatrix} =c_{ij} (ai1,ai2,...,ais) b1jb2j⋮bsj =cij

2.3 转置矩阵

A = ( 1 2 0 3 − 1 1 ) , A T = ( 1 3 2 − 1 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1\end{pmatrix},\quad A^T=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} A=(132−101),AT= 1203−11

转置运算律：

( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT
( λ A ) T = λ A T (\lambda A)^T=\lambda A^T (λA)T=λAT
( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^T A^T (AB)T=BTAT

2.4 方阵的行列式

n n n 阶方阵 A A A 的行列式记 ∣ A ∣ = det ⁡ A |A|=\det A ∣A∣=detA

∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣
∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A|=\lambda^n |A| ∣λA∣=λn∣A∣
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣（同阶方阵）

2.5 伴随矩阵 A ∗ A^* A∗

A ∗ = ( A 11 A 21 ... A n 1 A 12 A 22 ... A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ... A n n ) A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix} A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n.........An1An2⋮Ann

核心恒等式： A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^*=A^*A=|A|E AA∗=A∗A=∣A∣E

证明：设 A A ∗ = ( b i j ) AA^*=(b_{ij}) AA∗=(bij)

b i j = a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = { ∣ A ∣ , i = j 0 , i ≠ j b_{ij}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\dots+a_{in}A_{jn}= \begin{cases} |A|, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases} bij=ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn={∣A∣,0,i=ji=j

2.6 逆矩阵

2.6.1 定义

若 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E，则 A A A 可逆，逆 A − 1 A^{-1} A−1 唯一。

2.6.2 判定与公式

A A A 可逆 ⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 \iff |A|\neq0 ⟺∣A∣=0； ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣=0 满秩非奇异， ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0 奇异降秩
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗
推论： A B = E ⟹ B = A − 1 AB=E \implies B=A^{-1} AB=E⟹B=A−1

2.6.3 逆矩阵性质

( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A
λ ≠ 0 , ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 \lambda\neq0,\ (\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1} λ=0, (λA)−1=λ1A−1
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T

2.7 矩阵多项式

φ ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m \varphi(x)=a_0+a_1x+\dots+a_m x^m φ(x)=a0+a1x+⋯+amxm，代入方阵：

φ ( A ) = a 0 E + a 1 A + a 2 A 2 + ⋯ + a m A m \varphi(A)=a_0 E + a_1 A + a_2 A^2 + \dots + a_m A^m φ(A)=a0E+a1A+a2A2+⋯+amAm

同方阵多项式可交换，示例：

( E + A ) ( 2 E − A ) = 2 E + A − A 2 , ( E − A ) 3 = E − 3 A + 3 A 2 − A 3 (E+A)(2E-A)=2E+A-A^2,\quad (E-A)^3=E-3A+3A^2-A^3 (E+A)(2E−A)=2E+A−A2,(E−A)3=E−3A+3A2−A3

2.8 分块矩阵

2.8.1 按行/列分块

A = ( a 1 T a 2 T ⋮ a m T ) , B = ( b 1 , b 2 , ... , b n ) A= \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1^T \\ \boldsymbol{a}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_m^T \end{pmatrix},\quad B=(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\dots,\boldsymbol{b}_n) A= a1Ta2T⋮amT ,B=(b1,b2,...,bn)

2.8.2 分块对角矩阵

A = ( A 1 A 2 ⋱ A s ) A= \begin{pmatrix} A_1 & & & \\ & A_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s \end{pmatrix} A= A1A2⋱As

∣ A ∣ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A s ∣ |A|=|A_1||A_2|\cdots|A_s| ∣A∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣
各 A i A_i Ai 可逆时：
A − 1 = ( A 1 − 1 A 2 − 1 ⋱ A s − 1 ) A^{-1}= \begin{pmatrix} A_1^{-1} & & & \\ & A_2^{-1} & & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s^{-1} \end{pmatrix} A−1= A1−1A2−1⋱As−1

