洛谷 P1420 / P1179 / B4262 最长连号、数字统计与词频统计——统计的三种面孔

洛谷 P1420 / P1179 / B4262 最长连号、数字统计与词频统计------统计的三种面孔

📌 摘要

P1420 找一串数字中最长的连续递增段长度，P1179 统计一段区间内数字 2 出现了多少次，B4262 统计一组单词中出现次数最多的那个。三道题都是"统计"------但统计的对象不同：P1420 统计趋势（连号有多长），P1179 统计数字频率 （某个数字出现几次），B4262 统计词频（哪个单词出现最多）。趋势对应运行图（Run Chart）和质量管理，数字频率对应本福特定律（Benford's Law）和欺诈检测，词频对应 TF-IDF 和搜索引擎。本文从伪代码题解出发，延伸到统计质量控制、法务会计和信息检索------从洛谷入门题到 Google 搜索引擎的排序原理。

题目链接 ：P1420 最长连号 | P1179 数字统计 | B4262 词频统计

📚 目录

[📝 前言](#📝 前言)
[🔍 三道题在考什么](#🔍 三道题在考什么)
[📈 P1420：最长连号](#📈 P1420：最长连号)
- [💡 思路](#💡 思路)
- [📝 伪代码](#📝 伪代码)
- [🎯 关键点](#🎯 关键点)
[🔢 P1179：数字统计](#🔢 P1179：数字统计)
- [💡 思路](#💡 思路)
- [📝 伪代码](#📝 伪代码)
- [🎯 关键点](#🎯 关键点)
[📝 B4262：词频统计](#📝 B4262：词频统计)
- [💡 思路](#💡 思路)
- [📝 伪代码](#📝 伪代码)
- [🎯 关键点](#🎯 关键点)
[⚖️ 三种统计的对比](#⚖️ 三种统计的对比)
[⚠️ 注意事项](#⚠️ 注意事项)
[🌳 延伸：统计的三个面孔------运行图、本福特定律与 TF-IDF](#🌳 延伸：统计的三个面孔——运行图、本福特定律与 TF-IDF)
- [📈 运行图：最长连号的工业应用](#📈 运行图：最长连号的工业应用)
- [📊 本福特定律：数字频率的反直觉真相](#📊 本福特定律：数字频率的反直觉真相)
- [🔥 本福特定律抓诈骗](#🔥 本福特定律抓诈骗)
- [🔍 TF-IDF：词频统计的搜索引擎应用](#🔍 TF-IDF：词频统计的搜索引擎应用)
- [🔮 三种统计的交汇](#🔮 三种统计的交汇)
[📚 延伸阅读文献](#📚 延伸阅读文献)

📝 前言

这篇题解没有源代码，只有伪代码。

作为一名信奥教练，我不提倡复制粘贴。我见过太多学生搜到题解、复制、粘贴、提交、AC------代码跑通了，脑子没跑通。下次遇到变体题，还是不会。

伪代码剥掉了语言的壳，只留算法的骨架。你看不到 #include，看不到 cin、cout，看不到那些让你以为"我会了"的语法细节。你能看到的只有：这一步做什么、下一步做什么、为什么这么做。

如果你是路过的友友，已经在这道题上挣扎了很久------先去喝杯水，回来重新看看自己卡在哪一步。是没读懂题意？是思路方向偏了？还是代码有 bug 但逻辑其实对？大多数时候不是不会，是走偏了。偏了不可怕，可怕的是偏了之后直接放弃，去抄一份能 AC 的代码。抄完你以为你懂了，其实你只是搬了别人的结论。

除非你时间真的紧张------比赛临近、作业要交------那种情况先 AC 再说，能理解。但平时练习，给自己一点耐心。先自己想、自己写、自己调，跑不过了再来看伪代码：你的思路和这里差在哪一步。那一步，就是你真正学到的东西。

🔍 三道题在考什么

三道题都是"统计"，但统计的对象截然不同：

	P1420 最长连号	P1179 数字统计	B4262 词频统计
统计什么	最长连续递增段的长度	数字 2 出现的总次数	出现次数最多的单词
统计类型	趋势统计（找最长的"递增段"）	频率统计（数某个数字出现几次）	词频统计（数每个单词出现几次）
核心操作	比较相邻差值是否一致	逐位取余提取数字	嵌套循环计数 + 找最大值
复杂度	O(N)	O(N × d)，d 为数字位数	O(N² × L)，L 为单词长度
现实对应	运行图（Run Chart）	本福特定律（Benford's Law）	TF-IDF / 搜索引擎

