2021年CSP-J初赛真题及答案解析(完善程序2)

第 2 题

矩形计数：平面上有 (n) 个关键点，求有多少个四条边都和 (x) 轴或者 (y) 轴平行的矩形，满足四个顶点都是关键点。给出的关键点可能有重复，但完全重合的矩形只计一次。

试补全枚举算法。

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#include <iostream>
using namespace std;

struct point {
    int x, y, id;
};

bool equals(point a, point b) {
    return a.x == b.x && a.y == b.y;
}

bool cmp(point a, point b) {
    return ①;
}

void sort(point A[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            if (cmp(A[j], A[j - 1])) {
                point t = A[j];
                A[j] = A[j - 1];
                A[j - 1] = t;
            }
        }
    }
}

int unique(point A[], int n) {
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (②)
            A[t++] = A[i];
    }
    return t;
}

bool binary_search(point A[], int n, int x, int y) {
    point p;
    p.x = x;
    p.y = y;
    p.id = n;
    int a = 0, b = n - 1;
    while (a < b) {
        int mid = ③;
        if (④)
            a = mid + 1;
        else
            b = mid;
    }
    return equals(A[a], p);
}

const int MAXN = 1000;
point A[MAXN];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> A[i].x >> A[i].y;
        A[i].id = i;
    }
    sort(A, n);
    n = unique(A, n);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (⑤ && binary_search(A, n, A[i].x, A[j].y) && binary_search(A, n, A[j].x, A[i].y)) {
                ans++;
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

① 处应填（）

A. a.x != b.x ? a.x < b.x : a.id < b.id

B. a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y

C. equals(a, b) ? a.id < b.id : a.x < b.x

D. equals(a, b) ? a.id < b.id : (a.x != b.x ? a.x < b.x : a.y < b.y)

② 处应填（）

A. i == 0 || cmp(A[i], A[i - 1])

B. t == 0 || equals(A[i], A[t - 1])

C. i == 0 || !cmp(A[i], A[i - 1])

D. t == 0 || !equals(A[i], A[t - 1])

③ 处应填（）

A. b - (b - a) / 2 + 1

B. (a + b + 1) >> 1

C. (a + b) >> 1

D. a + (b - a + 1) / 2

④ 处应填（）

A. !cmp(A[mid], p)

B. cmp(A[mid], p)

C. cmp(p, A[mid])

D. !cmp(p, A[mid])

⑤ 处应填（）

A. A[i].x == A[j].x

B. A[i].id < A[j].id

C. A[i].x == A[j].x && A[i].id < A[j].id

D. A[i].x < A[j].x && A[i].y < A[j].y

答案

① B
② D
③ C
④ B
⑤ D

解析

变量与函数作用

cmp(a, b)：定义点的严格弱序，用于排序和二分查找。
sort(A, n)：冒泡排序，按 cmp 确定的顺序将点排好。
unique(A, n)：对已排序的数组去重，返回去重后元素个数。
binary_search(A, n, x, y)：在有序数组 A 中二分查找坐标为 (x, y) 的点，存在返回 true。
主函数：排序、去重，然后枚举所有可能构成矩形左下角与右上角的点对，检查另外两个顶点是否存在，计数。

① 排序比较规则

排序时必须按点坐标大小排序，通常按 x 升序，x 相同则按 y 升序。

若 a.x != b.x，按 a.x < b.x 决定。
若 a.x == b.x，按 a.y < b.y 决定。
选项 B 完全符合，且当两点完全相同时，a.y < b.y 为 false，满足严格弱序要求。
其他选项引入了 id 或 equals，会打乱坐标顺序，导致二分查找错误。
答案：B

② 去重条件

去重时，当前元素 A[i] 应该被保留，当且仅当它是第一个元素（t == 0）或者它不等于 已保留的最后一个元素 A[t - 1]。

因此条件应为：t == 0 || !equals(A[i], A[t - 1])。

选项 D 正确。选项 B 是相等时保留，错误；A、C 使用 cmp 无法正确判断相等。

答案：D

③ 二分查找中间位置

标准二分查找中，mid = (a + b) / 2，在 C++ 中可写作 (a + b) >> 1。

选项 C 正确。选项 B 是上取整，会破坏二分查找的稳定性；选项 A、D 写法错误。

答案：C

④ 二分查找移动方向

标准二分查找中，若 A[mid] < p，说明目标在右半部分，令 a = mid + 1；否则令 b = mid。

这里的"小于"关系由 cmp(A[mid], p) 表示（若返回 true，则 A[mid] 排在 p 前面，即小于）。

因此 if (cmp(A[mid], p)) a = mid + 1;。

选项 B 正确。选项 A 是 !cmp(A[mid], p)，表示不小于，会令方向相反；C、D 比较方向颠倒。

答案：B

⑤ 避免矩形重复计数

一个矩形的四个顶点中，有且仅有一对点可作为左下角 和右上角 （x 和 y 都较小/较大）。

枚举时只统计 A[i].x < A[j].x 且 A[i].y < A[j].y 的情况，这样每个矩形只会被计数一次。

同时，检查另外两个点 (A[i].x, A[j].y) 和 (A[j].x, A[i].y) 是否存在。

选项 D 正确。其他选项如 A、B、C 无法保证唯一且正确的配对。

答案：D

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· 文末祝福 ·

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
	cout<<"    成就更好的自己！       ";
	cout<<"  csp信奥赛一等奖属于你!   ";
	return 0;
}