贪心题目：数组大小减半

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题目
解法

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标题和出处

标题：数组大小减半

出处：1338. 数组大小减半

难度

3 级

题目描述

要求

给定一个整数数组 arr \texttt{arr} arr。可以从中选出一个整数集合，并删除这些整数在数组中的每次出现。

返回至少能删除数组中的一半整数的整数集合的最小元素个数。

示例

示例 1：

输入： arr = $3,3,3,3,5,5,5,2,2,7$ \texttt{arr = $3,3,3,3,5,5,5,2,2,7$ } arr = $3,3,3,3,5,5,5,2,2,7$

输出： 2 \texttt{2} 2

解释：选择 {3,7} \texttt{\{3,7\}} {3,7} 将数组变成 $5,5,5,2,2$ \texttt{ $5,5,5,2,2$ } $5,5,5,2,2$ ，长度为 5 \texttt{5} 5（原数组长度的一半）。

大小为 2 \texttt{2} 2 的可行集合有 {3,5},{3,2},{5,2} \texttt{\{3,5\},\{3,2\},\{5,2\}} {3,5},{3,2},{5,2}。

选择 {2,7} \texttt{\{2,7\}} {2,7} 是不可行的，将数组变成 $3,3,3,3,5,5,5$ \texttt{ $3,3,3,3,5,5,5$ } $3,3,3,3,5,5,5$ ，其长度大于原数组的一半。

示例 2：

输入： arr = $7,7,7,7,7,7$ \texttt{arr = $7,7,7,7,7,7$ } arr = $7,7,7,7,7,7$

输出： 1 \texttt{1} 1

解释：只能选择集合 {7} \texttt{\{7\}} {7}，将数组变成空数组。

数据范围

1 ≤ arr.length ≤ 10 5 \texttt{1} \le \texttt{arr.length} \le \texttt{10}^\texttt{5} 1≤arr.length≤105
arr.length \texttt{arr.length} arr.length 为偶数
1 ≤ arr $i$ ≤ 10 5 \texttt{1} \le \texttt{arr $i$ } \le \texttt{10}^\texttt{5} 1≤arr $i$ ≤105

解法

思路和算法

遍历数组 arr \textit{arr} arr 得到每个元素的出现次数，创建列表 counts \textit{counts} counts 存储每个元素的出现次数，则 counts \textit{counts} counts 中的元素之和为数组 arr \textit{arr} arr 的长度，问题转换成从 counts \textit{counts} counts 中选择最少的元素个数使得所选的元素之和至少为数组 arr \textit{arr} arr 的长度的一半。

根据贪心思想，在所选元素之和下界确定的情况下，为了使所选元素的个数最少，应从 counts \textit{counts} counts 按照从大到小的顺序依次选取元素，直到选取的元素之和至少为数组 arr \textit{arr} arr 的长度的一半，此时选取的元素个数即为从数组 arr \textit{arr} arr 中选出的集合的最小元素个数。

贪心思想的正确性说明如下。

假设从 counts \textit{counts} counts 按照从大到小的顺序选取元素时，至少选取 x x x 个元素可以满足选取的元素之和至少为数组 arr \textit{arr} arr 的长度的一半，用 halfLength \textit{halfLength} halfLength 表示数组 arr \textit{arr} arr 的长度的一半。如果将最大的 x x x 个元素中的任意一个元素换成更小的元素，则选取的元素之和将减小，此时选取的元素之和可能大于等于 halfLength \textit{halfLength} halfLength 也可能小于 halfLength \textit{halfLength} halfLength，如果小于 halfLength \textit{halfLength} halfLength，则需要选取更多元素才能满足选取的元素之和大于等于 halfLength \textit{halfLength} halfLength，此时选取的元素个数大于 x x x。因此按照从大到小的顺序选取元素可以使选取的元素个数最少。

具体做法是，得到列表 counts \textit{counts} counts 之后，将 counts \textit{counts} counts 按降序排序，然后按从大到小的顺序遍历 counts \textit{counts} counts 选取元素，直到选取的元素之和大于等于 halfLength \textit{halfLength} halfLength 时，返回选取的元素个数，即从数组 arr \textit{arr} arr 中选出的集合的最小元素个数。

代码

java 复制代码

class Solution {
    public int minSetSize(int[] arr) {
        Map<Integer, Integer> countsMap = new HashMap<Integer, Integer>();
        for (int num : arr) {
            countsMap.put(num, countsMap.getOrDefault(num, 0) + 1);
        }
        List<Integer> counts = new ArrayList<Integer>(countsMap.values());
        Collections.sort(counts, (a, b) -> b - a);
        int halfLength = arr.length / 2;
        int removeCount = 0;
        int minSize = 0;
        for (int count : counts) {
            removeCount += count;
            minSize++;
            if (removeCount >= halfLength) {
                break;
            }
        }
        return minSize;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)，其中 n n n 是数组 arr \textit{arr} arr 的长度。计算每个元素的出现次数需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间，将出现次数列表排序需要 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn) 的时间，排序之后遍历出现次数列表需要 O ( n ) O(n) O(n) 的时间，因此时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)。
空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，其中 n n n 是数组 arr \textit{arr} arr 的长度。哈希表和出现次数列表需要 O ( n ) O(n) O(n) 的空间。