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中缀、前缀、后缀表达式
一、基本概念
| 类型 | 运算符位置 | 日常使用 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 中缀表达式 | 运算符在两个操作数中间 | 人类常用 | a + b |
| 前缀表达式（波兰式） | 运算符在两个操作数前面 | 少见 | + a b |
| 后缀表达式（逆波兰式） | 运算符在两个操作数后面 | 计算机常用 | a b + |
二、中缀表达式
定义：运算符写在两个操作数之间，就是我们日常书写的数学表达式。
特点：
- 需要括号来改变运算优先级
- 需要记住运算符优先级（括号 > 乘除 > 加减）
- 对人类友好，但对计算机不友好（解析复杂）
示例 ：(a + b) * c - d
三、后缀表达式（逆波兰式）
定义：运算符紧跟在其对应的操作数之后，无需括号，运算顺序完全由运算符的位置决定。
核心本质 ：从左往右扫描，操作数先到，等运算符来了再计算。
求值规则：
- 从左往右扫描表达式
- 遇到操作数 → 压入栈中
- 遇到运算符 → 弹出栈顶两个操作数，先弹出的是右操作数，后弹出的是左操作数，计算后将结果压回栈中
- 表达式结束时 → 栈中唯一的值就是最终结果
示例 ：中缀 (a + b) * c → 后缀 a b + c *
验证（a=1, b=2, c=3）：
- 读
a(1) → 入栈，栈 1- 读
b(2) → 入栈，栈 1, 2- 读
+→ 弹出 2（右）和 1（左），算 1+2=3，入栈，栈 3- 读
c(3) → 入栈，栈 3, 3- 读
*→ 弹出 3（右）和 3（左），算 3×3=9，入栈，栈 9- 结果 = 9，与 (1+2)×3 = 9 一致
减法验证 ：中缀 a - b → 后缀 a b -（a=5, b=3）
- 读
a(5) → 入栈，栈 5- 读
b(3) → 入栈，栈 5, 3- 读
-→ 弹出 3（右）和 5（左），算 5-3=2，入栈，栈 2- 结果 = 2，与 5-3 = 2 一致
四、前缀表达式（波兰式）
定义：运算符写在操作数之前。
核心本质 ：从左往右扫描，运算符先到，等操作数到齐再计算。
求值规则：
- 从左往右扫描表达式
- 遇到运算符 → 先记着，等待操作数
- 遇到操作数 → 压入栈中
- 当某个运算符的两个操作数都到齐时 → 弹出操作数，先弹出的是左操作数，后弹出的是右操作数，计算后将结果压回栈中
- 表达式结束时 → 栈中唯一的值就是最终结果
示例 ：中缀 (a + b) * c → 前缀 * + a b c
验证（a=1, b=2, c=3）：
- 读
*→ 运算符，先记着- 读
+→ 运算符，先记着- 读
a(1) → 入栈，栈 1- 读
b(2) → 入栈，栈 1, 2+的操作数齐了 → 弹出 1（左）和 2（右），算 1+2=3，入栈，栈 3- 读
c(3) → 入栈，栈 3, 3*的操作数齐了 → 弹出 3（左）和 3（右），算 3×3=9，入栈，栈 9- 结果 = 9，与 (1+2)×3 = 9 一致
减法验证 ：中缀 (a - b) * c → 前缀 * - a b c（a=5, b=3, c=2）
- 读
*→ 记着- 读
-→ 记着- 读
a(5) → 入栈，栈 5- 读
b(3) → 入栈，栈 5, 3-的操作数齐了 → 弹出 5（左）和 3（右），算 5-3=2，入栈，栈 2- 读
c(2) → 入栈，栈 2, 2*的操作数齐了 → 弹出 2（左）和 2（右），算 2×2=4，入栈，栈 4- 结果 = 4，与 (5-3)×2 = 4 一致
五、中缀转后缀（借助栈）
算法步骤：
- 从左到右扫描中缀表达式
- 遇到操作数 → 直接输出
- 遇到左括号
(→ 压入栈 - 遇到右括号
)→ 不断弹出栈顶运算符并输出，直到弹出左括号 - 遇到运算符 → 与栈顶运算符比较优先级：
- 若栈顶优先级 ≥ 当前运算符 → 弹出栈顶并输出，继续比较
- 否则 → 将当前运算符压入栈
- 扫描结束后 → 将栈中剩余运算符依次弹出输出
示例 ：(a + b) * c → a b + c *
六、中缀转前缀（借助栈）
算法步骤：
- 先将中缀表达式逆序（同时左右括号互换）
- 按"中缀转后缀"的方法处理（注意优先级比较方向相反）
- 将最终结果再次逆序，即为前缀表达式
示例 ：(a + b) * c → * + a b c
七、三者对比总结
| 对比项 | 中缀 | 前缀 | 后缀 |
|---|---|---|---|
| 运算符位置 | 中间 | 前面 | 后面 |
| 是否需要括号 | 需要 | 不需要 | 不需要 |
| 扫描方向（求值） | --- | 从左往右 | 从左往右 |
| 计算机友好度 | 低 | 高 | 高 |
| 人类友好度 | 高 | 低 | 低 |
一句话记忆 ：中缀给人看，前缀和后缀给机器算。前缀和后缀的求值逻辑是互补的：
- 前缀 ：先遇到运算符，等操作数到齐再计算
- 后缀 ：先遇到操作数，等运算符来了再计算
八、关键注意点
- 前缀和后缀的求值方向都是从左往右，不存在"从右往左扫描"
- 前缀和后缀的弹出顺序相反 ：
- 后缀 ：先弹出的是右操作数 ，后弹出的是左操作数
- 前缀 ：先弹出的是左操作数 ，后弹出的是右操作数
- 这一点在减法和除法中尤为关键，顺序搞反结果就错了
笔记改好了，要不要我出几道中缀转前缀、前缀转中缀的练习题，帮你把这块知识串起来？