2.8.3 分块三角行列式

D = ∣ D 1 O C D 2 ∣ = ∣ D 1 ∣ ⋅ ∣ D 2 ∣ D= \begin{vmatrix} D_1 & O \\ C & D_2 \end{vmatrix}=|D_1|\cdot|D_2| D= D1COD2 =∣D1∣⋅∣D2∣

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

3.1 三种初等行、列变换

交换： r i ↔ r j , c i ↔ c j r_i \leftrightarrow r_j,\ c_i \leftrightarrow c_j ri↔rj, ci↔cj
数乘： r i × k , c i × k r_i \times k,\ c_i \times k ri×k, ci×k（ k ≠ 0 k\neq0 k=0）
倍加： r i + k r j , c i + k c j r_i + k r_j,\ c_i + k c_j ri+krj, ci+kcj

变换可逆：

r i ↔ r j r_i \leftrightarrow r_j ri↔rj 逆为自身；
r i × k r_i \times k ri×k 逆 r i × 1 k r_i \times \dfrac{1}{k} ri×k1；
r i + k r j r_i + k r_j ri+krj 逆 r i − k r j r_i - k r_j ri−krj。

3.2 矩阵等价关系

行等价： A ∼ r B A \stackrel{r}{\sim} B A∼rB；列等价： A ∼ c B A \stackrel{c}{\sim} B A∼cB；等价： A ∼ B A \sim B A∼B
等价三性质：自反、对称、传递。

3.3 行阶梯、行最简、标准形

行阶梯：零行下放，阶梯首元下方全0；
行最简：首元化为1，首元列其余元素为0；
标准形： F = ( E r O O O ) m × n F= \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m\times n} F=(ErOOO)m×n

变换示例

( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) ∼ r ( 1 1 − 2 1 4 0 1 − 1 1 0 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) ∼ r ( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 2143−11−66−1−22−911−272449 ∼r 10001100−2−100111040−30 ∼r 10000100−1−100001043−30

3.4 初等矩阵

E ( i , j ) E(i,j) E(i,j) 交换矩阵

E 3 ( 1 , 2 ) = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) , E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E_3(1,2)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E(i,j)^{-1}=E(i,j) E3(1,2)= 010100001 ,E(i,j)−1=E(i,j)
E ( i ( k ) ) E(i(k)) E(i(k)) 数乘矩阵

E 3 ( 2 ( 3 ) ) = ( 1 0 0 0 3 0 0 0 1 ) , E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) E_3(2(3))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E(i(k))^{-1}=E(i(\tfrac1k)) E3(2(3))= 100030001 ,E(i(k))−1=E(i(k1))
E ( i j ( k ) ) E(ij(k)) E(ij(k)) 倍加矩阵

E ( 31 ( 2 ) ) = ( 1 0 0 0 1 0 2 0 1 ) , E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) ) E(31(2))= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E(ij(k))^{-1}=E(ij(-k)) E(31(2))= 102010001 ,E(ij(k))−1=E(ij(−k))

乘法规则

左乘初等矩阵 = 行变换；右乘初等矩阵 = 列变换。

3.5 等价充要条件

A , B A,B A,B 为 m × n m\times n m×n 矩阵

A ∼ r B ⟺ ∃ m A \stackrel{r}{\sim} B \iff \exists m A∼rB⟺∃m 阶可逆 P , P A = B P,\ PA=B P, PA=B
A ∼ c B ⟺ ∃ n A \stackrel{c}{\sim} B \iff \exists n A∼cB⟺∃n 阶可逆 Q , A Q = B Q,\ AQ=B Q, AQ=B
A ∼ B ⟺ ∃ P , Q A \sim B \iff \exists P,Q A∼B⟺∃P,Q 可逆， P A Q = B PAQ=B PAQ=B

推论：方阵 A A A 可逆 ⟺ A ∼ r E \iff A \stackrel{r}{\sim} E ⟺A∼rE。

3.6 初等行变换三大应用

3.6.1 求逆矩阵

( A ∣ E ) ∼ r ( E ∣ A − 1 ) (A\mid E) \stackrel{r}{\sim} (E\mid A^{-1}) (A∣E)∼r(E∣A−1)