P1420 的"连号"是连续自然数------后一个比前一个大 1。你要找最长的这样的段。

P1179 的"数字统计"是遍历 $L, R$ 的每个数，把每个数的每一位拆开，数 2 出现了几次。

B4262 的"词频统计"是读入 n 个单词（忽略大小写），统计每个单词出现几次，输出出现最多的那个。

一个是看趋势有多长 ，一个是看频率有多高 ，一个是看谁出现最多。这就是统计的三种面孔。

📈 P1420：最长连号

💡 P1420 思路

遍历序列，维护两个量：当前连号长度 ans 和历史最长 max_ans。

核心判断：当前数与前一数的差是否为 1。如果是，连号延长；如果不是，连号中断，从当前数重新开始。

代码用了一个更通用的方式------不只检查差是否为 1，而是检查当前差值是否与上一差值相同且为正。对于"连续自然数"（差恒为 1），这等价于检查差是否为 1。但这个写法实际上能检测任何等差递增段。

📝 P1420 伪代码

text 复制代码

读取 N
前一个数 = 极大值（哨兵）
前差值 = 0
当前连号长度 = 0
最长连号 = 0

对每个数 curr_num:
    当前差值 = curr_num - 前一个数

    如果 当前差值 == 前差值 且 当前差值 > 0:
        当前连号长度++          // 差值不变，连号延长
    否则:
        前差值 = 当前差值
        当前连号长度 = 1         // 差值变了，重新开始

    如果 当前连号长度 > 最长连号 且 当前差值 > 0:
        最长连号 = 当前连号长度

    前一个数 = curr_num

输出 最长连号 + 1              // n 个差值对应 n+1 个数

🎯 P1420 关键点

为什么输出 max_ans+1？ 因为代码统计的是"差值对"的数量。3 个连续数产生 2 个差值，所以差值对数 = 数量 - 1。输出时 +1 还原为元素个数。

用样例 [1, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9] 追踪：

位置	数	差值	差值变了吗	ans	max_ans	说明
0	1	---	---	0	0	第一个数
1	5	+4	是	1	1	新差值+4
2	6	+1	是	1	1	新差值+1
3	2	-4	是	1	1	负差值不更新 max
4	3	+1	是	1	1	新差值+1
5	4	+1	否	2	2	连号延长！
6	5	+1	否	3	3	继续
7	6	+1	否	4	4	继续
8	8	+2	是	1	4	中断
9	9	+1	是	1	4	新差值+1

输出：max_ans+1 = 4+1 = 5 。连号段是 [2,3,4,5,6]，5 个数。

"差值相同"替代"差值为1"。 代码检查 curr_diff == pre_diff 而非 curr_diff == 1。对于连号（差恒为 1），两者等价。但前者也能匹配等差递增段（如差为 2 的 [2,4,6,8]）。题目要求"连续自然数"（差为 1），严格来说应该检查 curr_diff == 1。但测试数据不含等差非连号的情况，所以代码能过。

🔢 P1179：数字统计

💡 P1179 思路

遍历 $L, R$ 的每个整数，对每个数逐位拆解（用 %10 取个位，/10 去个位），检查每一位是否为 2，累加计数。

这是最朴素的"逐位枚举"方法。对每个数最多 5 位（R≤100000），总操作量约 5×10⁵，毫无压力。

📝 P1179 伪代码

text 复制代码

读取 L, R
计数 = 0

对 i = L 到 R:
    temp = i
    当 temp > 0:
        如果 temp % 10 == 2:     // 取个位
            计数++
        temp = temp / 10         // 去掉个位

输出 计数

🎯 P1179 关键点

逐位拆解的标准操作。 %10 取个位，/10 去个位，循环直到数为 0。这是处理数字各位的基本操作，在进制转换、回文数、数字和等问题中反复出现。

用样例 [2, 22] 追踪：

数	各位拆解	含 2 的个数	累计
2	2	1	1
3~11	---	0	1
12	1, 2	1	2
13~19	---	0	2
20	2, 0	1	3
21	2, 1	1	4
22	2, 2	2	6

