七、用初等行变换求解线性方程组的步骤
第一步 ：写出增广矩阵 Aˉ=(A∣b)\bar{A} = (A \mid \boldsymbol{b})Aˉ=(A∣b)
第二步 ：对 Aˉ\bar{A}Aˉ 做初等行变换化为行阶梯形
第三步 ：判断 r(A)r(A)r(A) 和 r(Aˉ)r(\bar{A})r(Aˉ)
- 若 r(A)≠r(Aˉ)r(A) \neq r(\bar{A})r(A)=r(Aˉ)，方程组无解
- 若 r(A)=r(Aˉ)=nr(A) = r(\bar{A}) = nr(A)=r(Aˉ)=n，有唯一解（继续化为行最简形读出解）
- 若 r(A)=r(Aˉ)<nr(A) = r(\bar{A}) < nr(A)=r(Aˉ)<n，有无穷多解（继续下一步）
第四步：化为行最简形，识别主变量和自由变量
第五步：
- 写出一个特解 η∗\boldsymbol{\eta}^*η∗（令自由变量全为 000）
- 写出齐次方程组的基础解系（分别令一个自由变量为 111，其余为 000）
- 写出通解
典型例题
例1（化行最简形）
将矩阵 A=(12−142411136−312)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 11 \\ 3 & 6 & -3 & 12 \end{pmatrix}A= 123246−11−341112 化为行最简形。
解：
A→r2−2r1, r3−3r1(12−1400330000)A \xrightarrow{r_2 - 2r_1,\ r_3 - 3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}Ar2−2r1, r3−3r1 100200−130430
→13r2(12−1400110000)\xrightarrow{\frac{1}{3}r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}31r2 100200−110410
→r1+r2(120500110000)\xrightarrow{r_1 + r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}r1+r2 100200010510
行最简形为 (120500110000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 100200010510 ，r(A)=2r(A) = 2r(A)=2。
例2（求矩阵的秩）
求矩阵 A=(123246135)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}A= 121243365 的秩。
解：
A→r2−2r1, r3−r1(123000012)→r2↔r3(123012000)A \xrightarrow{r_2 - 2r_1,\ r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}Ar2−2r1, r3−r1 100201302 r2↔r3 100210320
行阶梯形有 222 个非零行，故 r(A)=2r(A) = 2r(A)=2。
例3（齐次方程组求基础解系与通解）
求齐次方程组 {x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4=0x1−x2−4x3−3x4=0\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0 \\ x_1 - x_2 - 4x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4=0x1−x2−4x3−3x4=0 的基础解系和通解。
解：
A=(122121−2−21−1−4−3)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -4 & -3 \end{pmatrix}A= 12121−12−2−41−2−3
→r2−2r1, r3−r1(12210−3−6−40−3−6−4)\xrightarrow{r_2 - 2r_1,\ r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \end{pmatrix}r2−2r1, r3−r1 1002−3−32−6−61−4−4
→r3−r2(12210−3−6−40000)\xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}r3−r2 1002−302−601−40
→−13r2(1221012430000)\xrightarrow{-\frac{1}{3}r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}−31r2 1002102201340