例：

( A , E ) = ( 0 − 2 1 1 0 0 3 0 − 2 0 1 0 − 2 3 0 0 0 1 ) ∼ r ( 1 0 0 6 3 4 0 1 0 4 2 3 0 0 1 9 4 6 ) (A,E)= \begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{pmatrix} (A,E)= 03−2−2031−20100010001 ∼r 100010001649324436

A − 1 = ( 6 3 4 4 2 3 9 4 6 ) A^{-1}= \begin{pmatrix} 6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{pmatrix} A−1= 649324436

3.6.2 解矩阵方程 A X = B AX=B AX=B

( A ∣ B ) ∼ r ( E ∣ A − 1 B ) (A\mid B) \stackrel{r}{\sim} (E\mid A^{-1}B) (A∣B)∼r(E∣A−1B)

3.6.3 变形方程 A X = A + X AX=A+X AX=A+X

移项得 ( A − E ) X = A (A-E)X=A (A−E)X=A，对 ( A − E , A ) (A-E,\ A) (A−E, A) 做行变换。

3.7 矩阵的秩

3.7.1 k阶子式

任取 k k k 行 k k k 列交叉元素构成 k k k 阶行列式。

3.7.2 秩定义

最高阶非零子式阶数为 R ( A ) R(A) R(A)；零矩阵 R ( O ) = 0 R(O)=0 R(O)=0。

3.7.3 基础结论

0 ≤ R ( A m × n ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \le R(A_{m\times n}) \le \min\{m,n\} 0≤R(Am×n)≤min{m,n}
R ( A T ) = R ( A ) R(A^T)=R(A) R(AT)=R(A)
n n n 阶方阵： ∣ A ∣ ≠ 0 ⟺ R ( A ) = n |A|\neq0 \iff R(A)=n ∣A∣=0⟺R(A)=n（满秩）
A ∼ B ⟹ R ( A ) = R ( B ) A\sim B \implies R(A)=R(B) A∼B⟹R(A)=R(B)
实操：行阶梯非零行数=秩。

3.7.4 秩八大性质

0 ≤ R ( A m × n ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \leq R(A_{m\times n}) \leq \min\{m,n\} 0≤R(Am×n)≤min{m,n}
R ( A T ) = R ( A ) R(A^T)=R(A) R(AT)=R(A)
A ∼ B ⟹ R ( A ) = R ( B ) A\sim B \implies R(A)=R(B) A∼B⟹R(A)=R(B)
P , Q P,Q P,Q 可逆 ⟹ R ( P A Q ) = R ( A ) \implies R(PAQ)=R(A) ⟹R(PAQ)=R(A)
max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) \max\{R(A),R(B)\} \le R(A,B) \le R(A)+R(B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
R ( A + B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(A+B)\le R(A)+R(B) R(A+B)≤R(A)+R(B)
R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(AB)\le \min\{R(A),R(B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)}
A m × n B n × l = O ⟹ R ( A ) + R ( B ) ≤ n A_{m\times n}B_{n\times l}=O \implies R(A)+R(B)\le n Am×nBn×l=O⟹R(A)+R(B)≤n

3.7.5 秩例题

A = ( 1 2 − 1 3 2 λ 5 6 3 ) , R ( A ) = 2 A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & \lambda \\ 5 & 6 & 3\end{pmatrix},\ R(A)=2 A= 135226−1λ3 , R(A)=2

行化简

A ∼ r ( 1 2 − 1 0 − 4 λ + 3 0 0 5 − λ ) A \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -4 & \lambda+3 \\ 0 & 0 & 5-\lambda \end{pmatrix} A∼r 1002−40−1λ+35−λ

R ( A ) = 2 R(A)=2 R(A)=2，故 5 − λ = 0 ⟹ λ = 5 5-\lambda=0 \implies \lambda=5 5−λ=0⟹λ=5。