输出：6。

%10 和 /10 的顺序。 先 %10 取个位检查，再 /10 去掉个位。如果先 /10 再 %10，会跳过个位。顺序不能反。

0 的处理。 当 temp 变成 0 时，while(temp) 终止。这意味着 0 本身不会被检查------但 0 不是 2，所以不影响结果。如果题目改成"统计数字 0 出现的次数"，这个写法会漏掉 0 这个数本身，需要特殊处理。

📝 B4262：词频统计

💡 B4262 思路

读入 n 个单词存入数组，读入时逐字符转小写（tolower）。然后对每个位置 j 的单词，从 j 到 n-1 扫一遍，统计有多少个单词与它相同。取统计值最大的那个单词输出。

核心是两步：大小写统一 （转小写）和嵌套循环计数（对每个单词向后扫描统计出现次数）。内层循环从 j 开始而非从 0 开始------每个单词的"第一次出现"位置会得到完整计数，后续重复位置只得到部分计数，但因为是取最大值，结果不受影响。

📝 B4262 伪代码

text 复制代码

读取 N
单词数组 words[N]

对 i = 0 到 N-1:
    读取 words[i]
    对 words[i] 的每个字符 c:
        c = 转小写(c)              // 大小写统一

最高频单词 = ""
最高频次数 = 0

对 j = 0 到 N-1:
    当前次数 = 0
    对 k = j 到 N-1:               // 从 j 开始向后扫描
        如果 words[j] == words[k]:
            当前次数++

    如果 当前次数 > 最高频次数:
        最高频次数 = 当前次数
        最高频单词 = words[j]

输出 最高频单词

🎯 B4262 关键点

大小写统一是第一步。 读入时立刻逐字符 tolower，确保 Apple、apple、APPLE、aPPle 都变成 apple，后续比较时归为同一个词。如果忘了这一步，Apple 和 apple 会被当成两个不同的词，频率各算各的。

内层循环从 j 开始，不从 0 开始。 这是一个聪明的优化：位置 0 的 apple 从 0 扫到末尾，得到完整计数 3；位置 2 的 apple 从 2 扫到末尾，只得到 2。但因为取最大值，位置 0 的完整计数已经锁定了答案，位置 2 的部分计数不会覆盖它。这样做的好处是避免了重复计数------每个单词只在"第一次出现"时获得完整计数。

用样例追踪：

j	words $j$	扫描范围	匹配的位置	total	max	ans_word
0	apple	$0...5$	0, 2, 5	3	3	apple
1	banana	$1...5$	1, 4	2	3	apple
2	apple	$2...5$	2, 5	2	3	apple
3	orange	$3...5$	3	1	3	apple
4	banana	$4...5$	4	1	3	apple
5	apple	$5...5$	5	1	3	apple

输出：apple。j=0 时就已经拿到完整计数 3，后续都没有超过它。

O(N²) 够不够？ N≤100，N²=10000，字符串比较最多 30 个字符，总操作约 3×10⁵，毫无压力。如果 N 到 10⁵，需要换哈希表（unordered_map）降到 O(N)。

"出现次数最多的单词只会有一个"的含义。 题目保证答案唯一------不需要处理并列第一的情况。如果允许并列，需要按字典序输出最小的，逻辑会更复杂。

⚖️ 三种统计的对比

	P1420 最长连号	P1179 数字统计	B4262 词频统计
统计对象	趋势（连号有多长）	频率（2 出现几次）	词频（哪个词最多）
遍历方式	一趟扫描，维护状态	双重循环（外层遍历数，内层遍历位）	嵌套循环（对每个单词向后扫描）
核心操作	比较相邻差值	`%10` 和 `/10` 逐位拆解	转小写 + 逐个比较计数
状态维护	前差值 + 当前连号长度	只需一个计数器	数组存储 + max 跟踪
输出	max_ans + 1（差值对→元素数）	计数本身	出现最多的单词
复杂度	O(N)	O(N × d)	O(N² × L)
现实对应	运行图------趋势检测	本福特定律------频率检测	TF-IDF------信息检索

P1420 需要维护"历史"（前差值是什么），P1179 不需要------每个数的处理是独立的，B4262 需要维护"全局"（整个单词数组并逐个比较）。三者分别代表有状态统计 、无状态统计 和枚举统计------统计学的三种基本范式。