→r1−2r2(10−2−53012430000)\xrightarrow{r_1 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -\frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}r1−2r2 100010−220−35340
r(A)=2r(A) = 2r(A)=2，n=4n = 4n=4，自由变量有 n−r=2n - r = 2n−r=2 个：x3,x4x_3, x_4x3,x4。
方程化为：
{x1=2x3+53x4x2=−2x3−43x4\begin{cases} x_1 = 2x_3 + \dfrac{5}{3}x_4 \\6pt x_2 = -2x_3 - \dfrac{4}{3}x_4 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1=2x3+35x4x2=−2x3−34x4
求基础解系：
令 (x3,x4)=(1,0)(x_3, x_4) = (1, 0)(x3,x4)=(1,0)：ξ1=(2,−2,1,0)T\boldsymbol{\xi}_1 = (2, -2, 1, 0)^Tξ1=(2,−2,1,0)T
令 (x3,x4)=(0,1)(x_3, x_4) = (0, 1)(x3,x4)=(0,1)：ξ2=(53,−43,0,1)T\boldsymbol{\xi}_2 = \left(\dfrac{5}{3}, -\dfrac{4}{3}, 0, 1\right)^Tξ2=(35,−34,0,1)T
为简化，可取 ξ2′=(5,−4,0,3)T\boldsymbol{\xi}_2' = (5, -4, 0, 3)^Tξ2′=(5,−4,0,3)T（乘以 333）。
基础解系 ：ξ1=(2,−2,1,0)T\boldsymbol{\xi}_1 = (2, -2, 1, 0)^Tξ1=(2,−2,1,0)T，ξ2=(5,−4,0,3)T\boldsymbol{\xi}_2 = (5, -4, 0, 3)^Tξ2=(5,−4,0,3)T
通解：
x=k1(2−210)+k2(5−403)(k1,k2为任意常数)\boldsymbol{x} = k_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \text{为任意常数})x=k1 2−210 +k2 5−403 (k1,k2为任意常数)
例4（非齐次方程组求通解）
求线性方程组 {x1+x2−3x3−x4=13x1−x2−3x3+4x4=4x1+5x2−9x3−8x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 1 \\ 3x_1 - x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 4 \\ x_1 + 5x_2 - 9x_3 - 8x_4 = 0 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1+x2−3x3−x4=13x1−x2−3x3+4x4=4x1+5x2−9x3−8x4=0 的通解。
解：
增广矩阵：
Aˉ=(11−3−113−1−34415−9−80)\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -3 & 4 & 4 \\ 1 & 5 & -9 & -8 & 0 \end{pmatrix}Aˉ= 1311−15−3−3−9−14−8140
→r2−3r1, r3−r1(11−3−110−467104−6−7−1)\xrightarrow{r_2 - 3r_1,\ r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 6 & 7 & 1 \\ 0 & 4 & -6 & -7 & -1 \end{pmatrix}r2−3r1, r3−r1 1001−44−36−6−17−711−1
→r3+r2(11−3−110−467100000)\xrightarrow{r_3 + r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 6 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}r3+r2 1001−40−360−170110
→−14r2(11−3−1101−32−74−1400000)\xrightarrow{-\frac{1}{4}r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}−41r2 100110−3−230−1−4701−410
→r1−r2(10−32345401−32−74−1400000)\xrightarrow{r_1 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{7}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}r1−r2 100010−23−23043−47045−410
r(A)=r(Aˉ)=2<n=4r(A) = r(\bar{A}) = 2 < n = 4r(A)=r(Aˉ)=2<n=4，有无穷多解。
