【LeetCode 902】最大为 N 的数字组合 - 详细题解与数位组合思路

【LeetCode 902】最大为 N 的数字组合 - 详细题解与数位组合思路

题目描述

给定一个按升序排列的数字数组 digits 和一个整数 n，返回用 digits 中的数字组合出的、小于或等于 n 的正整数的个数。

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解题思路（数位 DP / 组合计数）

我们可以将统计满足条件的数字个数分为 两大类 进行讨论：

1. 位数小于 n 的数字

如果构造的数字位数比 n 的位数（设为 lenlenlen）小，那么无论怎么选，数值一定小于 n。

• 长度为 1 的数字个数：m1m^1m1
• 长度为 2 的数字个数：m2m^2m2
• ...
• 长度为 len−1len-1len−1 的数字个数：mlen−1m^{len-1}mlen−1

我们可以直接通过循环累加 m1+m2+⋯+mlen−1m^1 + m^2 + \dots + m^{len-1}m1+m2+⋯+mlen−1。

2. 位数等于 n 的数字

将 n 转化为字符串 sss，逐位（从高位到低位 iii）进行比较：

1. 当前位选择小于 sisisi 的数字 ：
   • 此时后续剩余的 len−1−ilen - 1 - ilen−1−i 个位置可以任意选择 digits 中的数字。
   • 方案增加数：m(len−1−i)m^{(len - 1 - i)}m(len−1−i)。
2. 当前位选择等于 sisisi 的数字 ：
   • 标记当前位可以匹配（same = true），并继续考察下一位 i+1i+1i+1。
3. 当前位没有可选的数字小于或等于 sisisi ：
   • 如果 digits 中没有与 sisisi 相同的数字，说明无法继续向后构造与 n 相同的数，此时直接返回累加结果。

如果成功匹配完所有的 lenlenlen 位，说明可以构造出一个完全等于 n 的数字，最终答案额外 +1+1+1。

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C++ 代码实现

class Solution {
public:
    int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
        string s = to_string(n);
        int m = digits.size();
        int len = s.size();
        long long ans = 0;
        
        // 1. 统计位数小于 len 的所有组合数
        long long tem = 1;
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            tem *= m;
            ans += tem;
        }

        // 2. 统计位数等于 len 且小于等于 n 的组合数
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            bool same = false;
            for (auto &d : digits) {
                if (d[0] < s[i]) {
                    // 当前位选小于 s[i] 的数，后续位可任意组合
                    long long tem2 = 1;
                    for (int j = i + 1; j < len; j++) {
                        tem2 *= m;
                    }
                    ans += tem2;
                } else if (d[0] == s[i]) {
                    // 找到相等的数字，标记可以继续比对下一位
                    same = true;
                }
            }
            // 如果 digits 中没有与 s[i] 相等的数字，无法继续向前匹配，直接返回
            if (!same) {
                return ans;
            }
        }

        // 遍历完成说明可以构造出完全等于 n 的数字
        return ans + 1;
    }
};

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复杂度分析

• 时间复杂度 ：O(len×m)\mathcal{O}(len \times m)O(len×m)，其中 lenlenlen 为数字 nnn 的十进制位数（不超过 10），mmm 为 digits 数组的大小。循环层数和数字位数成正比，运行耗时极低（可达 0 ms）。
• 空间复杂度 ：O(len)\mathcal{O}(len)O(len)，仅用于将整数 nnn 转换为字符串存储。