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高等数学
为统一记号，标量变量一般记为 x , y , z , t x,y,z,t x,y,z,t，向量一般记为 r , n , s , l \mathbf{r},\mathbf{n},\mathbf{s},\mathbf{l} r,n,s,l。以下内容按原笔记顺序整理，并尽量保留原始表述。
函数凹凸性
按笔记中的记号，函数"凸"与"上凸"先用中点不等式来定义。
f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 \begin{align} f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \end{align} f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)
其中， x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 是两个自变量取值；按笔记记号，这对应"函数凸"。
f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 \begin{align} f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \end{align} f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)
其中，这对应"函数上凸"的情形。
原笔记随后给出二阶导数判别。
f ′ ′ ( x ) > 0 \begin{align} f''(x)>0 \end{align} f′′(x)>0
其中， f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x) 是函数的二阶导数；这时函数图像对应一类"向上开"的凹凸形态。
f ′ ′ ( x ) < 0 \begin{align} f''(x)<0 \end{align} f′′(x)<0
其中，这时函数图像对应"向下开"的凹凸形态。
f ′ ′ ( x 0 ) = 0 \begin{align} f''(x_0)=0 \end{align} f′′(x0)=0
其中， x 0 x_0 x0 是候选点；原笔记将它与拐点联系起来，即函数在该点附近可能发生凹凸性的变化。
f ′ ( x 0 ) = 0 \begin{align} f'(x_0)=0 \end{align} f′(x0)=0
其中， x 0 x_0 x0 是驻点；原笔记特别标注它与极小值点、极大值点有关。
重点
二阶导数常用来判断凹凸性，二阶导数为零时要特别留意是否发生凹凸性改变。
泰勒展开
原笔记把泰勒展开写成以 x 0 x_0 x0 为中心的幂级数。
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n \begin{align} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{align} f(x)=n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
其中， f ( n ) ( x 0 ) f^{(n)}(x_0) f(n)(x0) 是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处的 n n n 阶导数， n ! n! n! 是阶乘。
把前几项展开后可写成：
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o ( x n ) \begin{align} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o(x^n) \end{align} f(x)=f(x0)+1!f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o(xn)
其中， o ( x n ) o(x^n) o(xn) 表示比 x n x^n xn 更高阶的小量；原笔记称这类式子为 f ( x ) f(x) f(x) 在 x = x 0 x=x_0 x=x0 处的展开式。
解析几何
平面方程：点垂式和一般式
原笔记先从点法式写起。若平面上一点为 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)，平面的法向量为 n = ( A , B , C ) \mathbf{n}=(A,B,C) n=(A,B,C)，则任意点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z) 满足
P 0 P → ⋅ n = 0 \begin{align} \overrightarrow{P_0P}\cdot\mathbf{n}=0 \end{align} P0P ⋅n=0
其中， P 0 P → = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) \overrightarrow{P_0P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) P0P =(x−x0,y−y0,z−z0) 是从点 P 0 P_0 P0 指向点 P P P 的向量。
P 0 P → = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) , n = ( A , B , C ) \begin{align} \overrightarrow{P_0P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0),\qquad \mathbf{n}=(A,B,C) \end{align} P0P =(x−x0,y−y0,z−z0),n=(A,B,C)
其中， n \mathbf{n} n 是平面的法向量。
因此一般式可写成：