3.8 线性方程组解判定

方程组 A m × n x = b A_{m\times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} Am×nx=b，增广 A ‾ = ( A , b ) \overline{A}=(A,\boldsymbol{b}) A=(A,b)

无解： R ( A ) < R ( A ‾ ) R(A) < R(\overline{A}) R(A)<R(A)
唯一解： R ( A ) = R ( A ‾ ) = n R(A)=R(\overline{A})=n R(A)=R(A)=n
无穷多解： R ( A ) = R ( A ‾ ) = r < n R(A)=R(\overline{A})=r < n R(A)=R(A)=r<n

齐次 A x = 0 A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Ax=0：

有非零解 ⟺ R ( A ) < n \iff R(A)<n ⟺R(A)<n；仅零解 ⟺ R ( A ) = n \iff R(A)=n ⟺R(A)=n。

3.9 通解通用形式

R ( A ) = R ( A ‾ ) = r R(A)=R(\overline{A})=r R(A)=R(A)=r，自由未知量 n − r n-r n−r

x = c 1 η 1 + c 2 η 2 + ⋯ + c n − r η n − r + γ 0 \boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{\eta}1+c_2\boldsymbol{\eta}2+\dots+c{n-r}\boldsymbol{\eta}{n-r}+\boldsymbol{\gamma}_0 x=c1η1+c2η2+⋯+cn−rηn−r+γ0

η 1 ... η n − r \boldsymbol{\eta}1\dots\boldsymbol{\eta}{n-r} η1...ηn−r：齐次基础解系； γ 0 \boldsymbol{\gamma}_0 γ0：非齐次特解。

第四章向量组的线性相关性

4.1 n维向量

列向量： a = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \boldsymbol{a}= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} a= a1a2⋮an ；行向量： a T = ( a 1 , a 2 , ... , a n ) \boldsymbol{a}^T=(a_1,a_2,\dots,a_n) aT=(a1,a2,...,an)。

4.2 线性组合与线性表示

b = k 1 a 1 + ⋯ + k m a m \boldsymbol{b}=k_1\boldsymbol{a}_1+\dots+k_m\boldsymbol{a}_m b=k1a1+⋯+kmam，称 b \boldsymbol{b} b 可由向量组 A A A 表示。

判定： R ( a 1 , ... , a m ) = R ( a 1 , ... , a m , b ) R(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_m)=R(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}) R(a1,...,am)=R(a1,...,am,b)。

4.3 向量组等价

B B B 全部向量可由 A A A 表示： R ( A ) = R ( A , B ) R(A)=R(A,B) R(A)=R(A,B)
A , B A,B A,B 互相表示： R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(A)=R(B)=R(A,B) R(A)=R(B)=R(A,B)
推论： B B B 可由 A A A 表示 ⟹ R ( B ) ≤ R ( A ) \implies R(B)\le R(A) ⟹R(B)≤R(A)。

4.4 线性相关、无关

存在不全为0的 k 1 , ... , k m k_1,\dots,k_m k1,...,km 使 k 1 a 1 + ⋯ + k m a m = 0 k_1\boldsymbol{a}_1+\dots+k_m\boldsymbol{a}_m=\boldsymbol{0} k1a1+⋯+kmam=0，则相关；仅全零系数成立则无关。

核心结论：

相关组加向量仍相关；无关组减向量仍无关；
m m m 个 n n n 维向量， m > n m>n m>n 必相关；
A A A 无关、 A , b A,\boldsymbol{b} A,b 相关 ⟹ b \implies \boldsymbol{b} ⟹b 唯一表出。

4.5 最大无关组

定义

A 0 ⊂ A A_0\subset A A0⊂A 满足：① A 0 A_0 A0 无关；② A A A 任意 r + 1 r+1 r+1 个向量相关， A 0 A_0 A0 为最大无关组， r r r 为向量组秩。