⚠️ 注意事项

P1420 的差值检查 ：代码检查 curr_diff == pre_diff 而非 curr_diff == 1。严格按题意（连续自然数），应检查差是否为 1。当前写法能过是因为测试数据不含等差非连号段。
P1420 的 n=1 特判 ：代码对 n == 1 做了特殊处理直接输出 1。这是因为只有一个数时，连号长度就是 1。如果不特判，循环逻辑也能处理但 max_ans 初始为 0，输出 0+1=1，结果一致------特判是冗余的但不影响正确性。
P1420 的哨兵值 ：pre_num = 1000000000（10 亿）作为初始值。因为数据保证 a_i≤10⁹，哨兵取 10⁹ 可以确保第一个差值为负，不会误触发连号延长。如果数据范围更大，哨兵值需要调大。
P1179 的 while(temp) ：当 temp=0 时循环不执行。如果题目统计数字 0，需要改用 do-while 或单独处理 0。
P1179 的效率：O(N×d) 对 R≤100000 足够。如果 R 到 10⁹，需要用数位 DP 优化到 O(log R)。

B4262 的大小写转换 ：必须在统计前统一转小写。代码在读入时立刻逐字符 tolower，确保 Apple 和 apple 归为同一个词。
B4262 的内层循环起点 ：内层循环从 k = j 开始而非 k = 0，这样每个单词的"第一次出现"位置获得完整计数，后续重复位置获得部分计数。取最大值时完整计数胜出，结果正确且避免了重复计数。
B4262 的复杂度 ：O(N² × L)，N=100、L≤30，总操作约 3×10⁵，毫无压力。如果 N 到 10⁵，需要换 unordered_map 降到 O(N)。
B4262 的输出格式：题目要求输出小写形式，因为读入时已统一转小写，数组中存的本身就是小写，直接输出即可。

🌳 延伸：统计的三个面孔------运行图、本福特定律与 TF-IDF

你说这三道题"都在对应着统计"。没错------而且它们恰好对应统计学的三大应用：趋势检测 、频率分布 和信息检索。前者在工业中叫运行图（Run Chart），中间在法务会计中叫本福特定律（Benford's Law），后者在搜索引擎中叫 TF-IDF。

📈 运行图：最长连号的工业应用

P1420 找的是"最长的连续递增段"。在统计质量控制（SPC）中，这叫运行图（Run Chart） （Run Chart --- Statistics How To）。

运行图把生产数据按时间顺序排列，检测非随机模式。其中一条关键规则就是最长连续上升/下降趋势 （All statistics for Run Chart --- Minitab）：

规则	含义	对应 P1420
趋势（Trend）	连续 6 个或更多点递增或递减	最长连号长度
偏移（Shift）	连续 6 个或更多点在中位数同侧	---
过多/过少运行	上下交替次数异常	---

在质量管理中，连续 6 个点递增就触发警报 ------意味着机器可能在磨损、操作员可能疲劳、化学过程可能在分离（Statistical Quality Control --- Run Charts）。工厂里的 P1420，就是在检测"这个生产过程是不是出问题了"。

工业场景	运行图检测什么	和 P1420 的对应
机床温度	连续上升 → 冷却系统故障	最长连号 = 最长升温段
产品尺寸	连续偏移 → 刀具磨损	连号长度 = 磨损持续时长
化学浓度	连续变化 → 反应失控	连号 = 失控持续时长

你写的 max_ans 在工厂里叫"最长运行长度"------它是判断生产过程是否稳定的第一个指标。

📊 本福特定律：数字频率的反直觉真相

P1179 统计的是"数字 2 出现了多少次"。在真实数据中，数字的频率分布有一个惊人的规律------本福特定律（Benford's Law） （Benford's Law --- Detecting Fraud）。

1881 年，天文学家西蒙·纽康（Simon Newcomb）发现对数表的前几页比后面几页磨损严重------说明人们更常查以 1 开头的数。1938 年，物理学家弗兰克·本福特（Frank Benford）收集了 20,000 多组数据（人口、河流长度、物理常数、报纸数字），发现了一个统一的规律（Benford's Law Calculator）：

在自然产生的数据集中，首位数字为 d 的概率是：

text 复制代码

P(d) = log₁₀(1 + 1/d)

首位数字	出现概率	直觉预期（均匀分布）
1	30.1%	11.1%
2	17.6%	11.1%
3	12.5%	11.1%
4	9.7%	11.1%
5	7.9%	11.1%
6	6.7%	11.1%
7	5.8%	11.1%
8	5.1%	11.1%
9	4.6%	11.1%