A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 \begin{align} A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \end{align} A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
其中， A , B , C A,B,C A,B,C 是法向量的三个分量。
进一步整理得到：
A x + B y + C z = D \begin{align} Ax+By+Cz=D \end{align} Ax+By+Cz=D
其中， D D D 是常数项。
平面夹角
设两个平面的法向量分别为 n 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) \mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1) n1=(A1,B1,C1) 与 n 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 ) \mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2) n2=(A2,B2,C2)，则夹角满足
cos θ = n 1 T n 2 ∥ n 1 ∥ 2 ∥ n 2 ∥ 2 = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A 1 2 + B 1 2 + C 1 2 A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 \begin{align} \cos\theta=\frac{\mathbf{n}_1^T\mathbf{n}_2}{\|\mathbf{n}_1\|_2\|\mathbf{n}_2\|_2} =\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \end{align} cosθ=∥n1∥2∥n2∥2n1Tn2=A12+B12+C12 A22+B22+C22 A1A2+B1B2+C1C2
其中， θ \theta θ 是两个平面的夹角。
点到平面的距离
若平面为 A x + B y + C z = D Ax+By+Cz=D Ax+By+Cz=D，平面外一点为 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)，平面上一点为 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P_1(x_1,y_1,z_1) P1(x1,y1,z1)，则距离可由投影得到。
d = ∣ P 1 P 0 → ∣ ∣ cos θ ∣ \begin{align} d=\left|\overrightarrow{P_1P_0}\right||\cos\theta| \end{align} d= P1P0 ∣cosθ∣
其中， d d d 是点到平面的距离， θ \theta θ 是 P 1 P 0 → \overrightarrow{P_1P_0} P1P0 与法向量 n \mathbf{n} n 的夹角。
cos θ = n ⋅ P 1 P 0 → ∥ n ∥ 2 ∣ P 1 P 0 → ∣ \begin{align} \cos\theta=\frac{\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_1P_0}}{\|\mathbf{n}\|_2\left|\overrightarrow{P_1P_0}\right|} \end{align} cosθ=∥n∥2 P1P0 n⋅P1P0
其中， n = ( A , B , C ) \mathbf{n}=(A,B,C) n=(A,B,C) 是平面的法向量。
于是距离公式写成
d = ∣ n ⋅ P 1 P 0 → ∣ ∥ n ∥ 2 \begin{align} d=\frac{|\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{P_1P_0}|}{\|\mathbf{n}\|_2} \end{align} d=∥n∥2∣n⋅P1P0 ∣
其中，这是点到平面的投影长度公式。
进一步化为常见坐标形式：
d = ∣ A ( x 0 − x 1 ) + B ( y 0 − y 1 ) + C ( z 0 − z 1 ) ∣ A 2 + B 2 + C 2 \begin{align} d=\frac{|A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{align} d=A2+B2+C2 ∣A(x0−x1)+B(y0−y1)+C(z0−z1)∣
其中， ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 是平面外一点， ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) (x1,y1,z1) 是平面上一点。
重点
点到平面的距离，本质上就是向法向量方向做投影。
直线方程：参数方程，向量函数形式和对称式方程
空间直线可以看成两个平面的交线。
p 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 , p 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 \begin{align} p_1:A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\qquad p_2:A_2x+B_2y+C_2z=D_2 \end{align} p1:A1x+B1y+C1z=D1,p2:A2x+B2y+C2z=D2
其中， p 1 , p 2 p_1,p_2 p1,p2 是两个不重合且不平行的平面，它们的交集是一条直线。
参数方程写成
r = r 0 + t s \begin{align} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{s} \end{align} r=r0+ts