定理：矩阵秩 = 行向量秩 = 列向量秩。

标准例题

A = ( 2 − 1 − 1 1 2 1 1 − 2 1 4 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 ) A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{pmatrix} A= 2143−11−66−1−22−911−272449

初等行变换

A ∼ r ( 1 0 − 1 0 4 0 1 − 1 0 3 0 0 0 1 − 3 0 0 0 0 0 ) A \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} A∼r 10000100−1−100001043−30

首元1、2、4列， a 1 , a 2 , a 4 \boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_4 a1,a2,a4 为一组最大无关组；

列关系： a 3 = − a 1 − a 2 , a 5 = 4 a 1 + 3 a 2 − 3 a 4 \boldsymbol{a}_3=-\boldsymbol{a}_1-\boldsymbol{a}_2,\ \boldsymbol{a}_5=4\boldsymbol{a}_1+3\boldsymbol{a}_2-3\boldsymbol{a}_4 a3=−a1−a2, a5=4a1+3a2−3a4。

4.6 线性方程组解结构

4.6.1 齐次方程组 A x = 0 A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} Ax=0

解封闭性：解的线性组合仍是解。

基础解系： R ( A ) = r R(A)=r R(A)=r，含 n − r n-r n−r 个线性无关解；

齐次通解： x = c 1 η 1 + ⋯ + c n − r η n − r , c i ∈ R \boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{\eta}1+\dots+c{n-r}\boldsymbol{\eta}_{n-r},\ c_i\in\mathbb{R} x=c1η1+⋯+cn−rηn−r, ci∈R。

4.6.2 齐次求解例题

{ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 5 x 4 − 3 x 5 = 0 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 0 5 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 3 x 4 − x 5 = 0 \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0 \\ 3x_1+2x_2+x_3+5x_4-3x_5=0 \\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=0 \\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3+x4+x5=03x1+2x2+x3+5x4−3x5=0x2+2x3+2x4+6x5=05x1+4x2+3x3+3x4−x5=0

A ∼ r ( 1 0 − 1 − 1 − 5 0 1 2 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} A∼r 10000100−1200−1200−5600

通解：

( x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) = c 1 ( 1 − 2 1 0 0 ) + c 2 ( 1 − 2 0 1 0 ) + c 3 ( 5 − 6 0 0 1 ) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix} =c_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\\0\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\\0\end{pmatrix} +c_3\begin{pmatrix}5\\-6\\0\\0\\1\end{pmatrix} x1x2x3x4x5 =c1 1−2100 +c2 1−2010 +c3 5−6001

4.6.3 非齐次方程组 A x = b A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} Ax=b

性质1：两解之差为导出组解；

性质2：特解+齐次解仍为非齐次解。

通解： x = γ 0 + c 1 η 1 + ⋯ + c n − r η n − r \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\gamma}0 + c_1\boldsymbol{\eta}1+\dots+c{n-r}\boldsymbol{\eta}{n-r} x=γ0+c1η1+⋯+cn−rηn−r。

4.6.4 非齐次求解例题

{ x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0 x 1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1 x 1 − x 2 − 2 x 3 + 3 2 x 4 = − 1 2 \begin{cases} x_1-x_2-x_3+x_4=0 \\ x_1-x_2+x_3-3x_4=1 \\ x_1-x_2-2x_3+\tfrac32 x_4=-\tfrac12 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−x2−x3+x4=0x1−x2+x3−3x4=1x1−x2−2x3+23x4=−21

A ‾ ∼ r ( 1 − 1 0 − 1 1 2 0 0 1 − 2 1 2 0 0 0 0 0 ) \overline{A} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & \tfrac12 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & \tfrac12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} A∼r 100−100010−1−2021210

通解：

( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = k 1 ( 1 1 0 0 ) + k 2 ( 1 0 2 1 ) + ( 1 2 0 1 2 0 ) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} =k_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix} +k_2\begin{pmatrix}1\\0\\2\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\tfrac12\\0\\\tfrac12\\0\end{pmatrix} x1x2x3x4 =k1 1100 +k2 1021 + 210210