【数据结构】图的应用：最小生成树（Prim / Kruskal）

考点频率 ：★★★★★（选择题必考，下午题偶尔结合图考查算法选边过程）

难度：⭐⭐⭐⭐

建议：重点掌握Prim和Kruskal的选边策略差异，能模拟两种算法的执行过程，熟记时间复杂度与适用场景

1️⃣ 什么是最小生成树？

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST） 是图论中的一个核心概念，定义如下：

在一个带权连通无向图 中，选择 n−1n-1n−1 条边，将所有 nnn 个顶点连接起来，使得边的总权值之和最小。这样形成的树称为最小生成树。
打个比方 ：你是电信公司的工程师，要在 nnn 个城市之间铺设光缆。城市之间的道路距离（权值）已知。你的任务是用最短的总长度 把 nnn 个城市全部连通------不需要每两个城市都直接连，只要所有城市能互相连通即可（可以经过中间城市）。这个问题的最优解就是最小生成树。

最小生成树的重要性质：

一棵有 nnn 个顶点的树，恰好有 n−1n-1n−1 条边
最小生成树不唯一（当存在相同权值的边时，可能有多种方案），但总权值唯一（如果图的边权不全相等，MST可能不唯一）
最小生成树中没有环路（树的基本性质）
任何最小生成树都满足 "切割性质" ：对于任意一个顶点集合 SSS，连接 SSS 和 V−SV-SV−S 的最小权值边一定属于某棵最小生成树

求解最小生成树的两种经典算法：

Prim算法：从顶点出发，逐步"长大"成一棵树（类似"贪心式扩张"）
Kruskal算法：从边出发，逐步合并森林（类似"贪心式并集"）

这两种算法都基于贪心策略，但贪心的对象不同------Prim贪心的是"离当前树最近的顶点"，Kruskal贪心的是"当前最小的边"。

2️⃣ Prim算法（从顶点出发，逐步扩张）

2.1 核心思想

Prim算法的策略是：

从任意一个顶点 开始，把它看作一棵树的根。然后每次选择一条连接"已选顶点集合"和"未选顶点集合"的权值最小的边 ，把这条边和它连接的新顶点加入树中。重复 n−1n-1n−1 次，直到所有顶点都被包含。
打个比方 ：Prim算法像野火蔓延------从一个着火点开始，火势每次向"最近的未燃烧区域"扩散一步，直到整片森林都被点燃。

2.2 算法步骤

从图中任意选择一个顶点作为起点，加入集合 SSS（已选顶点集合）
在连接 SSS 与 V−SV-SV−S 的所有边中，选择权值最小 的一条边 (u,v)(u, v)(u,v)，其中 u∈Su \in Su∈S，v∈V−Sv \in V-Sv∈V−S
将 vvv 加入 SSS，将边 (u,v)(u, v)(u,v) 加入最小生成树
重复步骤2-3，直到 SSS 包含所有顶点（共 n−1n-1n−1 次）

2.3 执行过程示例

图：4个顶点，边权如下

1-2: 6, 1-4: 5, 1-3: 1
2-3: 5, 2-4: 3
3-4: 6
复制代码
```
    1
  / | \
1  / |  \ 5
/   |   \
```
3----|----4
\ | /
5\ | /3
|/
2

从顶点1开始，逐步选择最小边：

步骤	已选顶点集合 SSS	候选边（连接S和V-S）	选择	累计权值
初始	{1}	(1-3):1, (1-2):6, (1-4):5	选 1-3（权1）	1
2	{1, 3}	(1-2):6, (1-4):5, (3-2):5, (3-4):6	选 1-4 （权5）或 3-2（权5）	6
3	{1, 3, 4}	(1-2):6, (3-2):5, (4-2):3	选 4-2（权3）	9

最小生成树总权值 = 1 + 5 + 3 = 9（边集：1-3, 1-4, 4-2）

注意：当有相同权值的候选边时，选哪条都可以，最终总权值相同，但树的形态可能不同。

2.4 Prim算法的复杂度与适用场景

存储方式	时间复杂度	说明
邻接矩阵	O(n2)O(n^2)O(n2)	适合稠密图
邻接表 + 二叉堆	O(elog⁡n)O(e \log n)O(elogn)	适合稀疏图
邻接表 + 斐波那契堆	O(e+nlog⁡n)O(e + n \log n)O(e+nlogn)	理论上最优