其中， r 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) T \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0)^T r0=(x0,y0,z0)T 是直线上的一点， s = ( s 1 , s 2 , s 3 ) T \mathbf{s}=(s_1,s_2,s_3)^T s=(s1,s2,s3)T 是方向向量， t t t 是参数。
对应的坐标形式为：
{ x = x 0 + t s 1 y = y 0 + t s 2 z = z 0 + t s 3 \begin{align} \begin{cases} x=x_0+ts_1\\ y=y_0+ts_2\\ z=z_0+ts_3 \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧x=x0+ts1y=y0+ts2z=z0+ts3
其中， s 1 , s 2 , s 3 s_1,s_2,s_3 s1,s2,s3 是方向向量 s \mathbf{s} s 的分量。
对称式写成
x − x 0 s 1 = y − y 0 s 2 = z − z 0 s 3 \begin{align} \frac{x-x_0}{s_1}=\frac{y-y_0}{s_2}=\frac{z-z_0}{s_3} \end{align} s1x−x0=s2y−y0=s3z−z0
其中，这需要 s 1 , s 2 , s 3 s_1,s_2,s_3 s1,s2,s3 对应分母不为零时使用。
两直线夹角
若两条直线的方向向量为 s 1 , s 2 \mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2 s1,s2，则
cos θ = s 1 T s 2 ∥ s 1 ∥ 2 ∥ s 2 ∥ 2 \begin{align} \cos\theta=\frac{\mathbf{s}_1^T\mathbf{s}_2}{\|\mathbf{s}_1\|_2\|\mathbf{s}_2\|_2} \end{align} cosθ=∥s1∥2∥s2∥2s1Ts2
其中， θ \theta θ 是两直线的夹角。
线面夹角
若平面的法向量为 n \mathbf{n} n，直线的方向向量为 s \mathbf{s} s，则原笔记给出
sin φ = cos θ = n T s ∥ n ∥ 2 ∥ s ∥ 2 \begin{align} \sin\varphi=\cos\theta=\frac{\mathbf{n}^T\mathbf{s}}{\|\mathbf{n}\|_2\|\mathbf{s}\|_2} \end{align} sinφ=cosθ=∥n∥2∥s∥2nTs
其中， φ \varphi φ 是直线与平面的夹角， θ \theta θ 是方向向量与法向量的夹角。
空间曲线方程：参数方程和相交式
原笔记把空间曲线先分成参数式与相交式两类。
{ x = f ( t ) y = g ( t ) z = ϕ ( t ) \begin{align} \begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t)\\ z=\phi(t) \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧x=f(t)y=g(t)z=ϕ(t)
其中， t t t 是参数， f , g , ϕ f,g,\phi f,g,ϕ 是关于 t t t 的函数。
笔记中的例子是螺旋线型参数方程：
{ x = cos t y = sin t z = t \begin{align} \begin{cases} x=\cos t\\ y=\sin t\\ z=t \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧x=costy=sintz=t
其中， t t t 决定空间曲线上的位置。
另一种表示方式是把空间曲线看成两个曲面的交线：
{ F 1 ( x , y , z ) = 0 F 2 ( x , y , z ) = 0 \begin{align} \begin{cases} F_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0 \end{cases} \end{align} {F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0
其中， F 1 , F 2 F_1,F_2 F1,F2 分别定义两个曲面。
切线与法平面
⭐切线和法线计算方法本质区别：一个是参数方程，一个是梯度向量
空间曲线的切线与法平面：本质梯度
设空间曲线写成
r ( t ) = ( f ( t ) , g ( t ) , ϕ ( t ) ) \begin{align} \mathbf{r}(t)=(f(t),g(t),\phi(t)) \end{align} r(t)=(f(t),g(t),ϕ(t))
其中， r ( t ) \mathbf{r}(t) r(t) 是位置向量函数。
在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 处的切线可写成
r = r 0 + k d r d t \begin{align} \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+k\frac{d\mathbf{r}}{dt} \end{align} r=r0+kdtdr
其中， r 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) T \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0)^T r0=(x0,y0,z0)T 是曲线上的点， d r d t \frac{d\mathbf{r}}{dt} dtdr 是切向量， k k k 是参数。
对应坐标式为
{ x = x 0 + k f ′ ( t ) y = y 0 + k g ′ ( t ) z = z 0 + k ϕ ′ ( t ) \begin{align} \begin{cases} x=x_0+kf'(t)\\ y=y_0+kg'(t)\\ z=z_0+k\phi'(t) \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧x=x0+kf′(t)y=y0+kg′(t)z=z0+kϕ′(t)