自由变量：x3,x4x_3, x_4x3,x4。
{x1=32x3−34x4+54x2=32x3+74x4−14\begin{cases} x_1 = \dfrac{3}{2}x_3 - \dfrac{3}{4}x_4 + \dfrac{5}{4} \\8pt x_2 = \dfrac{3}{2}x_3 + \dfrac{7}{4}x_4 - \dfrac{1}{4} \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1=23x3−43x4+45x2=23x3+47x4−41
特解 ：令 x3=0,x4=0x_3 = 0, x_4 = 0x3=0,x4=0：
η∗=(54, −14, 0, 0)T\boldsymbol{\eta}^* = \left(\frac{5}{4},\ -\frac{1}{4},\ 0,\ 0\right)^Tη∗=(45, −41, 0, 0)T
基础解系 （对 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0）：
令 x3=1,x4=0x_3 = 1, x_4 = 0x3=1,x4=0：ξ1=(32, 32, 1, 0)T\boldsymbol{\xi}_1 = \left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}{2},\ 1,\ 0\right)^Tξ1=(23, 23, 1, 0)T
令 x3=0,x4=1x_3 = 0, x_4 = 1x3=0,x4=1：ξ2=(−34, 74, 0, 1)T\boldsymbol{\xi}_2 = \left(-\dfrac{3}{4},\ \dfrac{7}{4},\ 0,\ 1\right)^Tξ2=(−43, 47, 0, 1)T
取整数倍简化：ξ1=(3,3,2,0)T\boldsymbol{\xi}_1 = (3, 3, 2, 0)^Tξ1=(3,3,2,0)T，ξ2=(−3,7,0,4)T\boldsymbol{\xi}_2 = (-3, 7, 0, 4)^Tξ2=(−3,7,0,4)T
通解：
x=(54−1400)+k1(3320)+k2(−3704)(k1,k2为任意常数)\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \text{为任意常数})x= 45−4100 +k1 3320 +k2 −3704 (k1,k2为任意常数)
例5（含参数的线性方程组讨论）
讨论 aaa 取何值时，方程组 {ax1+x2+x3=1x1+ax2+x3=ax1+x2+ax3=a2\begin{cases} ax_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + ax_2 + x_3 = a \\ x_1 + x_2 + ax_3 = a^2 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧ax1+x2+x3=1x1+ax2+x3=ax1+x2+ax3=a2 有唯一解、无解、无穷多解，并求解。
解：
系数矩阵的行列式：
∣A∣=∣a111a111a∣|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}∣A∣= a111a111a
三列之和为 (a+2,a+2,a+2)T(a+2, a+2, a+2)^T(a+2,a+2,a+2)T，将三列都加到第一列：
∣A∣=∣a+211a+2a1a+21a∣=(a+2)∣1111a111a∣|A| = \begin{vmatrix} a+2 & 1 & 1 \\ a+2 & a & 1 \\ a+2 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}∣A∣= a+2a+2a+21a111a =(a+2) 1111a111a
=(a+2)∣1110a−1000a−1∣=(a+2)(a−1)2= (a+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix} = (a+2)(a-1)^2=(a+2) 1001a−1010a−1 =(a+2)(a−1)2
情况一 ：a≠1a \neq 1a=1 且 a≠−2a \neq -2a=−2 时，∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，r(A)=3=nr(A) = 3 = nr(A)=3=n，方程组有唯一解。
用 Cramer 法则或初等行变换求解。利用对称性，增广矩阵：
Aˉ=(a1111a1a11aa2)\bar{A} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix}Aˉ= a111a111a1aa2
→r1↔r2(1a1aa11111aa2)\xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix}r1↔r2 1a1a1111aa1a2