1 开头的数据占 30%，9 开头的只有 4.6% ------不是均匀的！这反直觉，但真实世界的数据确实如此（本福特定律 --- 百科）。

P1179 统计数字 2 在 $L, R$ 中出现的次数。如果 R 足够大，你会发现 2 出现的频率不是 1/10，而是更接近本福特定律的预测------因为自然数的首位分布本身就服从本福特定律 （Structural Foundations for Leading Digit Laws）。

🔥 本福特定律抓诈骗

本福特定律最震撼的应用是抓金融诈骗 （Benford's Law in Audit）。

逻辑很简单：人在编造数字时，会下意识地让首位数字"均匀分布"------觉得 1 到 9 各出现差不多才"像真的"。但真实数据的首位数字服从本福特定律------1 最多，9 最少。编造的数据偏离这个规律，就暴露了。

案例	发生了什么	本福特定律怎么帮忙
安然（Enron）	2001 年破产，财务数据造假	破产后分析发现其报表数字偏离本福特定律（Benford's Law: The Strange Law）
HealthSouth	美国史上最大医疗欺诈之一	财务控制器每年编造 50 万条假账目，金额刻意压在审计阈值以下，但数字分布偏离本福特定律（Benford's Law in Audit）
2009 伊朗大选	选举结果涉嫌造假	对选票数字做本福特分析，发现首位数字分布异常（Benford's Law: The Strange Law）
发票欺诈	员工伪造报销金额	法庭将本福特定律分析作为证据，帮助定罪（Benford's Law in Excel）

本福特定律分析已被法庭接受为合法的取证手段（Benford's Law in Excel --- Forensic Audit）。机器学习也在结合本福特定律做更强大的欺诈检测（Multiple Benford Law Model for Auditors）。

你今天在 P1179 里数数字 2 出现了几次------法务会计师在做完全一样的事，只不过他们数的是"1 开头的数据是不是占了 30%"。

🔍 TF-IDF：词频统计的搜索引擎应用

B4262 统计的是"哪个单词出现最多"。在信息检索领域，词频统计是搜索引擎排序的基础------它有一个著名的名字：TF-IDF （Term Frequency - Inverse Document Frequency）（TF-IDF 基础知识详解）。

TF（Term Frequency，词频） 就是你在 B4262 里算的那个东西------某个单词在文档中出现的次数。但光有词频不够：如果一篇文章里"的"出现 200 次，"量子"出现 5 次，哪个更能代表这篇文章的主题？显然是"量子"（TF-IDF Made Easy）。

IDF（Inverse Document Frequency，逆文档频率） 解决了这个问题------它衡量一个词有多"稀有"：

text 复制代码

TF(t, d)  = 词 t 在文档 d 中出现的次数 / 文档 d 的总词数
IDF(t, D) = log(文档总数 / 包含词 t 的文档数)
TF-IDF    = TF × IDF

"的"在每篇文档都出现，IDF 接近 0，TF-IDF 很低。"量子"只在少数文档出现，IDF 很大，TF-IDF 很高。TF-IDF 越高，这个词对这篇文档越重要 （Understanding TF-IDF）。

词	TF（在本文档中）	IDF（在所有文档中）	TF-IDF	说明
的	高（200 次）	低（每篇都有）	低	无意义高频词
量子	低（5 次）	高（少数文章有）	高	文档主题词
Apple	中（3 次）	中（部分文章有）	中	领域相关词

TF-IDF 的应用远超搜索引擎（TF-IDF Use Cases）：

应用	做什么	和 B4262 的关系
搜索引擎	按查询词和网页的 TF-IDF 评分排序	B4262 的词频 = TF 的一半
关键词提取	找出文档中 TF-IDF 最高的词	B4262 找频率最高，TF-IDF 找"最独特+最频繁"
文档分类	用 TF-IDF 向量训练分类器	B4262 的频率表是 TF-IDF 向量的基础
推荐系统	基于内容相似度推荐	TF-IDF 向量余弦相似度
主题建模	识别文档集合中的主题	TF-IDF 是 LDA 等模型的预处理步骤

Google 早期的网页排序就用了 TF-IDF ------用户搜"apple"，Google 算每个网页中"apple"的 TF-IDF 值，值高的排前面（Understanding TF-IDF）。你在 B4262 里统计的词频，就是 Google 排序公式中的第一个变量。

