微分的定义
- 增量
自变量：x0→x0+Δxx_0 \to x_0+\Delta xx0→x0+Δx
函数增量（精确值）：
Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0+Δx)−f(x0)
- 可微定义
若
Δy=AΔx+o(Δx)\boldsymbol{\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)}Δy=AΔx+o(Δx)
- A：与(\Delta x)无关，只和(x_0)有关的常数
- AΔxA\Delta xAΔx：线性主部
- o(Δx)o(\Delta x)o(Δx)：Δx→0\Delta x\to0Δx→0时的高阶无穷小
则称 (y=f(x)) 在 (x_0) 处可微。
- 微分（近似值）
dy=AΔx\boldsymbol{dy = A\Delta x}dy=AΔx
dy 是 Δy\Delta yΔy 的线性近似。
- 正方形例子（直观）
(S(x)=x^2)
ΔS=(x0+Δx)2−x02=2x0Δx⏟dS+(Δx)2⏟o(Δx)\Delta S=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2=\underbrace{2x_0\Delta x}{dS}+\underbrace{(\Delta x)^2}{o(\Delta x)}ΔS=(x0+Δx)2−x02=dS 2x0Δx+o(Δx) (Δx)2
Δx\Delta xΔx很小时，面积增量≈线性主部。
核心：Δy\boldsymbol{\Delta y}Δy是真实变化量；dy\boldsymbol{dy}dy是线性近似，丢掉高阶小项。