→r2−ar1, r3−r1(1a1a01−a21−a1−a201−aa−1a2−a)\xrightarrow{r_2 - ar_1,\ r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & 1-a^2 & 1-a & 1-a^2 \\ 0 & 1-a & a-1 & a^2-a \end{pmatrix}r2−ar1, r3−r1 100a1−a21−a11−aa−1a1−a2a2−a
当 a≠1a \neq 1a=1 时：
→提取公因子(1a1a0−(a+1)(a−1)−(a−1)−(a−1)(a+1)0(1−a)(a−1)a(a−1))\xrightarrow{\text{提取公因子}} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & -(a+1)(a-1) & -(a-1) & -(a-1)(a+1) \\ 0 & (1-a) & (a-1) & a(a-1) \end{pmatrix}提取公因子 100a−(a+1)(a−1)(1−a)1−(a−1)(a−1)a−(a−1)(a+1)a(a−1)
用 r2÷(1−a)r_2 \div (1-a)r2÷(1−a)，r3÷(1−a)r_3 \div (1-a)r3÷(1−a)（注意 a≠1a \neq 1a=1）：
(1a1a0a+11a+10−11−a)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & a+1 & 1 & a+1 \\ 0 & -1 & 1 & -a \end{pmatrix} 100aa+1−1111aa+1−a
→r2+(a+1)r3(1a1a00a+2(a+1)(1−a)+(a+1)0−11−a)\xrightarrow{r_2 + (a+1)r_3} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & 0 & a+2 & (a+1)(1-a) + (a+1) \\ 0 & -1 & 1 & -a \end{pmatrix}r2+(a+1)r3 100a0−11a+21a(a+1)(1−a)+(a+1)−a
更仔细计算：r2+(a+1)r3r_2 + (a+1)r_3r2+(a+1)r3：
- 第2列：(a+1)+(a+1)(−1)=0(a+1) + (a+1)(-1) = 0(a+1)+(a+1)(−1)=0 ✓
- 第3列：1+(a+1)⋅1=a+21 + (a+1) \cdot 1 = a+21+(a+1)⋅1=a+2
- 第4列：(a+1)+(a+1)(−a)=(a+1)(1−a)=1−a2(a+1) + (a+1)(-a) = (a+1)(1-a) = 1 - a^2(a+1)+(a+1)(−a)=(a+1)(1−a)=1−a2
所以：
(1a1a00a+21−a20−11−a)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & 0 & a+2 & 1-a^2 \\ 0 & -1 & 1 & -a \end{pmatrix} 100a0−11a+21a1−a2−a
当 a≠−2a \neq -2a=−2 时，→1a+2r2\xrightarrow{\frac{1}{a+2}r_2}a+21r2 ：
(1a1a0011−a2a+20−11−a)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1-a^2}{a+2} \\ 0 & -1 & 1 & -a \end{pmatrix} 100a0−1111aa+21−a2−a
注意 1−a2a+2=(1−a)(1+a)a+2\frac{1-a^2}{a+2} = \frac{(1-a)(1+a)}{a+2}a+21−a2=a+2(1−a)(1+a)。
→r3+r2 的操作\xrightarrow{r_3 + r_2 \text{ 的操作}}r3+r2 的操作
先用 r3↔r2r_3 \leftrightarrow r_2r3↔r2（整理顺序），再继续：
(1a1a0−11−a00a+21−a2)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & -1 & 1 & -a \\ 0 & 0 & a+2 & 1-a^2 \end{pmatrix} 100a−1011a+2a−a1−a2
由第3行：(a+2)x3=1−a2=(1−a)(1+a)(a+2)x_3 = 1-a^2 = (1-a)(1+a)(a+2)x3=1−a2=(1−a)(1+a)，故 x3=(1−a)(1+a)a+2x_3 = \dfrac{(1-a)(1+a)}{a+2}x3=a+2(1−a)(1+a)
由第2行：−x2+x3=−a-x_2 + x_3 = -a−x2+x3=−a，故 x2=x3+a=(1−a)(1+a)a+2+a=1−a2+a(a+2)a+2=1−a2+a2+2aa+2=1+2aa+2x_2 = x_3 + a = \dfrac{(1-a)(1+a)}{a+2} + a = \dfrac{1-a^2 + a(a+2)}{a+2} = \dfrac{1-a^2+a^2+2a}{a+2} = \dfrac{1+2a}{a+2}x2=x3+a=a+2(1−a)(1+a)+a=a+21−a2+a(a+2)=a+21−a2+a2+2a=a+21+2a
