树和二叉树
- 一.树
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- 1.基本术语和属性
- 2.性质
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- 性质一：树的结点=所有结点的度+1；
- [性质二：M叉树中第i层上最多有m^ (i-1)个结点](#性质二：M叉树中第i层上最多有m^ (i-1)个结点)
- 性质三：高度为h的M叉树至多有m^h-1/m-1个结点
- 二.二叉树
一.树
1.基本术语和属性
（一）.度
度：指的是一个节点的孩子被称为度，其中节点最大的度被称为树的度。如图：其中A有3个孩子，并且在这棵树中只有A的度最大，那么3就是这个树的度。
（二）.叶子节点
叶子节点：指没有孩子的节点(度为0的节点)被称为叶子节点。如图：K,L,G,M,I都是度为0的节点，那么这几个节点被称为叶子节点。
（三）.分支节点
分支节点：除了叶子节点的那几个，其余的都是分支节点。(度不为0的节点）
（四）.树的高度
树的高度：根节点到叶子节点最多的节点被称为树的高度，如：A->M,A->L,A->K,的节点个数都是四，所以树的高度是四。
（五）.有序树/无序树
有序树/无序树：从左到右有次序的就叫有序树，否则是无序树。
（六）.路径
路径：两个节点经过的节点被称为路径。如：A->L就是路径，长度为4。
2.性质
性质一：树的结点=所有结点的度+1；
拿上图举例：这是一棵度为3的树，那么它是由N0+N1+N2+N3组成，N0表示度为0的节点，N1表示度为1的节点等等，N3表示度为3的节点相加组成了这一棵树。其中N0有6个，N1有2个,N2有3个,N3有1个
所以2 * 1+2 * 3+3 * 1+1=12；
性质二：M叉树中第i层上最多有m^ (i-1)个结点
列如：一棵3叉树在每个度都为3的前提下，那么第3层最多有3^(3-1)=9个结点。
性质三：高度为h的M叉树至多有m^h-1/m-1个结点
列如：一棵3叉树在每个度都为3的前提下，此时这个高度为3的树的所有结点最多 为3^3-1/3-1=13个结点。
如图：这是一个度为4的树，那么就由N0+N1+N2+N3+N4组成，
题目要求我们求叶结点的个数，那就是度为0的个数，我们可以先把总的个数给求出来，用上述公式：总=( 204+10 3+12+101 ) +1=123个，又因为说有20个度为4的结点，就减去20，10个度为3的结点，减去10，...最后剩下的就是叶子结点的个数 123-20-10-1-10=82，所以选B.
二.二叉树
1.二叉树的定义
什么是二叉树，就是树的度为2，并且树分根，左子树和右子树且它门次序不能颠倒。
2.特殊的二叉树
1.满二叉树
满二叉树就是一个从根到叶子结点之间，每个结点的度都是2，拿上述的性质三来验证，m^h-1/m-1= 2^3-1/2-1=7,达到最大的结点就是满二叉树。
2.完全二叉树
1.这个树的最后一层可以不用达到最大的个数，但必须遵守从左到右的连续顺序
2.满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
3.完全二叉树的结点个数在【2^(h-1), 2^h-1】,为什么高度会是这样呢前者是为求前h-1的个数，后者是把第h层的最大个数给求出。那么完全二叉树一定在这两个区间之间
4.完全二叉树的叶子出现在最后两层，且度为1的最大只有一个，剩下的都是度为0或者度为2，由上图可得。
性质
1.性质一：二叉树第i层的个数为2^(i-1)
2.性质二：高度为h的二叉树最多有2^h-1个
3.性质三：对于任何一个二叉树如果度0有N0个，度2有N2个则N0=N2+1
M=N0+N1+N2=N1+2N2+1 可以推出：N0=N2+1;
例题一
由于是一棵完全二叉树，第六层的个数为2^(6-1),其中有8个是叶子结点，那么其余的24个不是叶子结点，就表示都有度，那么求的是最多，就把另外的24个都想成度为2的时候，那么此时结点个数最多
2^6-1求出前6层的个数，再加上48即可为111个 答案：C。
例题二
总个数=N0+N1+N2=768,由性质三可得2N0+N1-1=768，又因为完全二叉树中，N1的个数最多为1个，那么N1可能为0或者1，当为0的时候，N0无法得到整数，所以只能为N1，最后N0为384个 答案：C.