其中， f ′ ( t ) , g ′ ( t ) , ϕ ′ ( t ) f'(t),g'(t),\phi'(t) f′(t),g′(t),ϕ′(t) 是各分量对参数 t t t 的导数。
法平面满足"过该点且垂直于切向量"，因此
P 0 P → ⋅ d r d t = 0 \begin{align} \overrightarrow{P_0P}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}=0 \end{align} P0P ⋅dtdr=0
其中， P 0 P → = ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) \overrightarrow{P_0P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0) P0P =(x−x0,y−y0,z−z0)。
等价写成
f ′ ( t ) ( x − x 0 ) + g ′ ( t ) ( y − y 0 ) + ϕ ′ ( t ) ( z − z 0 ) = 0 \begin{align} f'(t)(x-x_0)+g'(t)(y-y_0)+\phi'(t)(z-z_0)=0 \end{align} f′(t)(x−x0)+g′(t)(y−y0)+ϕ′(t)(z−z0)=0
其中，切向量本身就是法平面的法向量。
曲面间交线的切线：本质划归为参数方程
原笔记把两曲面的交线写成
{ F 1 ( x , y , z ) = 0 F 2 ( x , y , z ) = 0 \begin{align} \begin{cases} F_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0 \end{cases} \end{align} {F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0
其中，交线可在局部转化成带参数的形式。
一种常用写法是把它视为
{ x = x y = f ( x ) z = g ( x ) \begin{align} \begin{cases} x=x\\ y=f(x)\\ z=g(x) \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧x=xy=f(x)z=g(x)
其中， x x x 被当作局部参数。
此时切向量可写成
d x d x d y d x d z d x = 1 d y d x d z d x \begin{align} \begin{bmatrix} \frac{dx}{dx}\\ \frac{dy}{dx}\\ \frac{dz}{dx} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\\ \frac{dy}{dx}\\ \frac{dz}{dx} \end{bmatrix} \end{align} dxdxdxdydxdz = 1dxdydxdz
其中， d y d x , d z d x \frac{dy}{dx},\frac{dz}{dx} dxdy,dxdz 可通过对约束方程求导得到。
笔记中的例子为
F 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 6 , F 2 : x + y + z = 0 \begin{align} F_1:x^2+y^2+z^2=6,\qquad F_2:x+y+z=0 \end{align} F1:x2+y2+z2=6,F2:x+y+z=0
其中，交线是球面与平面的交线。
对 x x x 求导后得到
{ 2 x + 2 y d y d x + 2 z d z d x = 0 1 + d y d x + d z d x = 0 \begin{align} \begin{cases} 2x+2y\frac{dy}{dx}+2z\frac{dz}{dx}=0\\ 1+\frac{dy}{dx}+\frac{dz}{dx}=0 \end{cases} \end{align} {2x+2ydxdy+2zdxdz=01+dxdy+dxdz=0
其中，第一式来自 F 1 F_1 F1，第二式来自 F 2 F_2 F2。
原笔记解得
{ d x d x = 1 d y d x = z − x y − z d z d x = x − y y − z \begin{align} \begin{cases} \frac{dx}{dx}=1\\ \frac{dy}{dx}=\frac{z-x}{y-z}\\ \frac{dz}{dx}=\frac{x-y}{y-z} \end{cases} \end{align} ⎩ ⎨ ⎧dxdx=1dxdy=y−zz−xdxdz=y−zx−y
其中，这是交线在一般点处的切向量分量表达式。
在点 ( 1 , − 2 , 1 ) (1,-2,1) (1,−2,1) 处，切线方向向量为
1 0 − 1 \begin{align} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{bmatrix} \end{align} 10−1
其中，这是把点 ( 1 , − 2 , 1 ) (1,-2,1) (1,−2,1) 代入上式后得到的结果。
重点
交线问题常先转成"隐式带参数"的形式，再通过求导拿到切向量。
曲面的切平面与法线
设曲面写成
F ( x , y , z ) = c \begin{align} F(x,y,z)=c \end{align} F(x,y,z)=c
其中， c c c 是常数， ∇ F \nabla F ∇F 在曲面上给出法向量方向。
若点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0) 在曲面上，则切平面方程为
∂ F ∂ x ( x − x 0 ) + ∂ F ∂ y ( y − y 0 ) + ∂ F ∂ z ( z − z 0 ) = 0 \begin{align} \frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0)=0 \end{align} ∂x∂F(x−x0)+∂y∂F(y−y0)+∂z∂F(z−z0)=0