由第1行：x1+ax2+x3=ax_1 + ax_2 + x_3 = ax1+ax2+x3=a，故
x1=a−ax2−x3=a−a(1+2a)a+2−1−a2a+2=a(a+2)−a(1+2a)−(1−a2)a+2x_1 = a - ax_2 - x_3 = a - \frac{a(1+2a)}{a+2} - \frac{1-a^2}{a+2} = \frac{a(a+2) - a(1+2a) - (1-a^2)}{a+2}x1=a−ax2−x3=a−a+2a(1+2a)−a+21−a2=a+2a(a+2)−a(1+2a)−(1−a2)
=a2+2a−a−2a2−1+a2a+2=a−1a+2= \frac{a^2+2a-a-2a^2-1+a^2}{a+2} = \frac{a-1}{a+2}=a+2a2+2a−a−2a2−1+a2=a+2a−1
唯一解 （a≠1,a≠−2a \neq 1, a \neq -2a=1,a=−2）：
x1=a−1a+2,x2=1+2aa+2,x3=(1−a)(1+a)a+2x_1 = \frac{a-1}{a+2}, \quad x_2 = \frac{1+2a}{a+2}, \quad x_3 = \frac{(1-a)(1+a)}{a+2}x1=a+2a−1,x2=a+21+2a,x3=a+2(1−a)(1+a)
可验证当 a=−1a = -1a=−1 时：x1=−21=−2x_1 = \frac{-2}{1} = -2x1=1−2=−2，x2=−11=−1x_2 = \frac{-1}{1} = -1x2=1−1=−1，x3=01=0x_3 = \frac{0}{1} = 0x3=10=0。代入原方程：−(−2)+(−1)+0=1-(-2) + (-1) + 0 = 1−(−2)+(−1)+0=1 ✓，−2+(−(−1))+0=−1-2 + (-(-1)) + 0 = -1−2+(−(−1))+0=−1 ✓，−2+(−1)+0⋅(−1)=−3=(−1)2=1-2 + (-1) + 0 \cdot (-1) = -3 = (-1)^2 = 1−2+(−1)+0⋅(−1)=−3=(−1)2=1... 需重新验证。
让我验证 a=−1a=-1a=−1：原方程组变为
{−x1+x2+x3=1x1−x2+x3=−1x1+x2−x3=1\begin{cases} -x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1-x_2+x_3=-1 \\ x_1+x_2-x_3=1 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧−x1+x2+x3=1x1−x2+x3=−1x1+x2−x3=1
解 x1=−2,x2=−1,x3=0x_1=-2, x_2=-1, x_3=0x1=−2,x2=−1,x3=0：−(−2)+(−1)+0=2−1=1-(-2)+(-1)+0=2-1=1−(−2)+(−1)+0=2−1=1 ✓，−2−(−1)+0=−1-2-(-1)+0=-1−2−(−1)+0=−1 ✓，−2+(−1)−0=−3≠1-2+(-1)-0=-3\neq 1−2+(−1)−0=−3=1 ✗。
让我重新计算 x3x_3x3：x3=(1−(−1))(1+(−1))−1+2=2⋅01=0x_3 = \frac{(1-(-1))(1+(-1))}{-1+2} = \frac{2 \cdot 0}{1} = 0x3=−1+2(1−(−1))(1+(−1))=12⋅0=0。这不对，让我重新检查。
实际上在 a=−1a=-1a=−1 时需要重新代入。∣A∣=(−1+2)(−1−1)2=1⋅4=4≠0|A|=(-1+2)(-1-1)^2=1 \cdot 4=4 \neq 0∣A∣=(−1+2)(−1−1)2=1⋅4=4=0，确实有唯一解。
(−2)+(−1)+0=−3(-2)+(-1)+0 = -3(−2)+(−1)+0=−3，但方程要求 a2=1a^2=1a2=1，所以 −3≠1-3 \neq 1−3=1，说明上面计算有误。
让我重新计算。回到行阶梯形：
(1a1a0−11−a00a+21−a2)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & -1 & 1 & -a \\ 0 & 0 & a+2 & 1-a^2 \end{pmatrix} 100a−1011a+2a−a1−a2
x3=1−a2a+2x_3 = \frac{1-a^2}{a+2}x3=a+21−a2
x2=x3+a=1−a2a+2+a=1−a2+a2+2aa+2=1+2aa+2x_2 = x_3 + a = \frac{1-a^2}{a+2} + a = \frac{1-a^2+a^2+2a}{a+2} = \frac{1+2a}{a+2}x2=x3+a=a+21−a2+a=a+21−a2+a2+2a=a+21+2a
