适用：考研408数据结构
章节：第5章 树与二叉树
重点题型：
已知两种遍历，求第三种遍历
判断一棵二叉树能否唯一确定
已知前序和后序，判断中序可能/不可能
判断"前序与后序互逆"时二叉树的结构性质
一、先把三种遍历顺序记死
前序：根 -> 左 -> 右
中序：左 -> 根 -> 右
后序：左 -> 右 -> 根最重要的两个定位：
前序第一个结点 = 根
后序最后一个结点 = 根而中序的作用是：
用根结点把序列切成左子树和右子树所以这类题最核心的一句话是：
前序/后序负责找根，中序负责切左右。二、哪两种遍历能唯一确定二叉树
这是408非常常见的概念题。
| 已知遍历 | 是否一般能唯一确定二叉树 |
|---|---|
| 前序 + 中序 | 能 |
| 后序 + 中序 | 能 |
| 前序 + 后序 | 一般不能 |
原因很简单。
如果有中序，一旦知道根，就能立刻知道：
根左边 = 左子树
根右边 = 右子树但只有前序和后序时，如果某个结点只有一个孩子，就无法判断这个孩子究竟是：
左孩子
还是
右孩子所以：
有中序，基本能还原；
没中序，一般不唯一。三、题型1：已知前序 + 中序，求后序
例如：
中序：ABCD
前序：CABD要求后序。
解题过程
前序第一个结点一定是根，所以根为：
C在中序序列中找到 C：
AB | C | D因此：
左子树：AB
右子树：D左子树有2个结点，所以从前序去掉根 C 后：
左子树前序：AB
右子树前序：D继续看左子树：
前序：AB
中序：AB前序第一个 A 是根。
在中序中：
A | B说明 A 没有左孩子，B 是 A 的右孩子。
整棵树为：
C
/ \
A D
\
B按照后序：
左 -> 右 -> 根左子树后序：
BA右子树：
D最后访问根 C：
BADC所以：
后序 = BADC四、已知前序 + 中序的固定模板
以后不需要重新想，直接按这个流程：
1. 前序第一个元素找根
2. 在中序中找到根
3. 中序按根切成：
左子树 | 根 | 右子树
4. 根据左右子树结点数量
去切前序序列
5. 对左右子树重复上述过程
6. 最后按题目要求写出后序五、题型2：已知后序 + 中序，求前序
方法完全类似，只改一个地方：
后序最后一个元素 = 根然后仍然使用中序：
左子树 | 根 | 右子树去切分。
所以记忆：
前序找第一个根
后序找最后一个根
中序负责切左右六、题型3：前序 + 后序，判断中序是否可能
例如：
前序：ABCD
后序：DCBA这时候不能直接说"可以唯一还原"。
因为：
前序 + 后序 一般不能唯一确定二叉树但我们可以根据它们判断树的大致结构。
前序：
A B C D后序：
D C B A二者正好互为逆序，这说明整棵树实际上退化成了一条链：
A
|
B
|
C
|
D但是每一条边到底向左还是向右并不唯一。
例如：
A
\
B
\
C
\
D可以。
下面这样也可以：
A
/
B
/
C
/
D甚至左右可以混合。
所以：
前序 + 后序确定的是"结点先后关系"，
但不一定确定每个单孩子结点的左右方向。七、怎么判断中序序列可能/不可能
继续以上例：
前序：ABCD
后序：DCBA可能出现的中序并不是任意排列。
对于这棵单链树，每一个结点只有一个孩子。
如果孩子是左孩子：
中序 = 子树 + 根如果孩子是右孩子：
中序 = 根 + 子树所以可以递归地产生合法中序。
例如可能出现：
ABCD
BCDA
DCBA
CDBA但：
CBDA无法通过这种"单链左右选择"产生，因此不可能。
这类题的技巧是：
前序+后序若互逆
-> 先判断为单链结构
-> 再逐项验证中序是否能由"左挂/右挂"得到八、题型4：前序和后序正好相反，树满足什么条件
这是性质判断题。
若：
前序：A B C D
后序：D C B A则说明每个结点至多只有一个孩子。
因为只要某个结点同时拥有左、右两个孩子，前序和后序中左右子树的整体顺序关系就不可能完全互逆。
所以这种树会退化成一条链。
如果共有 n 个结点：
树高 = n因此遇到题目：
若二叉树前序遍历和后序遍历正好相反，
则该树满足什么条件？优先想到：
退化成单链
-> 高度 = 结点数注意：
不能说"所有结点都没有左孩子"
也不能说"所有结点都没有右孩子"因为链既可以向左，也可以向右，还可能左右混合。
九、为什么"前序 + 后序"一般不能唯一确定
看最简单的例子：
前序：AB
后序：BA可能是：
A
/
B也可能是：
A
\
B两棵树：
前序都为 AB
后序都为 BA所以不能唯一确定。
真正缺少的信息就是：
B 是左孩子还是右孩子？这也是所有"前序+后序不唯一"问题的本质。
十、考试中最常见的三类题
1. 已知前序 + 中序，求后序
固定：
前序找根
中序切分
递归2. 已知后序 + 中序，求前序
固定：
后序最后找根
中序切分
递归3. 已知前序 + 后序，判断可能性
第一反应：
一般不能唯一确定然后再看题目是否有特殊条件。
例如：
前序和后序互逆马上联想到：
单链树
高度 = 结点数十一、选择题秒杀技巧
技巧1：有中序，先切
不要先画整棵树。
先写：
左子树 | 根 | 右子树很多题直接就出来了。
技巧2：前序看头，后序看尾
前序第一个 = 根
后序最后一个 = 根这是最稳定的定位方法。
技巧3：前序 + 后序先判断"不唯一"
除非题目额外给条件，否则：
前序 + 后序不要直接唯一还原。
技巧4：前后互逆，先想"链"
看到：
前序：ABCD...
后序：...DCBA先想到：
每个结点最多一个孩子也就是：
树退化成链十二、常见错误
错误1：把中序的第一个结点当根
错误。
中序不能直接确定根。
只有先知道根是谁，才能利用中序切左右。
错误2：看到前序+后序就开始唯一画树
错误。
前序+后序一般不唯一错误3：前后互逆就认为只能全左或全右
错误。
左右方向可以混合。
真正确定的是：
每个结点至多只有一个孩子错误4：切序列时只看字符，不看子树结点数量
例如中序切出：
左子树有3个结点那么去切前序/后序时也必须严格取3个结点。
十三、考场统一流程
遇到遍历序列题，先问三个问题：
1. 根是谁？
2. 能不能利用中序切左右？
3. 这两种遍历能不能唯一确定？然后分类：
前序+中序
-> 前序找根，中序切分
后序+中序
-> 后序找根，中序切分
前序+后序
-> 一般不唯一
-> 再根据题目额外条件判断十四、10秒速记
前序：根左右
中序：左根右
后序：左右根
前序第一个是根
后序最后一个是根
前+中：唯一
后+中：唯一
前+后：一般不唯一
前后互逆：
树退化成链
高度 = 结点数十五、最后只背三句话
先找根；
有中序就切分；
没中序一般不唯一。这三句话基本覆盖408中绝大多数二叉树遍历序列选择题。