其中，各偏导默认在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0) 处取值。
若曲面写成 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)，则原笔记把它转成
F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z = 0 \begin{align} F(x,y,z)=f(x,y)-z=0 \end{align} F(x,y,z)=f(x,y)−z=0
其中，把显式曲面重新写成隐式曲面后，切平面公式可以统一使用。
对应的法向量为
∇ F = ( ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ) \begin{align} \nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right) \end{align} ∇F=(∂x∂F,∂y∂F,∂z∂F)
其中， ∇ F \nabla F ∇F 就是曲面 F ( x , y , z ) = c F(x,y,z)=c F(x,y,z)=c 的法向量。
对于二维等值线 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c，其法向量同样由梯度给出：
∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) \begin{align} \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{align} ∇f=(∂x∂f,∂y∂f)
其中， ∇ f \nabla f ∇f 是平面曲线 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f(x,y)=c 的法向量。
方向导数：标量=梯度*归一化方向
原笔记把方向导数记成
∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \begin{align} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)} \end{align} ∂l∂f (x0,y0)
其中， l l l 表示方向， ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 是求导点。
若方向由向量 l \mathbf{l} l 给出，则方向导数公式写成
∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = ∇ f ⋅ l ∥ l ∥ 2 \begin{align} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)}=\nabla f\cdot\frac{\mathbf{l}}{\|\mathbf{l}\|_2} \end{align} ∂l∂f (x0,y0)=∇f⋅∥l∥2l
其中， ∇ f \nabla f ∇f 是梯度， l ∥ l ∥ 2 \frac{\mathbf{l}}{\|\mathbf{l}\|_2} ∥l∥2l 是单位方向向量。
重点
方向导数是标量，等于梯度在该方向上的投影。
笔记中还用等值线的例子说明了法向量与切向量的关系。若
x 2 + y 2 = 1 \begin{align} x^2+y^2=1 \end{align} x2+y2=1
其中，可把它写成 f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0 f(x,y)=x^2+y^2-1=0 f(x,y)=x2+y2−1=0。
则法向量为
∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) = ( 2 x , 2 y ) \begin{align} \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(2x,2y) \end{align} ∇f=(∂x∂f,∂y∂f)=(2x,2y)
其中， ∇ f \nabla f ∇f 垂直于该点的切线。
对等式两边求导可得
2 x + 2 y d y d x = 0 \begin{align} 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 \end{align} 2x+2ydxdy=0
其中， d y d x \frac{dy}{dx} dxdy 是切线斜率。
于是
{ d x d x = 1 d y d x = − x y \begin{align} \begin{cases} \frac{dx}{dx}=1\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} \end{cases} \end{align} {dxdx=1dxdy=−yx
其中，这给出了曲线切向量的局部表达式。
拉格朗日乘子法：梯度相等
原笔记最后总结了拉格朗日乘子法。若目标函数为 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)，约束条件为 g ( x , y , z ) = t g(x,y,z)=t g(x,y,z)=t，则先写成
g ( x , y , z ) = t \begin{align} g(x,y,z)=t \end{align} g(x,y,z)=t
其中， t t t 是常数。
在约束极值点处，有
∇ f = λ ∇ g \begin{align} \nabla f=\lambda\nabla g \end{align} ∇f=λ∇g
其中， λ \lambda λ 是拉格朗日乘子。
再联立约束方程
g ( x , y , z ) = t \begin{align} g(x,y,z)=t \end{align} g(x,y,z)=t
其中，最终要一起求解未知数 x , y , z , λ x,y,z,\lambda x,y,z,λ。
重点
拉格朗日乘子法的核心是：在约束极值点，目标函数梯度与约束函数梯度平行。