x1=a−ax2−x3=a−a⋅1+2aa+2−1−a2a+2x_1 = a - ax_2 - x_3 = a - a \cdot \frac{1+2a}{a+2} - \frac{1-a^2}{a+2}x1=a−ax2−x3=a−a⋅a+21+2a−a+21−a2
=a(a+2)−a(1+2a)−(1−a2)a+2= \frac{a(a+2) - a(1+2a) - (1-a^2)}{a+2}=a+2a(a+2)−a(1+2a)−(1−a2)
=a2+2a−a−2a2−1+a2a+2=a−1a+2= \frac{a^2+2a-a-2a^2-1+a^2}{a+2} = \frac{a-1}{a+2}=a+2a2+2a−a−2a2−1+a2=a+2a−1
验证 a=−1a=-1a=−1：x1=−21=−2x_1=\frac{-2}{1}=-2x1=1−2=−2，x2=−11=−1x_2=\frac{-1}{1}=-1x2=1−1=−1，x3=01=0x_3=\frac{0}{1}=0x3=10=0。
代入第3个方程：x1+x2+ax3=−2+(−1)+(−1)(0)=−3x_1+x_2+ax_3=-2+(-1)+(-1)(0)=-3x1+x2+ax3=−2+(−1)+(−1)(0)=−3，而 a2=1a^2=1a2=1，−3≠1-3\neq 1−3=1。
问题出在增广矩阵的行变换。让我重新做。
原始增广矩阵：
Aˉ=(a1111a1a11aa2)\bar{A} = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix}Aˉ= a111a111a1aa2
r1↔r2r_1 \leftrightarrow r_2r1↔r2：
(1a1aa11111aa2)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix} 1a1a1111aa1a2
r2−ar1r_2 - ar_1r2−ar1, r3−r1r_3 - r_1r3−r1：
(1a1a01−a21−a1−a201−aa−1a2−a)\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & a \\ 0 & 1-a^2 & 1-a & 1-a^2 \\ 0 & 1-a & a-1 & a^2-a \end{pmatrix} 100a1−a21−a11−aa−1a1−a2a2−a
Check r2r_2r2 最后一列：1−a⋅a=1−a21 - a \cdot a = 1-a^21−a⋅a=1−a2 ✓
Check r3r_3r3 最后一列：a2−aa^2 - aa2−a ✓
r3−r2⋅1−a1−a2r_3 - r_2 \cdot \frac{1-a}{1-a^2}r3−r2⋅1−a21−a... 但需分情况。
当 a≠1a \neq 1a=1 且 a≠−1a \neq -1a=−1 时，1−a2≠01-a^2 \neq 01−a2=0。
r3−1−a1−a2⋅r2=r3−11+a⋅r2r_3 - \frac{1-a}{1-a^2} \cdot r_2 = r_3 - \frac{1}{1+a} \cdot r_2r3−1−a21−a⋅r2=r3−1+a1⋅r2
(1−a)−11+a(1−a2)=(1−a)−(1−a)(1+a)1+a=(1−a)−(1−a)=0(1-a) - \frac{1}{1+a}(1-a^2) = (1-a) - \frac{(1-a)(1+a)}{1+a} = (1-a) - (1-a) = 0(1−a)−1+a1(1−a2)=(1−a)−1+a(1−a)(1+a)=(1−a)−(1−a)=0 ✓
(a−1)−11+a(1−a)=(a−1)−1−a1+a=(a−1)+a−11+a=(a−1)(1+11+a)=(a−1)⋅a+21+a(a-1) - \frac{1}{1+a}(1-a) = (a-1) - \frac{1-a}{1+a} = (a-1) + \frac{a-1}{1+a} = (a-1)\left(1 + \frac{1}{1+a}\right) = (a-1)\cdot\frac{a+2}{1+a}(a−1)−1+a1(1−a)=(a−1)−1+a1−a=(a−1)+1+aa−1=(a−1)(1+1+a1)=(a−1)⋅1+aa+2
(a2−a)−11+a(1−a2)=a(a−1)+(a−1)(a+1)1+a=a(a−1)+(a−1)=(a−1)(a+1)(a^2-a) - \frac{1}{1+a}(1-a^2) = a(a-1) + \frac{(a-1)(a+1)}{1+a} = a(a-1) + (a-1) = (a-1)(a+1)(a2−a)−1+a1(1−a2)=a(a−1)+1+a(a−1)(a+1)=a(a−1)+(a−1)=(a−1)(a+1)
所以第3行变为：(0,0,(a−1)(a+2)1+a,(a−1)(a+1))\left(0, 0, \frac{(a-1)(a+2)}{1+a}, (a-1)(a+1)\right)(0,0,1+a(a−1)(a+2),(a−1)(a+1))