今天，大语言模型（LLM）也在用词频------transformer 的注意力机制本质上就是在学习"哪些词和哪些词在一起出现更频繁"。从 B4262 的哈希表到 ChatGPT 的注意力矩阵，词频统计始终是自然语言处理的第一块基石。

🔮 三种统计的交汇

P1420、P1179 和 B4262 放在一起，恰好覆盖了统计学的三个基础应用：

	P1420	P1179	B4262	现实应用
统计类型	趋势检测	频率分布	词频统计	---
工业对应	运行图 / 质量控制	本福特定律 / 欺诈检测	TF-IDF / 搜索引擎	---
核心问题	"趋势有多长？"	"频率有多高？"	"谁出现最多？"	---
触发警报	连续 6 点递增 → 机器故障	首位偏离 30/17.6/12.5... → 数据造假	TF-IDF 高 → 关键词	---
你在做的	找 max_ans	数 2 出现几次	找频率最高的单词	---
工业在做的	找最长运行长度	检验首位数字分布	算网页 TF-IDF 排序	---

趋势检测告诉你过程是否稳定 ------工厂机器有没有在磨损。频率分布告诉你数据是否真实 ------财务报表有没有在造假。词频统计告诉你信息是否重要------搜索引擎该把哪个网页排第一。

一个看生产线的健康，一个看账本的健康，一个看信息的相关性。你今天在洛谷上写的几行代码，在工业界是三条专业流水线的起点。

📚 延伸阅读文献

论文

F. Benford. The Law of Anomalous Numbers . Proceedings of the American Philosophical Society, 78(4):551--572, 1938. （Benford's Law --- Wikipedia） ------ 本福特定律的原始论文，收集了 20,000+ 组数据。
M. Nigrini. I've Got Your Number . Journal of Accountancy, 1999. （Benford's Law in Audit） ------ 将本福特定律应用于会计欺诈检测的开创性工作。
C. Goh. Applying visual analytics to fraud detection using Benford's law . Journal of Corporate Accounting and Finance, 2020. （SMU Research） ------ 可视化分析与本福特定律结合的欺诈检测。
T. A. Mir et al. Structural Foundations for Leading Digit Laws: Beyond Probabilistic Mixtures . arXiv:2508.13237, 2025. （arXiv） ------ 2025 年最新的首位数字分布理论研究。
A. K. Sharma et al. The Use of Machine Learning to Detect Financial Transaction Fraud: Multiple Benford Law Model . 2024. （Semantic Scholar） ------ 机器学习结合本福特定律的欺诈检测。
K. Sparck Jones. A Statistical Interpretation of Term Specificity and Its Application in Retrieval. Journal of Documentation, 1972. ------ TF-IDF 中 IDF 概念的原始论文，信息检索领域的奠基之作。

在线资源

洛谷. P1420 最长连号 . https://www.luogu.com.cn/problem/P1420
洛谷. P1179 $NOIP 2010 普及组$ 数字统计 . https://www.luogu.com.cn/problem/P1179
洛谷. B4262 $GESP202503 三级$ 词频统计 . https://www.luogu.com.cn/problem/B4262
Benford's Law: Detecting Fraud with the First-Digit Phenomenon . https://www.statisticalaid.com/benfords-law/ ------ 本福特定律入门介绍。
Run Chart --- Statistics How To . https://www.statisticshowto.com/run-chart/ ------ 运行图入门。
All statistics for Run Chart --- Minitab . https://support.minitab.com/en-us/minitab/.../run-chart/ ------ 运行图的工业标准解读。
Benford's Law Calculator . https://calculatorcove.com/statistics/benfords-law/ ------ 在线本福特定律计算器。
TF-IDF 基础知识详解：从原理到应用 . https://blog.csdn.net/2401_83857914/article/details/163674280 ------ TF-IDF 中文入门教程。
TF-IDF Made Easy: Intuition, Mathematics, and Python Implementation . https://ml-digest.com/tf-idf/ ------ TF-IDF 原理与实现。
Understanding TF-IDF: The Key to Smarter Information Retrieval . https://algocademy.com/blog/understanding-tf-idf-the-key-to-smarter-information-retrieval/ ------ TF-IDF 在信息检索中的应用。

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