适用场景 ：Prim算法适合稠密图 （边数多），因为每次选最小边时，用邻接矩阵可以 O(n2)O(n^2)O(n2) 完成，与边数无关。

3️⃣ Kruskal算法（从边出发，逐步合并森林）

3.1 核心思想

Kruskal算法的策略是：

将图中所有边按权值从小到大排序 ，然后从最小的边开始，依次尝试将每条边加入最小生成树 ，如果加入后不形成环路 ，就保留；否则丢弃。重复直到选中 n−1n-1n−1 条边为止。
打个比方 ：Kruskal算法像组建联盟------城市之间有许多条可能的连接线路，你从最便宜的线路开始选，只要不会形成"封闭圈子"（环路），就把它纳入计划，直到所有城市都被连通。

3.2 算法步骤

将图中所有边按权值从小到大排序
初始化一个森林（每个顶点自成一棵树）
按排序顺序依次检查每条边：
- 如果这条边连接的两个顶点不在同一棵树中（加入后不形成环），则加入最小生成树，并合并两棵树
- 如果两个顶点已经在同一棵树中，则跳过这条边
重复直到选中 n−1n-1n−1 条边

3.3 执行过程示例

用同样的图（4个顶点，边权如下）：

复制代码

边列表（按权值排序）：
1-3: 1
2-4: 3
1-4: 5
2-3: 5
1-2: 6
3-4: 6

步骤	当前边	操作	结果
初始	---	4个顶点各自独立	{1}, {2}, {3}, {4}
1	1-3（权1）	1和3在不同树 → 加入，合并	{1,3}, {2}, {4}
2	2-4（权3）	2和4在不同树 → 加入，合并	{1,3}, {2,4}
3	1-4（权5）	1和4在不同树 → 加入，合并	{1,2,3,4}
4	2-3（权5）	已在同一树 → 跳过	---
5	1-2（权6）	已在同一树 → 跳过	---
6	3-4（权6）	已在同一树 → 跳过	---

选中的边 ：1-3（权1），2-4（权3），1-4（权5），总权值 = 9

3.4 Kruskal算法的复杂度与适用场景

关键操作	时间复杂度	说明
边排序	O(elog⁡e)O(e \log e)O(eloge)	主要开销
并查集（判断环路）	O(eα(n))O(e \alpha(n))O(eα(n))	几乎常数

适用场景 ：Kruskal算法适合稀疏图 （边数少），因为它的主要开销来自边排序，与边数 eee 的对数成正比。

4️⃣ Prim vs Kruskal（完整对比表，重点！）

对比项	Prim算法	Kruskal算法
策略	从顶点出发，逐步扩张	从边出发，逐步合并
贪心对象	每次选连接已选/未选集合的最小权值边	每次选全局最小权值边，不形成环则加入
数据结构	邻接矩阵 / 优先队列（堆）	并查集（判断环路）
时间复杂度（常用实现）	O(n2)O(n^2)O(n2)（邻接矩阵）或 O(elog⁡n)O(e \log n)O(elogn)（堆）	O(elog⁡e)O(e \log e)O(eloge)（边排序）
适合图类型	稠密图（边多）	稀疏图（边少）
起始点	需要指定一个起始顶点	不需要起始顶点，直接从边开始
环路判断	天然不会形成环（每次只加一个顶点）	需要用并查集判断是否会形成环
生成树形态	从起点向外"生长"	多个连通分量逐步合并

5️⃣ 经典例题

例题1：对下面的图，用Prim算法从顶点A开始构造最小生成树，写出选边顺序。

复制代码

A ---(4)--- B
| \   / |
|  \ /  |
(2) (3) (1)
|  / \  |
| /   \ |
C ---(5)--- D

解析：

从A出发
第1步：A的邻边中最小的是A-C（2）→ 选 A-C
第2步：当前树 {A,C}，连接 {A,C} 和 {B,D} 的最小边是C-D（5）还是A-D（3）？→ 选 A-D（权3）
第3步：当前树 {A,C,D}，连接 {A,C,D} 和 {B} 的最小边是D-B（1）→ 选 D-B （权1）
总权值 = 2 + 3 + 1 = 6

答案：A-C → A-D → D-B，总权值6

例题2：对同一图，用Kruskal算法构造最小生成树，写出选边顺序。

解析：

边排序：D-B（1），A-C（2），A-D（3），A-B（4），C-D（5）

选 D-B（1）
选 A-C（2）
选 A-D（3），检查D在{B,D}，A在{A,C}，不同树 → 加入
已选3条边，结束

答案：D-B → A-C → A-D，总权值6

6️⃣ 记忆口诀

Prim从顶点出发，每次选最近新顶点。

Kruskal从边出发，最小边集合并查。

稠密图Prim，稀疏图Kruskal。

7️⃣ 小测验（评论区对答案）

用Kruskal算法构造最小生成树，边排序后依次加入。在加入第3条边时，需要检查（　）。

A. 该边连接的两个顶点是否已经在同一棵树中

B. 该边连接的两个顶点是否都已经被访问过

C. 该边是否与已选边构成回路

D. A和C都正确

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