当 a≠1a \neq 1a=1，可约去 (a−1)(a-1)(a−1)：(0,0,a+21+a,a+1)\left(0, 0, \frac{a+2}{1+a}, a+1\right)(0,0,1+aa+2,a+1)
即 (a+2)x3=(a+1)2(a+2)x_3 = (a+1)^2(a+2)x3=(a+1)2... 让我重新算。
(a−1)(a+1)=a2−1(a-1)(a+1) = a^2 - 1(a−1)(a+1)=a2−1，所以第3行第4列为 a2−1a^2-1a2−1。
第3行第3列为 (a−1)(a+2)1+a\frac{(a-1)(a+2)}{1+a}1+a(a−1)(a+2)。
方程：(a−1)(a+2)1+ax3=a2−1=(a−1)(a+1)\frac{(a-1)(a+2)}{1+a} x_3 = a^2-1 = (a-1)(a+1)1+a(a−1)(a+2)x3=a2−1=(a−1)(a+1)
x3=(a−1)(a+1)⋅(1+a)(a−1)(a+2)=(a+1)2a+2x_3 = \frac{(a-1)(a+1) \cdot (1+a)}{(a-1)(a+2)} = \frac{(a+1)^2}{a+2}x3=(a−1)(a+2)(a−1)(a+1)⋅(1+a)=a+2(a+1)2
好的，x3=(a+1)2a+2x_3 = \frac{(a+1)^2}{a+2}x3=a+2(a+1)2，之前我犯了错误。
回到 r2r_2r2：(1−a2)x2+(1−a)x3=1−a2(1-a^2)x_2 + (1-a)x_3 = 1-a^2(1−a2)x2+(1−a)x3=1−a2
当 a≠±1a \neq \pm 1a=±1：(1+a)x2+x3=1+a(1+a)x_2 + x_3 = 1+a(1+a)x2+x3=1+a
x2=1+a−x31+a=1+a1−(a+1)2(a+2)(1+a)=1+a−a+1a+2x_2 = 1 + a - \frac{x_3}{1+a} = 1 + \frac{a}{1} - \frac{(a+1)^2}{(a+2)(1+a)} = 1 + a - \frac{a+1}{a+2}x2=1+a−1+ax3=1+1a−(a+2)(1+a)(a+1)2=1+a−a+2a+1
=(1+a)(a+2)−(a+1)a+2=(a+1)(a+2−1)a+2=(a+1)2a+2= \frac{(1+a)(a+2) - (a+1)}{a+2} = \frac{(a+1)(a+2-1)}{a+2} = \frac{(a+1)^2}{a+2}=a+2(1+a)(a+2)−(a+1)=a+2(a+1)(a+2−1)=a+2(a+1)2
x2=(a+1)2a+2x_2 = \frac{(a+1)^2}{a+2}x2=a+2(a+1)2
x1=a−ax2−x3=a−a⋅(a+1)2a+2−(a+1)2a+2x_1 = a - ax_2 - x_3 = a - a\cdot\frac{(a+1)^2}{a+2} - \frac{(a+1)^2}{a+2}x1=a−ax2−x3=a−a⋅a+2(a+1)2−a+2(a+1)2
=a−(a+1)2(a+1)a+2=a−(a+1)3a+2= a - \frac{(a+1)^2(a+1)}{a+2} = a - \frac{(a+1)^3}{a+2}=a−a+2(a+1)2(a+1)=a−a+2(a+1)3
=a(a+2)−(a+1)3a+2= \frac{a(a+2) - (a+1)^3}{a+2}=a+2a(a+2)−(a+1)3
(a+1)3=a3+3a2+3a+1(a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1(a+1)3=a3+3a2+3a+1
a(a+2)=a2+2aa(a+2) = a^2+2aa(a+2)=a2+2a
a2+2a−a3−3a2−3a−1=−a3−2a2−a−1=−(a3+2a2+a+1)a^2+2a-a^3-3a^2-3a-1 = -a^3-2a^2-a-1 = -(a^3+2a^2+a+1)a2+2a−a3−3a2−3a−1=−a3−2a2−a−1=−(a3+2a2+a+1)
=−(a2(a+1)+(a+1))=−(a+1)(a2+1)= -(a^2(a+1) + (a+1)) = -(a+1)(a^2+1)=−(a2(a+1)+(a+1))=−(a+1)(a2+1)
x1=−(a+1)(a2+1)a+2x_1 = -\frac{(a+1)(a^2+1)}{a+2}x1=−a+2(a+1)(a2+1)
验证 a=−1a=-1a=−1：x1=−0⋅21=0x_1 = -\frac{0 \cdot 2}{1} = 0x1=−10⋅2=0，x2=01=0x_2 = \frac{0}{1} = 0x2=10=0，x3=01=0x_3 = \frac{0}{1} = 0x3=10=0。
代入原方程：0+0+0=10+0+0=10+0+0=1？不对！−1⋅0+0+0=0≠1-1\cdot 0 + 0 + 0 = 0 \neq 1−1⋅0+0+0=0=1。
这说明 a=−1a=-1a=−1 时我的行变换中把 1−a2=01-a^2=01−a2=0 作为除数了，有问题。
让我重新整理，这种情况需要分开讨论。这个例题变得比较复杂，让我换一个更清晰的含参数例题。